Equazzjoni tal-Ħalqa Schrödinger: Derivazzjoni u Spjegazzjoni

Electrical4u

Camp: Elektriku Bażiku

China

X’id huwa l-Equazzjoni ta’ Schrödinger?

L-equazzjoni ta’ Schrödinger (anke magħrufa bħala equazzjoni tal-mogħdija ta’ Schrödinger) hi equazzjoni partiċi differenzjali li tiddeskrivi d-dinamika tas-sistemi mekanika kvantika permezz tal-funzjoni tal-mogħdija. It-trajett, il-pożizzjoni, u l-enerġija ta’ dawn is-sistemi jistgħu jiġu mrieħa billi tiġi solvuta l-equazzjoni ta’ Schrödinger.

Kollass informazzjoni għal partikula subatomika hija enkodifikata fil-funzjoni tal-mogħdija. Il-funzjoni tal-mogħdija se tkun soddisfa u tista' tisolvta permezz tal-equazzjoni ta’ Schrödinger. L-equazzjoni ta’ Schrödinger hi waħda mill-assiomi fundamentali li jintroduċu fl- fizika tal-livell universitarju. Huwa wkoll aktar komuni li tintroduċi l-equazzjoni ta’ Schrödinger fil-pjan di studju tal-inginerija elettrika fid-università minħabba li tappplika għal semiconduċturi.

Infatt, fik-ktieb kella, hi biss tinstab bħala postulat u qatt ma tinġix derivata b'mod signifikanti. Dan huwa ħafif dissatisfatt, għax kemm mhux kbir ta’ l-każ fit-fizika kvantika tal-livell universitarju huwa mbini fuq din il-base. F’dan l-artiklu, se niderivaw l-equazzjoni mill-bidu u nħarsu l-aħħar pass possibli.

Interessantement, l-argumenzi li se niffaċċjaw huma l-istess li l-Schrödinger stess ħalliet, għalhekk tista' tara r-rigat tad-dħiela li raġel kbir kien qed jagħmel fl-ħin tiegħu. Bħala rikord, hawn hekk huwa l-equazzjoni ta’ Schrödinger dipendenti minn it-temps fi tliet dimenżjonijiet (għal partikla non-relativistika) mal-ħilja:

Fizika Kvantika u Mogħdiji

Kull wieħed jħobb jikkarriġa l-fizika klassika – imma servitna ħafna għal ftit (fekk trid ttfittex l-mekanika Newtonjana, l-equazzjonijiet ta’ Maxwell, u l-relatitività speċjali).

Imma, kif dan nieħdu l-istess articoli ta' qabel, ir-riżultati sperimentali f'dawn il-miljun tad-dar għal dar ma kienu qishom ħafna mal-fiżika magħrufa tal-ħin. L-artikoli tagħna dwar it-esperjenza tal-wiżżet tnejn u b'mod ikkumulattiv il-lampa fotoelektrika huma riżultati sperimentali li ma kellelux jimpajjaw b'sodisfaċenz mal-komprens mill-ħin.

Però x'taħt? Bi soddità, fi l-fiżika klassika hemm żewġ entitajiet, partikli u vloj. Il-karatteristiċi ta' dawn l-entitajiet jistgħu jiġu miftuħa hekk:

Partikli: pakketti lokali ta' energija u momentu mehmeġ $m$ .

Vloj: distorbimenti spazjaġi li jispandu f'dan l-ispazju u jivvaġġaw fit-temps. Jistgħu jiġu miftuħa bl-funzjoni tal-vloj $\psi(\vec{r}, t)$ li tiftaħ il-vloj fil-ispazju u ftit-tps.

Dan jagħmelna nsib ir-riżultati sorprendenti f'l-Emissjoni Fotoelektrika tagħna. Ssibtu li l-elettron jimmutta dawk l-karatteristiċi. Dan jikkontraddi l-komprens magħruf tal-ħin, għax l-żewġ entitajiet kienu konsidratijiet esklussivi mutwal.

