معادله موجی شرودینگر: استخراج و توضیح

Electrical4u

فیلد: مقدماتی برق

China

معادله شرودینگر چیست؟

معادله شرودینگر (که به عنوان معادله موج شرودینگر نیز شناخته می‌شود) یک معادله دیفرانسیل جزئی است که پویایی سیستم‌های مکانیک کوانتومی را از طریق تابع موج توصیف می‌کند. مسیر، موقعیت و انرژی این سیستم‌ها با حل معادله شرودینگر قابل استخراج هستند.

همه اطلاعات مربوط به ذره زیراتمی در یک تابع موج کدگذاری شده است. تابع موج با استفاده از معادله شرودینگر برآورده می‌شود و قابل حل است. معادله شرودینگر یکی از اصول اساسی است که در فیزیک دانشگاهی معرفی می‌شود. همچنین به طور متزايد در برنامه درسی مهندسی برق در دانشگاه‌ها نیز معرفی می‌شود زیرا به نیمه‌رساناها اعمال می‌شود.نیمه‌رساناها.

متاسفانه، در هر دو مورد فقط به عنوان یک فرضیه بیان شده و به طور معناداری مشتق نشده است. این موضوع بسیار ناپسند است زیرا تقریباً همه چیز دیگری که در فیزیک کوانتومی دانشگاهی تدریس می‌شود بر این بنیان استوار است. در این مقاله، ما معادله را از ابتدا مشتق خواهیم کرد و تلاش خواهم کرد تا هر مرحله را نشان دهم.

有趣的夠，我們將要提出的論點與薛定諤本人當時所採取的論點相同，因此你可以看到一個巨人在他那個時代的思維方式。作為提醒，這裡是三維時變薛定諤方程（對於非相對論粒子）的所有美麗形式：

فیزیک کوانتومی و امواج

هرکسی دوست دارد فیزیک کلاسیک را محکوم کند - اما این علم به خوبی برای مدت زمانی طولانی به ما خدمت کرده است (به یاد بیاورید مکانیک نیوتن، معادلات ماکسول و نسبیت خاص).

با این حال، همان‌طور که در مقالات قبلی ما نشان داده شد، نتایج تجربی در آستانه قرن بیستم در مقایسه با فیزیک شناخته‌شده در آن زمان چندان درخشان به نظر نمی‌رسیدند. مقالات ما در مورد آزمایش دو شکاف و تا حدی اثر فوتوالکتریک، نتایج تجربی بودند که با درک شناخته‌شده در آن زمان تطابق خوبی نداشتند. اما چرا؟ به سادگی بگوییم، در فیزیک کلاسیک دو موجودیت وجود دارد، ذرات و امواج. ویژگی‌های هر دو این موجودیت‌ها را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد:

ذرات: دسته‌های موضعی انرژی و تکانه با جرم $m$ .

امواج: اختلالاتی که در فضا گسترش یافته و در طول زمان حرکت می‌کنند. آن‌ها را می‌توان با یک تابع موج $\psi(\vec{r}, t)$ توصیف کرد که موج را در فضا و زمان بیان می‌کند.

این ما را به نتایج شگفت‌انگیز مقاله اتش‌دهی فوتوالکتریک می‌رساند. ما دریافتیم که الکترون هر دو این ویژگی‌ها را دارد. این کاملاً با درک شناخته‌شده در آن زمان در تضاد است، زیرا این دو موجودیت متقابلاً منحصر به فرد در نظر گرفته می‌شدند.

جنون‌آور نیست؟ در همین زمان، برخی از افراد بسیار تأثیرگذار در فیزیک شروع به متوجه شدن کردند که شکافی در دانش وجود دارد، و زمانی پیشرفت بزرگی رخ داد که لوئی دو برویل تکانه (برای یک ذره) را به طول موج (برای امواج) مرتبط کرد که با رابطه زیر داده شده است:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

همچنین، از گسیل فتوئلكتریک می‌دانیم که جذب و تابش فوتون‌ها (هنوز مشخص نیست ذره هستند یا موج) انرژی را به صورت زیر دارند

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

که در آن $\hbar = h/2\pi$ و $\omega=2\pi f$ . ما حالا در مرحله‌ای دقیقاً مشابه با شرودینگر قبل از استخراج معادله‌ی مشهور خود هستیم. اما از کجا شروع کنیم؟ خوب، می‌دانیم که الکترون‌ها و فوتون‌ها رفتار موجی و ذره‌ای نشان می‌دهند. هیچ اشتباهی ندارد اگر با یک معادله‌ی عمومی که تمام موج‌ها باید رعایت کنند شروع کنیم و سپس فیزیک ذرات را بر روی آن اعمال کنیم تا ببینیم نتیجه‌ای وجود دارد.

