משוואת הגל של שרדינגר: נגזרת וסבר

Electrical4u

שדה: אלקטרוניקה בסיסית

China

מהו משוואת שרדינגר?

משוואת שרדינגר (ידועה גם כמשוואת הגל של שרדינגר) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את הדינמיקות של מערכות מכניות קוונטיות באמצעות פונקציית הגל. ניתן לקבל את המסלול, המיקום והאנרגיה של המערכות הללו על ידי פתרון משוואת שרדינגר.

כל המידע על חלקיק תת-אטומי מוצפן בתוך פונקציית גל. פונקציית הגל תקיים וניתן לפתור אותה באמצעות משוואת שרדינגר. משוואת שרדינגר היא אחת האקסיומות הבסיסיות המציגות בפיזיקה לתלמידי תואר ראשון. היא גם מתפשטת יותר ויותר לתוכנית הלימודים בהנדסת חשמל באוניברסיטאות שכן היא מתאימה ל-מחסומים חצי מוליכים.

למרבה הצער, היא מצוינת רק כתכונה בשני המקרים ולא נגזרת באופן משמעותי. זה די מפריע כי כמעט כל מה שנלמד בפיזיקה קוונטית לתלמידי תואר ראשון בנוי על בסיס זה. במאמר זה, נגזור את המשוואה מהתחלה ואעשה כל我能继续翻译，但注意到您要求的是希伯来语翻译。我将按照您的要求完成翻译：

בצער רב, היא מצוינת רק כתכונה בשני המקרים ולא נגזרת באופן משמעותי. זה די מפריע כי כמעט כל מה שנלמד בפיזיקה קוונטית לתלמידי תואר ראשון בנוי על בסיס זה. במאמר זה, נגזר את המשוואה מהתחלה ואעשה כל מאמץ להראות כל צעד שנלקח.

במקרה מעניין, הטיעונים שנעשות הם אותם טיעונים שהשתמש בהם שרדינגר עצמו, כך שאפשר לראות את קווי החשיבה של ענק בזמן שלו. כ напоминание, вот уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, в трех измерениях (для нерелятивистской частицы), во всей его красоте:

פיזיקה קוונטית וגלים

כולם אוהבים להתייחס לפיזיקה קלאסית - אבל היא שירתה אותנו יפה למשך זמן רב (חשבו על מכניקת ניוטון, משוואות מקסוול ואת התאוריה של יחסות מיוחדת).

עם זאת, כפי שנראה במאמרים הקודמים שלנו, תוצאות הניסויים בהתחלה של המאה לא היו מרשימות במיוחד בהשוואה לפיזיקה המוכרת באותה תקופה. מאמרינו על ניסוי שני הסדקים ולמידה מסוימת על אפקט הפוטואלקטרי הם תוצאות ניסיוניות שלא התאימו היטב להבנה המוכרת של אותו זמן.

אבל למה? כדי לפשט, בפיזיקה קלאסית קיימים שתי ישויות, חלקיקים ו גלים. ניתן לתאר את תכונות שתיהן כך:

חלקיקים: חבילות מרוכזות של אנרגיה ותנע עם מסה $m$ .

גלים: הפרעות מתפשטות על פני המרחב ומתקדמות בזמן. ניתן לתאר אותם באמצעות פונקציית גל $\psi(\vec{r}, t)$ שמתארת את הגל על פני המרחב והזמן.

זה מביא אותנו לתוצאות המפתיעות שמצאנו במאמר שלנו על פליטה פוטואלקטרית. גילינו שהאלקטרון מראה שתיהן מהן. זה סותר לחלוטין את ההבנה המוכרת של אותו זמן, כיוון שהשתי ישויות נחשבו למופרדות זו מזו.

מגניב, נכון? בערך בזמן הזה, דמויות השפעתיות רבות בפיזיקה החלו להבין שיש פער בידע, והפריצה הגדולה הגיעה כאשר לואי דה ברויי הקיש בין התנע (לחלקיק) לאורך גל (לגלים) לפי

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

בנוסף, מהפליטה פוטואלקטרונית אנחנו יודעים שיש ספיגה והפלטה של פוטונים (עדיין לא ברור אם חלקיקים או גלי) שiliki אנרגיה נתונה על ידי

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

כאשר $\hbar = h/2\pi$ ו- $\omega=2\pi f$ . אנחנו עכשיו בדיוק באותו שלב שבו היה שנידר לפני שהגיע למשוואתו המפורסמת. אבל מאיפה מתחילים? ובכן, אנחנו יודעים שהאלקטרונים והפוטונים מראים התנהגות דומה לגלים ולחלקיקים. אין כל בעיה להתחיל עם משוואה אוניברסלית שכל הגלים צריכים לקיים ואז להוסיף עליה פיזיקה של חלקיקים לראות אם יש תוצאה.