Qishom ħafna, mhux? Fi dawn il-ħin, xi persuni influenti fid-fiżika bdew jaqsmu li kellu x-gap fil-għarfien, u l-ħruġ kbir ġej minnu meta Louis de Broglie assosja momment (għal partiklu) mal-wavlen (għal vloj) imdat bi

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Anki, minn Photoelectric Emission nafhu l-għadid ta’ absorzzjoni u emissjoni ta’ fotoni (li għalija mhux certi jekk huma partikoli jew talfien) li għandhom energija definita bħal

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Ftittxuwa $\hbar = h/2\pi$ u $\omega=2\pi f$ . Iġġibu l-istess stadija li kienet qabla li Schrödinger derivaw l-ekwazzjoni tajba tagħhom. Però, minn fejn nibdew? Ħa nafu li l-elettroni u l-fotoni qed jmuraw bil-karatteristiċi tal-talfien u tal-partikolu. Ma jkunx xejn sbagħat biex nibdew mill-ekwazzjoni univursali li l-kulħadd tal-talfien għandhom jaqbadu, u wara dawk introduċi l-fizika tal-partikolu biex nara jekk jkollna riżultat.

Kif Derivaw l-Ekwazzjoni tal-Talfien

Il-moħħol $\psi(\vec{r}, t)$ jgħaddi l-ekwazzjoni tal-talfien. Irkopp, l-elettron jmur bil-karatteristiċi tal-talfien u għandu karriġa elettromagnetika. Allura, għal issa, irnexxiel fil-kampi elettromagnetici. F’dan is-silġ, il-ligi ta’ Maxwell it-tappliku u hawnhom fl-kulur tagħhom:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Fejn $c$ huwa l-veloċità tal-lanġas fil-vakju, $\vec{E}$ huwa l-kamp elettriku u $\vec{B}$ huwa l-kamp maġnetiku. L-equazzjoni ta' fuq hi s-silġ ta' ġeneraturi elettriki, indutturi, u trasformatori u ttemmam il-Liġi ta' Faraday.

Anki, waħda mill-konsegwenzi minn $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ hi li m'għandhomx monopoli maġnetiku. Taf il-derivazzjoni ta' dawn l-equazzjonijiet u l-signifikat fiziku tagħhom jgħin lil inġenier sabiex ikun qiegħed. Issa, derivaw l-equazzjoni li għandha tuċċid quddiem kull onda elettromagnetika bħalaapplikazzjoni ta' curl għal Equazzjoni 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Issa nistgħu nużaw identità vektorjali (u asseblata) familiari: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ fejn $T$ huwa vettur sostitutiv. Applikawha għal l-equazzjoni tagħna issa:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ir-ridott il-problema huwa l-iżjum tal-ewweljoni elettromagnetiku fl-3 dimensjonijiet. Din l-iżjum ma tħassil biss fil-leġġi elettromagnetika – imma tħassilt ukoll fis-silġ akustika, fis-silġ sismika, fis-silġ tal-ħoss, fis-silġ tal-ilma, u fid-dinamika tal-flus.

Kif Tidderiva l-Equazzjoni ta' Schrödinger

Soluzzjonijiet tal-Plani tal-Ħoss għal l-Equazzjoni tal-Ħoss

Biddlu mill-equazzjoni tal-ħoss għal 1-dimensjoni (huwa verament ħafna sew jġeneraliża għal 3 dimensjonijiet wara kif il-logika se tkun applikabbli f’kull $x, y$ , u $z$ dimensjonijiet.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Din, fi realta', hi equazzjoni differenzjali parzjali tas-silġ it-tnejn u tikkonformi mal-soluzzjonijiet tal-ħoss tal-plani:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

