Phương trình sóng Schrödinger: Đạo hàm và Giải thích

Electrical4u

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

China

Phương trình Schrödinger là gì?

Phương trình Schrödinger (còn được biết đến với tên gọi phương trình sóng Schrödinger) là một phương trình đạo hàm riêng mô tả động lực học của các hệ thống cơ học lượng tử thông qua hàm sóng. Quỹ đạo, vị trí và năng lượng của những hệ thống này có thể được tìm ra bằng cách giải phương trình Schrödinger.

Tất cả thông tin về một hạt dưới nguyên tử được mã hóa trong hàm sóng. Hàm sóng sẽ thỏa mãn và có thể được giải bằng phương trình Schrödinger. Phương trình Schrödinger là một trong những tiên đề cơ bản được giới thiệu trong vật lý đại cương. Nó cũng ngày càng phổ biến khi được giới thiệu trong chương trình kỹ thuật điện tại các trường đại học vì nó áp dụng cho chất bán dẫn.

Thật không may, nó chỉ được nêu như một giả định trong cả hai trường hợp và không bao giờ được dẫn xuất theo cách nào có ý nghĩa. Điều này khá đáng tiếc vì hầu hết mọi thứ khác được dạy trong vật lý lượng tử đại cương đều dựa trên nền tảng này. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ dẫn xuất phương trình từ đầu và tôi sẽ cố gắng trình bày từng bước thực hiện.

Thú vị thay, các lập luận mà chúng tôi đưa ra giống hệt như những lập luận mà chính Schrödinger đã sử dụng, vì vậy bạn có thể thấy cách tư duy của một thiên tài trong thời gian của ông. Như một lời nhắc nhở, đây là phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian trong ba chiều (cho một hạt phi tương đối) trong tất cả vẻ đẹp của nó:

Vật lý lượng tử và Sóng

Mọi người thường thích chê bai vật lý cổ điển – nhưng nó đã phục vụ chúng ta rất tốt trong một thời gian dài (như cơ học Newton, phương trình Maxwell, và thuyết tương đối đặc biệt).

Tuy nhiên, như đã được thể hiện trong các bài viết trước đó của chúng tôi, kết quả thực nghiệm vào đầu thế kỷ không hề nổi bật so với kiến thức vật lý lúc bấy giờ. Các bài viết của chúng tôi về thí nghiệm hai khe và một phần hiệu ứng quang điện là những kết quả thực nghiệm không khớp tốt với sự hiểu biết thời đó.

Nhưng tại sao? Để nói một cách đơn giản, trong vật lý cổ điển tồn tại hai thực thể, hạt và sóng. Đặc điểm của cả hai thực thể này có thể được mô tả như sau:

Hạt: các gói năng lượng và động lượng cục bộ có khối lượng $m$ .

Sóng: nhiễu loạn lan truyền qua không gian theo thời gian. Chúng có thể được mô tả bằng hàm sóng $\psi(\vec{r}, t)$ mô tả sóng qua không gian và thời gian.

Điều này dẫn đến những kết quả đáng ngạc nhiên tìm thấy trong bài viết của chúng tôi về Phát xạ quang điện. Chúng tôi đã phát hiện rằng electron thể hiện cả hai tính chất này. Điều này hoàn toàn trái ngược với sự hiểu biết thời đó khi hai thực thể này được coi là độc lập với nhau.

Thật điên rồ phải không? Khoảng thời gian này, một số nhân vật có ảnh hưởng lớn trong vật lý bắt đầu nhận ra có một khoảng trống trong kiến thức, và một bước đột phá lớn xuất hiện khi Louis de Broglie liên kết động lượng (đối với hạt) với bước sóng (đối với sóng) cho bởi

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ngoài ra, từ Phát xạ Quang điện chúng ta biết rằng sự hấp thụ và phát xạ của photon (vẫn chưa chắc chắn là hạt hay sóng) có năng lượng được biểu diễn bởi

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Trong đó $\hbar = h/2\pi$ và $\omega=2\pi f$ . Chúng ta hiện đang ở cùng giai đoạn mà Schrödinger đã trải qua trước khi dẫn xuất phương trình nổi tiếng của ông. Nhưng chúng ta bắt đầu từ đâu? Chúng ta biết rằng electron và photon đang thể hiện hành vi giống như sóng và hạt. Không có gì sai khi bắt đầu với một phương trình chung mà tất cả các sóng đều tuân theo, sau đó giới thiệu vật lý hạt vào để xem có kết quả nào không.

