Ceadachán Bhuaine Schrödinger: Derivation & Explanation

Electrical4u

Réimse: Bunús Eileacraíochta

China

Cén é an Cothromóid Schrödinger?

Is cothromóid dhifríochta páirteach í an Cothromóid Schrödinger (má tá aitheanta freisin mar Cothromóid Tonn Schrödinger) a léiríonn na dianamaitic córas meicniúla ceimiceach trí mheans an fhuinneog thonna. Is féidir an traiscéal, an suíomh, agus an t-éigin a bhaint amach sna córais seo trí an Cothromóid Schrödinger a réiteach.

Tá gach eolas ar aon pháirtíol subatomach incódaithe sa fhionnfuinn. Seasmhaíonn an fionnfuinn agus is féidir é a réiteach trí úsáid an Choithromóide Schrödinger. Is cuid de na bunshonrúcháin atá curtha i láthair i gcúrsaí fisice ollscoile é an Cothromóid Schrödinger. Tá sé níos coitianta go dtí an pointe seo chun an Cothromóid Schrödinger a chur i láthair i rannán na heolaíochta feidhmeacháin leictre in ollscoileanna mar gheall ar a chuid feidhme i semiconductors.

Go neamhfhórtanach, bíonn sé a rá mar sheasamh aontachtach i gcaighdeán i ngach cás agus gan é a shain do réir bhealaí suntasaí. Tá an t-eolas sin an-churacha dá bharr gur ar an mbunús seo atá gach eile atá teagairt i gcúrsaí fisice ceimiceach ollscoile. Sa alt seo, déanfaimid an chothromóid a shain ó bhun go barr agus déanfaidh mé mo dhíchill gach céim a léiriú.

Is é an spéisialta nach raibh an t-argóint a dhéanfaimid an chéad uair ag Schrödinger féin, mar sin is féidir leat breathnú ar líne smaointeoireachta géarbhán ina linn. Le rá, seo an Cothromóid Schrödinger i ndiadh ama in trí thomhas (do pháirtíol nach bhfuil relativach) ina hollmhórálacht:

Fisice Ceimiceach agus Tonn

Is minic a mheastar fisice clasaiceach – ach d'fheidhmigh sé go maith dúinn ar feadh tréimhse (smuinfir meicniúl Newton, cothromóidí Maxwell, agus reiligiúlacht speisialta).

Ach, mar a léirítear i ár nuachtán roimhe seo, ní raibh na torthaí eolaíoch ag deireadh an chéad haois chomh mheasúil leis an eolaíocht a bhí ar eolas ag an am. Tá ár nuachtáin faoi an triail dhó shlit agus go rachaidh é, an t-efect photoelectric, i measc na dtorthaí eolaíocha nach raibh maireachtáil acu leis an tuiscint a bhí ar eolas ag an am.

Ach cén fáth? Chun é a rá go simplí, sa phéisic clasaiceach tá dhá eintite ann, paictí agus tonnta. Is féidir le linntheacha an dá eintite seo a mhíniú mar seo leanas:

Paictí: buncáin iontaofa éirghe agus moille le mas $m$ .

Tonnta: sraitheanna a chluinstear tríd an spás agus a thiomnaíonn trí ama. Is féidir iad a mhíniú le funtción tonn $\psi(\vec{r}, t)$ a mhíneann an tonn tríd an spás agus an t-am.

Seo a mhaith leis an torthaí uathúla a aimsíodh i ár Eisiúint Photoelectric nuachtán. Fuair muid amach gur léirigh an leictreon dóna an dá linntheach. Tá sé seo in aghaidh an tuiscint a bhí ar eolas ag an am mar gur smaointeadh gur eintite comhionann a bhí inti.

Mórshocair cheart? Le linn an ama seo, thosaigh roinnt daoine móra tionchar i bpéisic ag aithint go raibh gab i gcúrsaí eolais, agus tháinig briseadh mór nuair a chuir Louis de Broglie comhcheangal idir éirghe (do phaictí) agus faobharlín (do thonnta) a thugtar as

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Is féider linn freisin a bheith ar eolas ó Photoelectric Emission go bhfuil an t-ionsáth agus an t-eisiúint fóitón (fós amhrasach an bpartac nó an toirt) le hénergie a leanas

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Áit $\hbar = h/2\pi$ agus $\omega=2\pi f$ . Tá muid anois ag an stáitse chéanna inarbh ainmneach Schrödinger roimh é a chuid cothromóide cáiliúla a shocrú. Ach cén áit a thosóidh muid? Is eol dúinn gur i bhfeidhm fadhbach agus partacach atá ag na gealáin agus na fóitón. Ní bheadh aon rud míchruinn ag tús a dhéanamh le cothromóid uileghnách d'fhóiríochta agus ansin fisic phartacach a chur suas chun feiceáil an bhfuil toradh ann.