چگونه معادله‌ی موج را استخراج کنیم

اختلال $\psi(\vec{r}, t)$ معادله‌ی موج را رعایت می‌کند. به یاد داشته باشید، الکترون رفتار موجی دارد و دارای بار الکترومغناطیسی است. بنابراین، برای حالا، فقط به میدان‌های الکترومغناطیسی نگاه کنیم. در این سناریو، معادلات ماکسول قابل اعمال هستند و این‌ها در تمام عظمت خود هستند:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

جایی که $c$ سرعت نور در خلاء است، $\vec{E}$ میدان الکتریکی و $\vec{B}$ میدان مغناطیسی است. معادله اول بالا پایه‌ی ژنراتورهای الکتریکی، القایی‌ها و ترانسفورماتورها است و جسمیت قانون فارادی است.

همچنین، یکی از پیامدهای $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ این است که مونوپول‌های مغناطیسی وجود ندارند. درک مشتق‌گیری این معادلات و معنای فیزیکی آن‌ها یک مهندس را به طور کامل شکل می‌دهد. حالا، بیایید معادله‌ای را که هر موج الکترومغناطیسی باید رعایت کند با اعمال کرل به معادله ۴ بدست آوریم:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

حالا می‌توانیم از یک هویت برداری بسیار آشنا (و به راحتی قابل اثبات) استفاده کنیم: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ که در آن $T$ بردار جایگزینی است. با اعمال آن به معادله‌ی کوچک ما:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

نتیجه‌ای که در اینجا داریم معادله موج الکترومغناطیسی در سه بعد است. این معادله نه تنها در موج‌های الکترومغناطیسی ظاهر می‌شود، بلکه در صداشناسی، موج‌های لرزه‌ای، موج‌های صوتی، موج‌های آب و دینامیک سیالات نیز مشاهده شده است.

چگونه معادله شرودینگر را بدست آوریم

جواب‌های موج مسطح برای معادله موج

با شروع از معادله موج در یک بعد (به سادگی می‌توان به سه بعد تعمیم داد زیرا منطق در همه $x, y$ ، و $z$ ابعاد معتبر است):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

این در واقع یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم است و با جواب‌های موج مسطح برقرار است:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

از مکانیک امواج معمولی می‌دانیم که $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ و $\omega = 2 \pi f$ . حال، بیایید از کار اینشتین و کامپتون استفاده کنیم و در نظر بگیریم که انرژی یک فوتون توسط $\mathsf{E} = \hbar \omega$ و از دو بروگلی که $p = h / \lambda = \hbar k$ . می‌توانیم راه‌حل موج صفحه‌ای خود را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

این معادله موج صفحه‌ای توصیف‌کننده یک فوتون است. بیایید این معادله را در معادله موج خود جایگذاری کنیم و ببینیم چه چیزی پیدا می‌کنیم!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

به عبارت دیگر، $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ که عالی است زیرا ما از نسبیت خاص می‌دانیم که انرژی کل برای ذره‌ای با جرم $m$ به صورت زیر است:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

تاکنون فقط با فوتون که جرمی ندارد $(m=0)$ سروکار داشته‌ایم! بنابراین بیایید درک خود را گسترش دهیم و انرژی نسبیتی کل را برای ذره‌ای با جرم (مانند الکترون به عنوان مثال) اعمال کنیم و نام معادله‌مان را به $\Psi$ تغییر دهیم زیرا ما بازیکنان هستیم.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

این معادله مستقیماً از جایگذاری معادله موج صفحه‌ای فوتون در معادله موج به دست آمده است. اما، از آنجا که حالا می‌خواهیم انرژی را برای حل انرژی نسبیتی کل ذره‌ای با جرم بدست آوریم، باید معادله موج را کمی تغییر دهیم. این امر به این دلیل است که معادله موج باید به طور کامل به $\Psi$ که ذرات و امواج را توصیف می‌کند، اعمال شود. حالا می‌توانیم برای عملگری که معادله بالا را به دست می‌آورد، پشتیبانی کنیم و آن به صورت زیر است:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

حل معادله‌ی موج برای ذرات با جرم

حالا می‌خواهیم چند تقریب روی کل انرژی که توصیف کردیم اعمال کنیم $\mathsf{E}$ برای یک ذره با پول و جرم. بیایید فرمول را کمی تغییر دهیم تا بتوانیم چند تقریب استفاده کنیم.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

هدف از این تغییرات این است که معادله را به صورت $\sqrt{1 + x}$ درآوریم زیرا اگر سری تیلور این معادله را محاسبه کنیم خواهیم داشت:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