איך לגזור את משוואת הגל

הפרעה $\psi(\vec{r}, t)$ מקיימת את משוואת הגל. זכור, האלקטרון מראה התנהגות דומה לגל ויש לו מטען אלקטרומגנטי. לכן, לעת עתה, בואו נסתכל רק על שדות אלקטרומגנטיים. בסצנה זו, משוואות מקסוול מתאימות והנה הן בשלל כבודן:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

כאשר $c$ היא מהירות האור בוואקום, $\vec{E}$ הוא השדה החשמלי ו- $\vec{B}$ הוא השדה המגנטי. המשוואה הראשונה לעיל מהווה בסיס עבור גנרטורים חשמליים, סולנואידים וטרנספורמרים והיא מגלמת את חוק פראדיי.

בנוסף, אחת מהמסקנות של $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ היא כי לא קיימים קטבים מגנטיים בודדים. הבנת נגזרת המשוואות והמשמעות הפיזית מאחוריהן מייצרת מהנדס מעוגל. עכשיו, נגזור את המשוואה שכל גל אלקטרומגנטי חייב לקיים על ידי הפעלת כפל וקטור על משוואה 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

כעת ניתן להשתמש באינטגרל וקטורי מוכר (ופácil להוכחה): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ כאשר $T$ הוא וקטור תחליף כלשהו. בהפעלה על המשוואה שלנו:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

התוצאה שיש לנו כאן היא משוואת הגל האלקטרומגנטי בשלושה ממדים. משוואה זו מתבטאת לא רק בגל אלקטרומגנטי, אלא גם בסאונד, גלי אדמה, גלי קול, גלי מים ומכניקת זורמים.

איך להסיק את משוואת שרדינגר

פתרונות של גל מישורי למשוואת הגל

מתחילים עם משוואת הגל עבור מימד אחד (זה מאוד קל להכליל לשלושה ממדים מאוחר יותר כי הלוגיקה תחול בכל הממדים: $x, y$ , ו- $z$ ):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

זו, למעשה, משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני ומתקיימת עם פתרונות של גלים מישוריים:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (בדקו זאת בעצמכם!). } \end{equation*}$

כאשר אנו יודעים מכינמטיקה גלית רגילה ש- $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ו- $\omega = 2 \pi f$ . עכשיו, נשתמש בעבודתם של איינשטיין וקומפטון ונחליף את העובדה שהאנרגיה של פוטון ניתנת על ידי- $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ומדברי דה-ברוייל ש- $p = h / \lambda = \hbar k$ . ניתן להמשיך ולטפל בהצגה הגלייה המישורית שלנו כך:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

זו היא משוואת הגל המישורי המתארת פוטון. בואו נציב את המשוואה הזו במשוואת הגל שלנו ונראה מה נמצא!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

במילים אחרות, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ מה שטוב כי אנחנו יודעים מתורת היחסות הפרטית שהאנרגיה הכוללת עבור חלקיק רלטיביסטי עם מסה $m$ היא:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

ועד כה עסקנו רק בפוטון שממנו אין לו מסה $(m=0)$ ! אז בואו נרחיב את הבנתנו ונפעיל את האנרגיה הרלטיביסטית הכוללת עבור חלקיק עם מסה (כמו האלקטרון לדוגמה) ונשנה את שם המשוואה שלנו ל- $\Psi$ כי אנחנו קולס.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

משוואה זו הגיעה ישירות מלהציב את משוואת הגל של הפוטון במשוואת הגל. אולם, מכיוון שאנחנו עכשיו רוצים לפתור את האנרגיה הרלטיביסטית הכוללת עבור חלקיק עם מסה, עלינו לשנות מעט את משוואת הגל. זה בגלל שמשוואת הגל לא צריכה להישם לחלוטין על ה- $\Psi$ החדש שתיאר חלקיקים וגלים. אנחנו יכולים עכשיו לחזור ולהפתיע את האופרטור כדי לקבל את המשוואה לעיל, והיא נתונה על ידי:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

פתרון עבור חלקיקים בעלי מסה במשוואת הגל

כעת אנו רוצים לבצע כמה קירובים על האנרגיה המלאה שהגדרנו באמצעות $\mathsf{E}$ עבור חלקיק בעל מומנטום ומסה. בואו נסדר מחדש את הנוסחה כך שנוכל להשתמש בקירובים.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

המטרה של מניפולציה זו היא להביא את המשוואה לצורה $\sqrt{1 + x}$ כי אם נבצע את הפיתוח לטור טיילור של משוואה זו נקבל:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

כאשר $x$ קטן, החלק היחיד שנשאר בפיתוח טיילור הוא $O(1)$ . בנוסחת האנרגיה שלנו, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . ניתן לנצל את העובדה ש- $p = mv \ll mc$ לכל מה שאינו נע במהירות האור (אם תמצאו משהו שלא מקיים זאת, אנא מצאו אותי)! כך שהביטוי הזה מתכוצץ ל:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