Cách Đạo Hàm Phương Trình Sóng

Sự nhiễu loạn $\psi(\vec{r}, t)$ tuân theo phương trình sóng. Nhớ rằng, electron thể hiện hành vi giống như sóng và có điện tích điện từ. Do đó, cho đến bây giờ, hãy chỉ xem xét các trường điện từ. Trong kịch bản này, các phương trình Maxwell áp dụng và đây là chúng trong toàn bộ vẻ đẹp:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Trong đó $c$ là tốc độ của ánh sáng trong không gian chân không, $\vec{E}$ là điện trường và $\vec{B}$ là từ trường. Phương trình đầu tiên trên đây là cơ sở của máy phát điện, cuộn cảm, và biến áp và là hiện thân của Định luật Faraday.

Ngoài ra, một trong những ý nghĩa từ $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ là không tồn tại cực từ đơn lẻ. Việc hiểu rõ cách dẫn xuất các phương trình này và ý nghĩa vật lý đằng sau chúng giúp tạo nên một kỹ sư toàn diện. Bây giờ, hãy dẫn xuất phương trình mà bất kỳ sóng điện từ nào cũng phải tuân theo bằng cách áp dụng phép xoắn cho Phương trình 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Bây giờ, chúng ta có thể sử dụng một đẳng thức vectơ rất quen thuộc (và dễ chứng minh): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ trong đó $T$ là một vectơ thay thế. Áp dụng vào phương trình nhỏ của chúng ta:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Kết quả mà chúng ta có ở đây là phương trình sóng điện từ trong ba chiều. Phương trình này không chỉ xuất hiện trong sóng điện từ mà còn được thể hiện trong âm học, sóng địa chấn, sóng âm, sóng nước và động lực học chất lỏng.

Cách Đạo Hàm Phương Trình Schrödinger

Giải pháp Sóng Phẳng cho Phương Trình Sóng

Bắt đầu với phương trình sóng cho một chiều (rất dễ tổng quát hóa thành ba chiều sau đó vì logic sẽ áp dụng cho tất cả $x, y$ , và $z$ chiều.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Đây thực sự là một phương trình vi phân riêng bậc hai và được thỏa mãn bởi giải pháp sóng phẳng:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kiểm tra điều này cho chính bạn!). } \end{equation*}$

Chúng ta biết từ cơ học sóng thông thường rằng $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ và $\omega = 2 \pi f$ . Bây giờ, hãy sử dụng công trình của Einstein và Compton và thay thế vào thực tế rằng năng lượng của một photon được cho bởi $\mathsf{E} = \hbar \omega$ và từ de-Broglie rằng $p = h / \lambda = \hbar k$ . Chúng ta có thể tiếp tục xử lý giải pháp sóng phẳng của mình thành:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Đây là phương trình sóng phẳng mô tả một photon. Hãy thay thế phương trình này vào phương trình sóng của chúng ta và xem điều gì xảy ra!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Nói cách khác, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ điều này rất tốt vì chúng ta biết từ thuyết tương đối đặc biệt rằng năng lượng tổng cộng cho một hạt có khối lượng $m$ là:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Và cho đến nay, chúng ta chỉ đang làm việc với photon mà không có khối lượng $(m=0)$ ! Vì vậy, hãy mở rộng hiểu biết của chúng ta và áp dụng năng lượng tương đối tổng cộng cho một hạt có khối lượng (như electron, ví dụ) và thay đổi tên phương trình thành $\Psi$ vì chúng ta là những người chơi bóng.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Phương trình này xuất phát trực tiếp từ việc thay thế phương trình sóng phẳng cho photon vào phương trình sóng. Tuy nhiên, vì bây giờ chúng ta muốn giải quyết năng lượng tổng cộng tương đối cho một hạt có khối lượng, chúng ta cần thay đổi phương trình sóng một chút. Điều này là do phương trình sóng không nên hoàn toàn áp dụng cho $\Psi$ mới mô tả cả hạt và sóng. Bây giờ chúng ta có thể giải ngược để tìm một toán tử để có được phương trình trên, và nó được cho bởi:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Giải phương trình sóng cho các hạt có khối lượng

Bây giờ chúng ta muốn đưa ra một số xấp xỉ về năng lượng toàn bộ mà chúng ta vừa mô tả bằng $\mathsf{E}$ cho một hạt có động lượng và khối lượng. Hãy sắp xếp lại công thức một chút để chúng ta có thể sử dụng một số xấp xỉ.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Mục đích của việc thao tác này là đưa phương trình vào dạng $\sqrt{1 + x}$ vì nếu chúng ta thực hiện khai triển chuỗi Taylor của phương trình này, chúng ta sẽ có:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Khi $x$ nhỏ, phần duy nhất còn lại trong khai triển Taylor là phần $O(1)$ . Trong công thức năng lượng của chúng ta, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Chúng ta có thể tận dụng thực tế rằng $p = mv \ll mc$ cho bất kỳ thứ gì không di chuyển với tốc độ ánh sáng (xin hãy tìm tôi nếu bạn tìm thấy thứ gì đó không thỏa mãn điều này)! Vì vậy, thuật ngữ này thực sự được giảm xuống thành:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Trong đó

