შროდინგერის ტალახის განტოლება: გამოყვანა და პასუხი

Electrical4u

ველი: ბაზიური ელექტროტექნიკა

China

შროდინგერის განტოლება რას წარმოადგენს?

შროდინგერის განტოლება (ასევე ცნობილი როგორც შროდინგერის ტალღის განტოლება) არის პარციალური დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს კვანტური მექანიკის სისტემების დინამიკას ტალღის ფუნქციის საშუალებით. ამ სისტემების ტრაექტორია, პოზიცირება და ენერგია შროდინგერის განტოლების გადასაჭრელად არის ხელმისაწვდომ.

ქვეატომური ნაწილაკის ყველა ინფორმაცია შედის ტალღის ფუნქციაში. ტალღის ფუნქცია შროდინგერის განტოლების დასახელების შესაძლებლობას აძლევს და შროდინგერის განტოლებით შესაძლებელია მისი ამოხსნა. შროდინგერის განტოლება არის ერთ-ერთი ფუნდამენტური აქსიომა, რომელიც ჩაიტაცება სტუდენტურ ფიზიკაში. ის უფრო ხშირად ხდება შროდინგერის განტოლების შეტაცვა ელექტროტექნიკის სილაბუსში უნივერსიტეტებში, რადგან ის გამოიყენება სემიკონდუქტორებში.

სამწუხაროდ, როგორც ერთი შემთხვევაში, ასევე მეორეში, ის მხოლოდ პოსტულატით არის გამოთქმული და არ არის ნამდვილად გამოყვანილი. ეს არის შესანიშნავად არასაკმარისი, რადგან სტუდენტურ კვანტურ ფიზიკაში ნამდვილად ყველაფერი არის ამ ფუნდამენტზე დამყარებული. ამ სტატიაში ჩვენ გადავიყვანთ განტოლებას ნულიდან და მე შეეცადებით ჩამოვთვალოთ ყველა ნაბიჯი.

საინტერესოა, რომ ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე არგუმენტებს, რომლებიც შროდინგერი თავად გამოიყენა, ასე რომ შეგიძლიათ ნახოთ იგივე სილოგიზმები, რომლებიც გიგანტი თავის დროს გამოიყენებდა. როგორც შეხედვა, აქ არის დროზე დამოკიდებული შროდინგერის განტოლება სამ განზომილებაში (არარელატიური ნაწილაკისთვის) მთელი სილამაზით:

კვანტური ფიზიკა და ტალღები

ყველას უყვარს კლასიკურ ფიზიკას გადახვევა, მაგრამ ის ჩვენ საკმარისი დროს კარგად დაგვიმსახურა (გახსოვდეთ ნიუტონის მექანიკა, მაქსველის განტოლებები და სპეციალური რელატივისტიკა).

თუმცა, როგორც ჩვენი წინა სტატიებიდან გამომდინარე, შუასაუკუნეს საღამოზე დასრულებული ექსპერიმენტების შედეგები არ იყო საკმარისი ამჟამად ცნობილ ფიზიკასთან შედარებით. ჩვენი სტატიები დუბლიური შხვრის ექსპერიმენტზე და ნაწილობრივ ფოტოელექტრონული ეფექტის შესახებ არის ექსპერიმენტული შედეგები, რომლებიც არ ემთხვევოდა ამჟამად ცნობილ განმარტებებს.

მაგრამ რატომ? რეკომი განვიხილოთ, კლასიკურ ფიზიკაში არსებობს ორი ენტიტეტი, ნაწილაკები და ტალღები. ამ ორი ენტიტეტის მახასიათებლები შემდეგნაირად შეიძლება აღიწეროს:

ნაწილაკები: ენერგიისა და იმპულსის ლოკალიზებული კომპლექტები მასით $m$ .

ტალღები: დენები, რომლებიც გავრცელდებიან სივრცეში და დროთა განმავლობაში. ისინი შეიძლება აღიწეროს ტალღის ფუნქციით $\psi(\vec{r}, t)$ რომელიც აღწერს ტალღას სივრცეში და დროში.

ეს გვიყვანს ჩვენი სტატიის შედელს ფოტოელექტრონული ემისიის შესახებ. ჩვენ გავიგეთ, რომ ელექტრონი გამოიმუშავებს ორივე ამ თვისებას. ეს სრულიად წინააღმდეგობს ამჟამად ცნობილ განმარტებებს, რადგან ეს ორი ენტიტეტი თავის დროს ითვლებოდა ერთმანეთთან არათანხმებულად.