وقتی $x$ کوچک است، تنها بخشی که در بسط تیلور باقی می‌ماند بخش $O(1)$ است. در فرمول انرژی ما، $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . می‌توانیم از این واقعیت بهره ببریم که $p = mv \ll mc$ برای هر چیزی که با سرعت نور حرکت نمی‌کند (اگر چیزی پیدا کردید که این شرط را نقض می‌کند، لطفاً من را پیدا کنید) وجود دارد! بنابراین این بخش در واقع به صورت زیر کاهش می‌یابد:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

که

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

انرژی جنبشی عادی است که در فیزیک دبیرستان مشاهده می‌کنیم. حال بازگشت به تابع موج قبلی، بیایید این اطلاعات جدید را وارد کنیم و ببینیم به چه نتیجه‌ای می‌رسیم:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

دلیل اینکه دو مورد را جدا کرده‌ایم این است که مورد اول $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (فقط براساس سرعت نور) بسیار نوسانی‌تر از مورد دوم خواهد بود و لزوماً ذره-موجی که به دنبال آن هستیم را توصیف نمی‌کند. بنابراین برای تثبیت این تفاوت، بیایید حالا بگذاریم:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

که حالا تعریف کرده‌ایم:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

حالا بیایید مشتق جزئی اول و دوم $\Psi(\vec{r},t)$ را بگیریم و ببینیم به چه چیزی می‌رسیم. اولین:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

و دوم:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

باید در نظر داشته باشیم که جمله آخر با مشتق جزئی دوم بسیار کوچک است زیرا این واقعیت وجود دارد که هیچ $c^2$ جمله‌ای حاوی مرتبه بزرگی وجود ندارد، بنابراین با تقریب، مشتق جزئی دوم به صورت زیر است:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

دلیل خفیه گرفتن این دو مشتق جزئی این بود که بتوانیم آنها را در این معادله که تابع موج را توصیف می‌کند قرار دهیم:

اما قبل از اینکه این کار را انجام دهیم، بیایید این فرمول را مرتب کنیم و به یک معادله به نام معادله کلاین-گوردون خواهیم رسید:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

حالا می‌توانیم این را به سه بعد تعمیم دهیم با تبدیل این معادله به یک معادله برداری (همه مراحلی که برای استخراج این فرمول انجام دادیم برای همه $x,y$ و $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

این معادله به عنوان معادله کلاین-گوردون برای ذره آزاد شناخته می‌شود. این معادله نسبیتی است زیرا جمله انرژی آن فرضیاتی که ما با تقریب تیلور کوچک $\sqrt{1+x}$ در نظر گرفتیم را در نظر نمی‌گیرد.

حالا، بیایید معادله کلاین-گوردون را ساده کنیم (با بازگشت به یک بعد و اعمال فرمول انرژی جدید) و به معادله شرودینگر مورد انتظار خواهیم رسید:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

بیایید تابع موج جدید خود را که توسط $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ مشخص شده است، قرار دهیم که می‌دانیم چگونه مشتق اول و دوم آن نسبت به زمان به نظر می‌رسند:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

اکنون همه کاری که باید انجام دهیم تنها مرتب‌سازی ساده‌ای است تا معادله شرودینگر را در سه بعد به دست آوریم (توجه داشته باشید که $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

که می‌توان آرگومان را با توجه به شباهت همیلتونی کلاسیک ارائه داد که جمله سمت راست معادله انرژی کلی تابع موج را توصیف می‌کند.

در استخراج ما، فرض کردیم که $V(\vec{r},t)$ صفر است و فقط انرژی جنبشی در نظر گرفته شده است. می‌دانیم که پتانسیل صرفاً جمعی است نسبت به تغییرات مکانی خود و بنابراین، معادله شرودینگر کامل در سه بعد با پتانسیل به صورت زیر است:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

این همه! ما در این مقاله معادله شرودینگر کامل برای ذره غیرنسبیتی در سه بعد را استخراج کردیم. اگر این پست را دوست داشتید و می‌خواهید بیشتری مشابه آن را ببینید، لطفاً ایمیل بزنید تا ما مطلع شویم.

منابع

گاسیوروویچ، اس. (۲۰۱۹). فیزیک کوانتومی. ویرایش دوم. کانادا: همیلتون پرینتینگ، صفحات ۱-۵۰.
گریفیتس، د. (۲۰۱۹). فیزیک کوانتومی. ویرایش سوم. دانشگاه کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج.
وارد، د. و ولکمر، اس. (۲۰۱۹). چگونه معادله شرودینگر را به دست آورید. [آنلاین] arXiv.org. در دسترس در: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [دسترسی ۲۹ مه ۲۰۱۹].
شنکار، ار. (۱۹۸۰). اصول فیزیک کوانتومی. ویرایش اول. نیویورک: اسپرینگر ساینس، صفحات ۱-۴۰.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوب ارزش به اشتراک گذاری دارند، در صورت نقض حق تکثیر لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

مقالات فیزیک

نظریه کوانتومی

درباره متخصصان

Electrical4u

China