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Là năng lượng động thông thường mà chúng ta thấy từ vật lý trung học. Bây giờ quay lại hàm sóng từ trước, hãy nhập thông tin mới này và xem kết quả cuối cùng:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Lý do chúng tôi đã tách hai thuật ngữ này là vì thuật ngữ đầu tiên $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (dựa trên tốc độ ánh sáng) sẽ dao động nhiều hơn so với thuật ngữ thứ hai và không nhất thiết mô tả thực thể hạt-đợt mà chúng ta đang tìm kiếm. Vì vậy, để làm rõ sự khác biệt này, hãy xác định rằng:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Trong đó, chúng ta đã định nghĩa:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Bây giờ, hãy lấy đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai của $\Psi(\vec{r},t)$ và xem kết quả. Đạo hàm bậc nhất:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

và đạo hàm bậc hai:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Chúng ta cần nhớ rằng số hạng cuối cùng với đạo hàm riêng thứ hai là khá nhỏ do thực tế không có số hạng mang cấp độ lớn, và do đó, theo xấp xỉ, đạo hàm riêng thứ hai thực sự được cho bởi:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Lý do chúng ta lấy hai đạo hàm riêng này là để có thể đưa chúng vào phương trình mô tả hàm sóng trước đây:

Nhưng trước khi chúng ta làm điều đó, hãy sắp xếp lại công thức này và chúng ta sẽ kết thúc bằng một phương trình gọi là phương trình Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tổng quát hóa điều này thành 3 chiều bằng cách biến phương trình này thành phương trình vectơ (tất cả các bước chúng ta đã thực hiện để dẫn xuất công thức này sẽ áp dụng cho tất cả $x,y$ , và $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Phương trình này được gọi là phương trình Klein-Gordon cho một hạt tự do. Phương trình này là tương đối vì phần năng lượng của nó không làm giả định như chúng ta đã làm với phép khai triển Taylor nhỏ $\sqrt{1+x}$ .

Bây giờ, hãy đơn giản hóa phương trình Klein-Gordon (trở lại 1 chiều và áp dụng công thức năng lượng mới của chúng ta) và chúng ta sẽ đạt được phương trình Schrödinger mong đợi:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Hãy đưa vào hàm sóng mới được cho bởi $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ nơi chúng ta biết đạo hàm bậc nhất và thứ hai theo thời gian trông như thế nào:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần làm là sắp xếp lại đơn giản để có được Phương trình Schrödinger trong ba chiều (lưu ý rằng $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Trong đó, lập luận có thể được đưa ra bằng cách chú ý đến sự tương đồng của Hamiltonian cổ điển, thuật ngữ bên phải của phương trình mô tả năng lượng tổng cộng của hàm sóng.

Trong quá trình suy luận, chúng tôi đã giả định rằng $V(\vec{r},t)$ là 0 và chỉ xem xét năng lượng động. Chúng ta biết rằng tiềm năng là thuần túy cộng tính theo biến đổi không gian, do đó, phương trình Schrödinger đầy đủ trong ba chiều với tiềm năng được cho bởi:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Đó là nó! Chúng tôi đã dẫn xuất phương trình Schrodinger đầy đủ cho một hạt không tương đối trong ba chiều. Nếu bạn thích bài viết này và muốn xem thêm, vui lòng gửi email cho chúng tôi để thông báo.

Trích dẫn

Gasiorowicz, S. (2019). Vật lý lượng tử. Tái bản lần thứ 2. Canada: Hamilton Printing, trang 1-50.
Griffiths, D. (2019). Vật lý lượng tử. Tái bản lần thứ 3. Nhà in Đại học, Cambridge: Nhà xuất bản Đại học Cambridge.
Ward, D. và Volkmer, S. (2019). Cách để Đạo hàm Phương trình Schrodinger. [trực tuyến] arXiv.org. Có sẵn tại: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Truy cập ngày 29 tháng 5 năm 2019].
Shankar, R. (1980).Nguyên lý của Cơ học lượng tử. Tái bản lần thứ 1. New York: Springer Science, trang 1-40.

Tuyên bố: Tôn trọng bản gốc, bài viết tốt xứng đáng được chia sẻ, nếu có vi phạm quyền sở hữu trí tuệ xin liên hệ để xóa.

Đóng góp và khuyến khích tác giả!

Chủ đề:

Bài viết về Vật lý

Lý thuyết lượng tử

Về chuyên gia

Electrical4u

China

Lĩnh vực chuyên môn

Basic Electrical

Bài viết chuyên ngành

607