შესანიშნავი არა? ამ დროს, ფიზიკაში რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფიგურა იწყებდა განსჯას იმის შესახებ, რომ ცოდნაში არსებობდა განხეთქილება და დიდი განხეთქილება მოხდა, როდესაც ლუი დე ბროგლი დააკავშირა ნაწილაკის იმპულსი ტალღის ტალღის სიგრძეს შემდეგი ფორმულით:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

ასევე, ფოტოელექტრონული გასხივებიდანPhotoelectric Emission ვიცით, რომ ფოტონების (ჯერ კიდევ არ ვიცით ნაწილაკი თუ ტალღა) ენერგიის ასვლა და გამოყოფა შეიძლება იყოს შემდეგი:

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

სადაც $\hbar = h/2\pi$ და $\omega=2\pi f$ . ჩვენ ვართ ზუსტად იმ ეტაპზე, რომელზეც შროდინგერი იყო თავის ცნობილი განტოლების გამოყვანამდე. მაგრამ სად უნდა დავიწყოთ? ვიცით, რომ ელექტრონები და ფოტონები გამოიყურებიან ტალღის და ნაწილაკის მსგავსად. არაფერი არასწორი იქნებოდა თუ დაიწყებდით უნივერსალური განტოლებით, რომელიც ყველა ტალღა უნდა დაეცვას, და შემდეგ შემოიტანებდით ნაწილაკურ ფიზიკას და ნახავდით, როგორი შედეგი მიიღება.

როგორ გამოვიყვანოთ ტალღის განტოლება

დარღვევა $\psi(\vec{r}, t)$ აკმაყოფილებს ტალღის განტოლებას. გახსოვდეთ, ელექტრონი გამოიყურება ტალღის მსგავსად და აქვს ელექტრომაგნიტური დარჩენილი. ამიტომ, ახლა უბრალოდ შევხედოთ ელექტრომაგნიტურ ველებს. ამ სცენარისთვის მაქსველის განტოლებები განსაზღვრულია და აი, ისინი მთელი სილამაზით:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

სადაც $c$ არის სინათლის სიჩქარე ვაკუუმში, $\vec{E}$ არის ელექტრული ველი და $\vec{B}$ არის მაგნიტური ველი. ზემოთ მოყვანილი პირველი განტოლება არის ელექტრო გენერატორების, ინდუქტორების და ტრანსფორმატორების საფუძველი და წარმოადგენს ფარადეის კანონის ხარისხს.

ასევე, ერთ-ერთი შედეგი არის განტოლებიდან $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ის, რომ არ არსებობს მაგნიტური მონოპოლი. ეს განტოლებების დასახურების და ფიზიკური მნიშვნელობის გაგება ხდის ინჟინერს რთულად დაფუძნებულს. ახლა, განვიხილოთ განტოლება, რომელსაც უნდა დაემორჩილოს ნებისმიერი ელექტრომაგნიტური ტალღა, გამოვიყენოთ როტორი განტოლება #4-ზე:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ახლა შეგვიძლია გამოვიყენოთ ძალიან ცნობილი (და ადვილად დამტკიცებული) ვექტორული იდენტიფიკაცია: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ სადაც $T$ არის რაღაც ვექტორი. გამოვიყენოთ ჩვენს პატარა განტოლებაზე:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

ჩვენ აქ მივიღეთ ელექტრომაგნიტური ტალღის განტოლება სამ განზომილებაში. ეს განტოლება არამียง ელექტრომაგნიტურ ტალღებში კი, არამედ აკუსტიკაში, სეისმურ ტალღებში, სიმღერის ტალღებში, წყლის ტალღებში და ფლუიდურ დინამიკაშიც გამოჩენილია.

შროდინგერის განტოლების გამოყვანა

ტალღის განტოლების სიბრტყის ტალღის ამოხსნები

ჩვენ დავიწყებთ ტალღის განტოლებით ერთ განზომილებაში (შემდეგ ძალიან ემსახურება ზოგადი შემთხვევა სამ განზომილებაში, რადგან ლოგიკა მუშაობს ყველა განზომილებაში): $x, y$ და $z$ განზომილებებში.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

ეს ნამდვილად მეორე რიგის ნაწილობითი დიფერენციალური განტოლებაა და ის სიბრტყის ტალღის ამოხსნებით დაკმაყოფილდება:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (შეამოწმეთ თავით!). } \end{equation*}$