Cén sórt a bheidh ar an gCothromóid Fhóiríochta

Tugann an dochar $\psi(\vec{r}, t)$ leis an gcothromóid fhóiríochta. Cuimhnigh, tá an gealán ag léiriú iompar fhadhbach agus tá carachtar eleactraimeach aige. Mar sin, don tréimhse seo, feicfidh muid ar réimsí eleactraimeacha. In ionad seo, cuireann Maxwells cothromóidí isteach agus tá siad anseo ina nglór:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Áit $c$ is é an luas na solais i ngeimhréad, $\vec{E}$ is an réim eileactraíoch agus $\vec{B}$ is an réim maighnéadaíoch. Is é an chéad cothromóid thuas bunús gineadóirí eileactraíocha, induictheoirí agus transformaitheoirí agus is é a léiríonn Dlí Faraday.

Freisin, ceann de na conspéiseanna ó $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ is go bhfuil aon mhonóip mághnéadaíoch. Tuiscint ar an díorthúchán d'fhoirmeáil na cothromóidí seo agus an fheidhm bheatha dhaonna ina dhiaidh sin déanann ininseoir forleathan. Anois, lig sinn díorthúchán a dhéanamh ar an chothromóid a n-éilíonn gach tonn eile-mhaghnéadaíoch trí uallas a chur ar Chothromóid 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Anois is féidir linn úsáid a bhaint as aon idé-eolaíocht vactor íogair (agus a díorthú go héasca): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ áit $T$ is é cuidcheann vactor. Ag cur isteach ar ár gcothromóid beag anois:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Is é an t-eochairmhíniú ar fáil againn anseo ná an cothromóid tionchar eileachtrach in 3 diminsiún. Tá an chothromóid seo léirithe, ní hamháin i gcoinneal eileachtrach, ach tá sé léirithe freisin i gcúrsaí fuaim, tonnta síoscailte, tonnta uisce, agus dínimic fluide.

Conas a dhéanfaí an Chothroimóid Schrödinger a bhain amach

Soiléir Chomhshligheacha do na Cothromóid Tionchair

Ag tosú leis an gcothromóid tionchair do 1-diminsíon (is é an chaoi is ea atá ann é a ghinearálú go 3 diminsiún ina dhiaidh sin mar dhuine an loighic i ngach $x, y$ , agus $z$ diminsiún.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Is é seo, in ainneoin gach rud eile, cothromóid dhearcach parciálta den tríú ord agus is sásaithe é le soiléir chomhshligheacha:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (seiceáil é seo féin!). } \end{equation*}$

Mar aithnímid ó meicnic shionnachta ghnábhach go bhfuil $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ agus $\omega = 2 \pi f$ . Anois, úsáidimid an obair ó Einstein agus Compton agus cuirfimid in ionad é go bhfuil an t-éigin cianfhóitón dírithe ag $\mathsf{E} = \hbar \omega$ agus ó de-Broglie go bhfuil $p = h / \lambda = \hbar k$ . Is féidir linn ár réiteach sionnachta plaíneach a mhinic chun:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Is é seo an cothromóide sionnachta plaíneach atá ag cur síos ar fhóitón. Cuirfimid an cothromóid seo isteach iár chothromóide sionnachta agus feicfimid cad atá le feiceáil!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

I measc eile, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ is maith sin mar tá fios againn ó shaineolacht an réilteachais go bhfuil an ollghnéas éigin do pháirtí réilteach le mas $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Agus níl muid tar éis díriú ar an fóton ach amháin go dtí seo, agus níl mas aige $(m=0)$ ! Mar sin, cuirfimid ár dtuiscint chun cinn agus úsaimid an ollghnéas réilteach don pháirtí le mas (mar shampla, an eileactrón) agus athraighfidh muid ainm an chothromóid go $\Psi$ mar tá muid ina lúthchleasaí.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

D’fhéadfadh an cothromóid seo teacht go díreach ó tháirgeadh an chothromóid fhána fóton i gcothromóid an fhuaim. Ach, mar gheall air go bhfuil muid anois ag iarraidh an ollghnéas réilteach a réiteach do pháirtí le mas, ní mian linn an cothromóid fhuaim a athrú ar bheagán. Tá sé seo mar níor chóir go mbeadh an cothromóid fhuaim iomlán bunaithe arár gcéad $\Psi$ a léireann páirtí agus fuaim. Is féidir linn anois an uirliseoir a aimsiú chun an cothromóid thuas a fháil, agus tá sé seo a leanas:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Réiteach ar Thonnchúin le Maighnéad sa Chomhthéacs Deighil Tonnta

Anois, is mian linn roinnt meastacháin a dhéanamh ar an gcumhacht iomlán atá scríobhtha againn trí $\mathsf{E}$ do thonnchu le moill agus maighnéad. Bheadh sé inmholta an fhoirmle a athrú go míneachán chun a bheith in ann roinnt meastachán a dhéanamh.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Is é an príomhaidhm den seiceáil seo ná an cothromóid a bhring go foirm $\sqrt{1 + x}$ mar tá súil againn leis an tsraith Taylor a sholáthar ón dhaonchothromóid seo:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Nuair a bhíonn $x$ beag, is é an chuid amháin atá fágtha sa tairiscint Taylor ná an $O(1)$ téarma. Iár naisc fuinnimh, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Is féidir linn úsáid a bhaint as an eolas go bhfuil $p = mv \ll mc$ do gach rud nach bhfuil ag teacht ar luas na solais (mura bhfuil aon rud a aimsíonn tú nach bhfuil sástaithe leis seo)! Mar sin, laghdóidh an téarma seo go:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Áit