כאשר

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

זו האנרגיה הקינטית הרגילה שאנו רואים בפיזיקה של התיכון. עכשיו חזרה לפונקציית הגל ממקודם, נכניס את המידע החדש הזה ונראה מה נקבל:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

הסיבה שבגללה פצלנו את שני המונחים היא שהמונח הראשון $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (שוב על בסיס מהירות האור) יהיה הרבה יותר אוסילטורי מאשר המונח השני ואינו בהכרח מתאר את התוכן החלקיק-גל שאנו מחפשים. כדי לחזק את ההבדל הזה, נקבע עכשיו כי:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

כאשר הגדרנו עכשיו:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

ניקח עכשיו את הנגזרות החלקיות הראשונה והשנייה של $\Psi(\vec{r},t)$ ונראה מה נקבל. הראשונה:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

והשנייה:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

צריך לזכור שהאיבר האחרון עם הנגזרת החלקית השנייה הוא קטן מאוד בגלל העובדה שאין איבר המכיל את סדר הגודל של $c^2$ , ולכן בהערכה, הנגזרת החלקית השנייה נתונה על ידי:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

הסיבה הסמויה לכך שלקחנו את שתי הנגזרות החלקיות הייתה כדי להכניס אותן לתוך המשוואה המתארת את פונקציית הגל מוקדם יותר:

אבל לפני שנוכל לעשות זאת, בואו נסדר מחדש את הנוסחה ונקבל משוואה שנקראת משוואת קליין-גורדון:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

כעת נוכל להכליל זאת בקלות ל-3 ממדים על ידי הפיכת המשוואה הזו למשוואת וקטור (כל הצעדים שעשינו כדי לגזור את הנוסחה הזו יחולו לכל $x,y$ , ו- $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

משוואה זו ידועה כמשוואת קליין-גורדון עבור חלקיק חופשי. משוואה זו היא רלטיביסטית מכיוון שה텀 האנרגיה שלה לא עושה את ההנחות שעשו עם ההתפשטות הקטנה של טיילור של $\sqrt{1+x}$ .

כעת, בואו נפשט את משוואת קליין-גורדון (בshintour ל-1 מימד ושימוש בנוסחת האנרגיה החדשה שלנו) ונגיע למשוואת שרדינגר המבוקשת:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

בואו נכניס את פונקציית הגל החדשה שלנו הנתונה על ידי $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ כאשר אנחנו יודעים איך נראות הנגזרות הראשונה והשנייה לפי הזמן:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

כעת כל מה שנשאר לעשות הוא סידור פשוט כדי לקבל את משוואת שרדינגר בשלושה ממדים (שימו לב כי $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

ניתן להסיק זאת על ידי שמירה על הדמיון בין ההמילטוניאן הקלאסי, שהביטוי בצד ימין של המשוואה מתאר את האנרגיה הכוללת של פונקציית הגל.

בפיתוח שלנו, הנחנו כי $V(\vec{r},t)$ היא 0 ושהיחידה שהוכנסה היא האנרגיה הקינטית. אנו יודעים שהפוטנציאל הוא אדיטיבי לחלוטין ביחס לשינויים המרחביים שלו ולכן, המשוואה המלאה של שרדינגר בשלושה ממדים עם פוטנציאל נתונה על ידי:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

זהו זה! יש לנו כאן את המשוואה המלאה של שרדינגר עבור חלקיק לא רלטיביסטי בשלושה ממדים. אם אהבתם את הפוסט הזה ותרצו לראות עוד כאלה, אנא שלחו אלינו דוא"ל כדי להודיע לנו.

הערות שוליים

Gasiorowicz, S. (2019). פיזיקה קוונטית. מהדורה שנייה. קנדה: Hamilton Printing, עמ' 1-50.
Griffiths, D. (2019). פיזיקה קוונטית. מהדורה שלישית. בית הדפוס של האוניברסיטה, קיימברידג': Cambridge University Press.
Ward, D. ו-Volkmer, S. (2019). איך להסיק את משוואת שוורינגר. [ออนไลן] arXiv.org. זמין ב: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [נבדק ב-29 במאי 2019].
Shankar, R. (1980).עקרונות הפיזיקה הקוונטית. מהדורה ראשונה. ניו יורק: Springer Science, עמ' 1-40.

הצהרה: יש לכבד את המקור, מאמרים טובים שראוי לשתף, במקרה של הפרת זכויות יוצרים אנא צור קשר למחיקה.

תנו טיפ לעודדו את המחבר!

נושאים:

מאמרים בפיזיקה

תורת הקוונטים

אודות מומחים

Electrical4u

China