რადგან ჩვენ ვიცით ნორმალური ტალღის მექანიკიდან, რომ $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ და $\omega = 2 \pi f$ . ახლა, გამოვიყენოთ ეინშტეინისა და კომპტონის ნაშრომი და ჩავსვათ ფოტონის ენერგიის გამოსახულება, რომელიც გამოითვლება როგორც $\mathsf{E} = \hbar \omega$ და დე-ბრუის თეორიით, რომ $p = h / \lambda = \hbar k$ . ჩვენ შეგვიძლია შემდეგი სიბრტყის ტალღის განტოლება შევქმნათ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

ეს არის სიბრტყის ტალღის განტოლება, რომელიც აღწერს ფოტონს. ჩავსვათ ეს განტოლება ჩვენს ტალღის განტოლებაში და ვნახოთ, რა მივიღებთ!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ რაც კარგია, რადგან ჩვენ ვიცით სპეციალური რელატივისტიკიდან, რომ სრელატივისტური წარმოების სრული ენერგია მასით $m$ არის:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

და ჩვენ მხოლოდ ფოტონთან გავიმეშვით, რომელიც არ აiliki მასას $(m=0)$ ! ასე რომ, გავაფართოვოთ ჩვენი ცოდნა და გამოვიყენოთ სრელატივისტური ენერგიის სრული გამოსახულება მასით მქონე წარმოებაზე (როგორიცაა ელექტრონი) და შევცვალოთ ჩვენი განტოლების სახელი ამას $\Psi$ , რადგან ჩვენ ვართ ბალერები.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ახლა ეს განტოლება გამოვიდა ფოტონის სიბრტყის ტალღის განტოლების ჩასმით ტალღის განტოლებაში. თუმცა, რადგან ჩვენ გვინდა ენერგია გადავარჩიოთ სრელატივისტური ენერგიის სრული გამოსახულება მასით მქონე წარმოებაზე, ჩვენ უნდა შევცვალოთ ტალღის განტოლება ცოტა. ეს იმიტომ ხდება, რომ ტალღის განტოლება არ უნდა სრულად გამოვიყენოთ ჩვენი ახალ $\Psi$ , რომელიც აღწერს წარმოებას და ტალღას. ჩვენ შეგვიძლია ახლა გადავარჩიოთ ოპერატორი და მივიღოთ ზემოთ მოცემული განტოლება, რომელიც შეიძლება იყოს:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ტალღის განტოლებაში მასის მქონე ნაწილაკების დახრილების პოვნა

ჩვენ ახლა გვინდა რამდენიმე აპროქსიმაცია გავუკეთოთ რეალურ ენერგიაზე, რომელიც უკვე აღწერილია $\mathsf{E}$ ნაწილაკისთვის, რომელსაც აქვს იმპულსი და მასა. დავარეკოთ ფორმულა ცოტა ისე, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ რამდენიმე აპროქსიმაცია.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

ეს მანიპულაციის მთავარი იდეა არის განტოლების ჩაწერა ფორმაში $\sqrt{1 + x}$ რადგან თუ ამ განტოლების ტეილორის სერიებით გავხადავთ, მივიღებთ:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

როდესაც $x$ პატარაა, ტეილორის გაფართოებაში დარჩენილი იქნება მხოლოდ $O(1)$ ტერმინალი. ჩვენს ენერგიის ფორმულაში, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ $p = mv \ll mc$ ნებისმიერი რამეზე, რომელიც არ მოიძღვება სინათლის სიჩქარით (თუ ნებისმიერი რამე ნახავთ, რომელიც არ აკმაყოფილებს ამ პირობას, გთხოვთ მომპოვეთ)! ასე რომ, ეს ტერმინალი ფაქტიcznie შემცირდება:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

სადაც

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

ეს არის ჩვეულებრივი კინეტიკური ენერგია, რომელსაც ვხედავთ სკოლის ფიზიკაში. ახლა დაუბრუნდით წინა ტალანტის ფუნქციას, შევიტანოთ ახალი ინფორმაცია და ვნახოთ, რით დავასრულებთ:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

განვყოფთ ეს ტერმინები იმიტომ, რომ პირველი ტერმინი $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (კიდევ ერთხელ სიცოცხლის სიჩქარეზე დაფუძნებული) ნაკლებად რხევიანი იქნება ვიდრე მეორე ტერმინი და არ აღწერს ჩვენ საშუალებას პარტიკულ-ტალასის ენტიტეტს. ასე რომ, რათა დავახარისხოთ ამ განსხვავება, დავადგინოთ:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

სადაც ჩვენ განვსაზღვრეთ:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

ახლა ვიღებთ პირველი და მეორე ნაწილობრივ წარმოებულს $\Psi(\vec{r},t)$ -ს და ვნახავთ რას მივიღებთ. პირველი:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