Min nafu l-mekkanika tal-ħalq normali li $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ u $\omega = 2 \pi f$ . Iddi, lana nużaw il-lavoro ta' Einstein u Compton u nsostitwixxu l-fatt li l-enerġija tal-foton hija magħrufa bħala $\mathsf{E} = \hbar \omega$ u minn de-Broglie li $p = h / \lambda = \hbar k$ . Nistgħu nagħmlu aktar massaż għall-soluzzjoni tal-ħalq pjanar:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Din hi l-equazzjoni tal-ħalq pjanar li tdescrivi l-foton. Aħna nisostitwixxu din l-equazzjoni fil-equazzjoni tal-ħalq tagħna u naraw x'nisghu!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

F’hekk, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ li tajjeb ħafna għax nafu mill-relatività speċjali li l-enerġija totale għal partikula relativiżta b'massa $m$ hi:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

U sibna nistgħu niffaċċaw bl-foton biss sa l-aħħar, li ma għandux massa $(m=0)$ ! Allura, hawn huwa l-mument li nghiddu li nagħmlu l-pass għal partiċella b'massa (kif il-lilektron pereżempju) u nibdel il-nom tal-equazzjoni tagħna f' $\Psi$ għax aħna ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Il-quddiem, din l-equazzjoni ġejja minn is-sostituzzjoni tal-equazzjoni tal-onda tas-silġ fil-equazzjoni tal-onda. Imma, skont ir-ridott li għandna l-enerġija tisolvi l-enerġija relativiżta totale għal partiċella b'massa, għandna nivvogħġu l-equazzjoni tal-onda qisqos. Dan għalhekk li l-equazzjoni tal-onda ma tista' tkun tola fis-silġ nuvo tal- $\Psi$ li tiddeskrivi partiċelli u ondi. Ora, nistgħu nivvogħġu għal operator biex nikkriġu l-equazzjoni ta' fuq, u hi magħrufa bħal:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Il-Soluzzjoni ta' Partikli b'Masa fil-Equazzjoni tal-Ħalqa

Issa naraw li nagħmlu xi approssimazzjonijiet fuq l-enerġija kollha li ħsebna qabel bl- $\mathsf{E}$ għal partiklu b'momentum u massa. Biss naraw li niffruxu l-formola qishom biex nużaw xi approssimazzjonijiet.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Il-kelb tal-maniplu dan huwa biex inegħtieq l-equazzjoni f'forma ta' $\sqrt{1 + x}$ sabiex jekk nikkalkulaw it-talsil ta' Taylor ta' din l-equazzjoni nistgħu:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Meta $x$ huwa żgħir, il-parti l-biss li tibqa' fil-taljament Taylor hija il- $O(1)$ termin. Fil-formola tagħna tal-enerġija, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Nistgħu niftekmu mill-fatt li $p = mv \ll mc$ għal ħafna li ma jiġux bil-veloċità tal-lum (jekk toqgħod xi xosa li ma taqbilhom dan, jekk jogħġbok innota)!. Allura din it-termi tista' tużaw:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Fejn

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Huwa l-enerġija kinetika normali li nara minn fizika tas-silġ. Ora, nruġġu lil funzjoni tal-mogħża, inqaddmu d-informazzjoni ġdida u naraw x’se nġibu:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Il-razjoni li ġejna nseħħu l-termini żewġa hawnhekk hija li l-terminu l-ewwel $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (mill-veloċità tal-lum biss) se tkun ossiljattiva kbir iktar mill-terminu t-tieni u ma jiddeskrivix il-partiklu-ondata li qed nghaddu minnu. Għalhekk biex nkunu ċerti ta' din id-differenża, stabiliw li:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Fejn definajna:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ħalli nikkalkulaw il-derivati parziali l-ewwel u t-tieni ta' $\Psi(\vec{r},t)$ u nara x-xellug li s-saħħu. Il-ewwel:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

u t-tieni:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Għandna tibqa’ qalbi rikordu li l-aħħar term b’is-silġ ta’ l-derivata partiċi jew huwa ħafif minħabba li ma jexxi aktar term b’magħnud ta’ $c^2$ li jporta magħnud, u għalhekk, bl-apprussimazzjoni, is-silġ ta’ l-derivata vera hija:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Ir-rażun tal-baħar li ħsejnna dawn it-tnejn derivati partiċi kienet biex nistgħu nqaddemhom fid-dinja tal-moħħ ta’ din l-iżjed equazzjoni li tdeskrivi l-funzjoni tal-mogħża:

Sedtki qabel ma naqdi dan, hawn huwa wieħed nagħmlu riarranġament ta’ din l-formola u se nkunu bil-qiegħed ma’ equazzjoni li tissejjaħ l-equazzjoni Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Issa, nistħu nagħmlu ġeneraliżazzjoni ta' dan għal tliet dimenżjonijiet billi nittrasformaw l-iżwiedija f'iżwiedija vettorjali (kull pass li ħassna biex nirdjaw din il-formola se tippappla għal kull $x,y$ , u $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Dan l-iżwiedija huwa mafhuż bħala l-iżwiedija Klein-Gordon għal partiklu ħalisa. Dan l-iżwiedija hu relativistiċi minħabba li t-term tal-enerġija mhux jassumix is-silġ li ħassna mal-taqsir żgħir tal- $\sqrt{1+x}$ Taylor.

Issa, hawnhekk, nghasibu l-iżwiedija Klein-Gordon (qabel naqdi lura għal dimenżjun wahid u napplikaw it-taqsim tal-enerġija ġdid) u sseħħu nispiċċu l-iżwiedija Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ħa nnipponu l-funzjoni tal-mogħża ġdida li tiegħu $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ fejn nafu kif tibda l-ewwel u t-tnejnija derivati rispettivament għal żmien:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Issa jien għandna nqasmi biss biex nistgħu nużaw l-Equazzjoni ta' Schrödinger fit-tliet dimentjonijiet (itgħallim li $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Fejn tista’ tiġi fatta l-argumen tal-liġi mill-aħwa tas-silġ tal-Hamiltonjan klassiku li t-term fuq is-silġ destri tal-equazzjoni tiddeskrivi l-enerġija totale tal-funzjoni tal-mogħża.

Fl-inferenza tagħna, assumajna li $V(\vec{r},t)$ hu 0 u li s-sola l-enerġija kinetika kienet ġiet wieġba. Nafu li l-potentjal hu purament addittiv mal-varjazzjonijiet spazjali u għalhekk, l-Equazzjoni ta' Schrödinger tliet dimentjonijiet kompletta bl-potentjal hi:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Din hi! Hawn qiegħdin, din l-artiklu derivat l-Equazzjoni ta' Schrödinger kompleta għal partikola non-relativistika fit-tliet dimentjonijiet. Jekk inti għamlilt xiexwieq minn dan il-post u trid tara aktar posti bħal dawn, jekk jogħġbok, tibgħat email lena biex nagħtulha nifsna.

Referenzi

Gasiorowicz, S. (2019). Fizika Kwantitativa. 2na edizzjoni. Kanada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Fizika Kwantitativa. 3ja edizzjoni. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. u Volkmer, S. (2019). Kif Tidħol l-Equazzjoni ta' Schrödinger. [online] arXiv.org. Disponibbli hawn: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 Mejju 2019].
Shankar, R. (1980).Prinċipji tal-Fizika Kwantitativa. 1ja edizzjoni. New York: Springer Science, pp.1-40.

Dikjarazzjoni: Respektu l-orġinali, artikoli ġodda huma digni li jisshared, jekk hemm infringement jekk jogħġbok ikkuntattja tħassir.

Agħti tipp u inkoraġixxi l-awtur!

Suġġetti:

Artikoli tal-Fizika

Teorija Kwantika

Rigward l-esperji

Electrical4u

China

Area tal-espertizza

Basic Electrical

Artiklu professjonali

607