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Is é an cinnéireacht chineálta atáimid ag feiceáil ó phéisic ar leibhéal scoile. Anois ar ais chuig an fhuaimfhionnchun, cuirimis isteach an eolas nua seo agus féachaimis cad a bhainneamar amach:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

An réasún go bhfuil an dá téarma seo roinnt anois ná go mbeidh an chéad téarma $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (arís ar bhonn luais na solais) go míchruinní i gcoitinne ná an dara téarma agus nach gcuireann sé in iúl go díreach an comhbhaint-páirtí atá á lorg againn. Mar sin, chun an difríocht seo a láidriú, glacaimid anois:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Áit a rinneadh anois sainmhíní:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Gabhaimid anois an chéad agus an dara déirbhreiseach páirchiúil de $\Psi(\vec{r},t)$ agus féachaimid cad atá mar thoradh. An chéad:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

agus an dara:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Ba cheilt go bhfuil an téarma deiridh leis an dara dérivéad páirteach an-bheag mar gheall ar an fíric nach bhfuil $c^2$ téarma ag caitheamh an ord de mhéide, agus mar sin trí mheastachán, is é an dara dérivéad fíor:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

An fáth sneachta gur ghlac muid na dhé rivéada páirteacha seo ná go mbeadh muid in ann iompú iad isteach sa chothromóid seo a scríobhann an fhnction tonnach:

Ach sular féidir linn é sin a dhéanamh, glacaimid an fhoirmle seo chun a aird a chur air agus beidh againn cothromóid a dtugtar Klein-Gordon equation uirthi:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Anois is féidir linn é seo go héasca a ginearálú chuig 3-imear do réir mar a dhéanfaimis de chuid den chothromóid seo cothromóid vactor (gach céim a ghabháil againn chun an fhoirmle seo a bhaint amach déanfar i gcónaí d'imear $x,y$ , agus $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Tá an cothromóid seo ar eolas mar an Choithromóid Klein-Gordon do pháirtí saor. Is cothromóid reiligiúnach í seo mar nach ndéanann a téarma fuinnimh na bríomhaireacht a rinneamar leis an $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Anois, lig sinn simplíú an Choithromóid Klein-Gordon (ag filleadh siar suas go 1-imear agus ag cur isteach ár fhoirmle nua fuinnimh) agus tagfaimid ar an Coithromóid Schrödinger atá tar éis:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Cuirfidh muid isteach ár ghnáthchuid uileacha nua dáta faoi $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ áit a dtáinig muid ar an da chéad agus da dara dérivéide le linn ama:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Anois, níl ag ár dteorainn ach aird a dhéanamh ar an mheastachán chun an Choimhnidh Schrödinger in trí diminsiún a fháil (tabhair faoi deara nach bhfuil $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Is féidir an argóint a dhéanamh trí aird a thabhairt ar an gcosúlacht idir an Hamiltonian clasaiceach go dtuigeann an téarma ar an taobh deise den chothromóid an oll-éigin cinniteach an fhuaimchaint.

Sa dhaibhialú againn, rinneamar aird ar an méideas nach raibh $V(\vec{r},t)$ ach 0 agus gur luaitear é ar an gcumhacht cinetic amháin. Is eol dúinn go bhfuil an seónach puroilisitiv le déanamh lena n-athraithe spáis agus mar sin, is é seo an Coimhnidh Shchrödinger iomlán in trí diminsiún le seónach:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Sin é! Tá an Coimhnidh Shchrödinger iomlán do phairicil neamhsodhreachtach in trí diminsiún a dhaibhialú againn. Má tá tú sásta leis an post seo agus mian leat tuilleadh cosúil leis a fheiceáil, cuir r-phost chuig IEE-Business chun a léiriú.

Aitheasc

Gasiorowicz, S. (2019). Fisic Córais Fadhbacha. 2ú eagrán. Ceanada: Hamilton Printing, pàigí 1-50.
Griffiths, D. (2019). Fisic Córais Fadhbacha. 3ú eagrán. Priontós Ollscoile, Cambrigde: Priontós Ollscoile na hÉireann, Cambrigde.
Ward, D. agus Volkmer, S. (2019). Conas an tEquation Schrodinger a Tháirgeadh. [ar líne] arXiv.org. Inrochtaine ag: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Roghadh 29 Bealtaine 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1ú eagrán. Nua-Eabhrac: Springer Science, pàigí 1-40.

Déan Aitheasc: Meastar an orginial, forbraítear artícleanna maith chun roinnt, mura mba dhócha go bhfuil breach cearta foilsithe teagmháil le scoilbheáil.

Tabhair leithrinn agus coiméide an údar!

Teama:

Cuiditheoirí Fisice

Teoiric Chuantach

Maidir le heispertí

Electrical4u

China

Réimse eolais

Basic Electrical

Limistéar saineolaíochta

607