და მეორე:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

უნდა გავიხსენოთ, რომ ბოლო ტერმინი მეორე ნაწილობითი წარმოებული ძალიან პატარაა, რადგან არ არის $c^2$ ტერმინი მაღალი რიგის მაჩვენებელით, და შესაბამისად ახლოს მიახლოებით, ფაქტიური მეორე წარმოებული გამოიყურება შემდეგნაირად:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

ჩვენ ამ ორ ნაწილობით წარმოებულს ასეთი მიზეზით აიღეთ, რომ შეგვეძლოს მათ ჩასართავად ამ რანის ფუნქციის აღწერაში:

მაგრამ ამის გაკეთებამდე, დავალაგოთ ეს ფორმულა და მივიღებთ განტოლებას, რომელიც ეწოდება კლეინ-გორდონის განტოლება:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ახლა შეგვიძლია ეს თანაბარი განზოგადება სამ განზომილებაში ამ განტოლების ვექტორულ განტოლებად გარდაქმნით (ყველა ნაბიჯი, რომელიც გამოვიყენეთ ამ ფორმულის გამოყვანაში, გამოიყენება ყველა თანაბარი შემთხვევისთვის $x,y$ და $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

ეს განტოლება ცნობილია კლეინ-გორდონის განტოლება როგორც თავისუფალი წერტილი. ეს განტოლება რელატივისტურია, რადგან მისი ენერგიის ტერმინი არ იყენებს ჩვენ გამოვიყენებული პატარა ტეილორის გაფართოების შემთხვევაში $\sqrt{1+x}$ .

ახლა, დავამარტივოთ კლეინ-გორდონის განტოლება (დაბრუნდით ერთ განზომილებაში და გამოვიყენოთ ჩვენი ახალი ენერგიის ფორმულა) და მივაღწიოთ დიდი დროს დასალექსებელი შროდინგერის განტოლება:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

შევარავოთ ჩვენი ახალი ტალანის ფუნქცია შემდეგით $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ სადაც ჩვენ ვიცით, როგორ გამოიყურება პირველი და მეორე წარმოებული დროზე მიმართ:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ახლა ყველაფერი, რაც გვჭირდება, არის მარტივი რეარანჟირება სამგანზომილებიანი შროდინგერის განტოლების მისაღებად (შესახებ დაკავშირებული არის $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

აქ შესაძლებელია არგუმენტის ჩასმა, თუმცა კლასიკური ჰამილტონის ჰამილტონიანის მსგავსებით, განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე ტერმინი აღწერს ტალანტის სრულ ენერგიას.

ჩვენს გამოყვანაში ჩვენ შეგვიძლია დავუშვათ, რომ $V(\vec{r},t)$ არის 0 და რომ მხოლოდ კინეტიკური ენერგია იყო გათვალისწინებული. ჩვენ ვიცით, რომ პოტენციალი სრულად ადიტიურია მისი სივრცითი ვარიაციების მიხედვით და ამიტომ, სრული შროდინგერის განტოლება სამგანზომილებიანი პოტენციალით არის:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

ეს არის! აქ ჩვენ გამოვიყვანეთ სრული შროდინგერის განტოლება სამგანზომილებიანი ნონ-რელატიური ნაწილაკისთვის. თუ თქვენ მოგწონა ეს პოსტი და გსურთ მსგავსი პოსტების მიღება, გთხოვთ მოგვწეროთ ელ-ფოსტით და უახლოეს დროს დაგაკავშირდეთ.

მითითებები

Gasiorowicz, S. (2019). კვანტური ფიზიკა. 2-ე გამოცემა. კანადა: Hamilton Printing, გვ.1-50.
Griffiths, D. (2019). კვანტური ფიზიკა. 3-ე გამოცემა. უნივერსიტეტის გამოყენების ხელისუფლება, კემბრიჯი: Cambridge University Press.
Ward, D. და Volkmer, S. (2019). როგორ გამოვითვალოთ შროდინგერის განტოლება. [ონლაინ] arXiv.org. ხელმისაწვდომია: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [წვდომის თარიღი 29 მაისი 2019].
Shankar, R. (1980).კვანტური მექანიკის პრინციპები. 1-ე გამოცემა. ნიუ-იორკი: Springer Science, გვ.1-40.

დეკლარაცია: დაიცავეთ ორიგინალი, კარგი სტატიები ღირს გაზიარების, თუ შედეგი ინფრინჯირების შესახებ კონტაქტი შექმენით წაშლისთვის.

მოგვაწოდეთ შემოწირულობა და განათავსეთ ავტორი!

თემები:

ფიზიკის სტატიები

კვანტური თეორია

ექსპერტების შესახებ

Electrical4u

China