Уравнение на вълните на Шрьодингер: Изиведение и обяснение

Electrical4u

Поле: Основни електротехника

China

Какво е уравнението на Шрьодингер?

Уравнението на Шрьодингер (известно също като вълново уравнение на Шрьодингер) е частично диференциално уравнение, което описва динамиката на квантовомеханични системи чрез вълновата функция. Траекторията, позиционирането и енергията на тези системи могат да бъдат извлечени чрез решаване на уравнението на Шрьодингер.

Всичка информация за субатомна частица е кодирана във вълновата функция. Вълновата функция удовлетворява и може да бъде решена чрез уравнението на Шрьодингер. Уравнението на Шрьодингер е едно от основните аксиоми, представени в университетската физика. Все по-често се среща уравнението на Шрьодингер в учебния план по електротехника в университетите, тъй като се прилага към полупроводници.

За съжаление, то се изказва само като постулат в двата случая и никога не се извежда по осмислен начин. Това е доста разочарователно, тъй като почти всичко друго, преподавано в университетската квантова физика, е изградено върху тази основа. В тази статия ще изведем уравнението от нулева точка и ще направя всичко възможно да покажа всеки стъпка, която сме предприели.

Интересно, аргументите, които ще използваме, са същите, както тези, които е използвал самият Шрьодингер, така че можете да видите логиката, която е следвал един гигант в своето време. Напомняне, ето времево-зависимото уравнение на Шрьодингер в 3-измерения (за нерелятивистична частица) в цялата му красота:

Квантовата физика и вълните

Всички обичат да критикуват класическата физика – но тя ни служи добре за доста дълго време (мислете за нютоновата механика, уравненията на Максуел и специалната теория на относителността).

Однако, как показаха нашите предходни статии, експерименталните резултати на изтокът на векът не изглеждаха толкова впечатляващи, когато се сравняват с познатата физика по това време. Нашите статии за експеримента с двойна пролука и до известна степен фотоелектричния ефект са експериментални резултати, които не съответстваха добре на познатото разбиране по това време.

Но защо? За да го кажем просто, в класическата физика съществуват две същности, частици и вълни. Характеристиките на двете от тези същности могат да бъдат описани както следва:

Частици: локализирани пакети от енергия и импулс с маса $m$ .

Вълни: разтърсения, разпрострени в пространството и пътуващи през времето. Те могат да бъдат описани с вълнова функция $\psi(\vec{r}, t)$ която описва вълната в пространството и времето.

Това ни води до изненадващите резултати, открити в нашата статия за Фотоелектрично излъчване. Открихме, че електронът показва и двете от тези свойства. Това напълно противоречи на познатото разбиране по това време, тъй като двете същности се считаха за взаимно изключващи се.

Лудо, нали? По това време някои много влиятелни фигури в физиката започнаха да осъзнават, че има празнина в знанията, и голям променлив момент настъпи, когато Луи де Бројgli свърза импулса (за частица) с дължината на вълната (за вълни), дадена от

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Освен това, от Photoelectric Emission знаем, че поглъщането и излъчването на фотони (все още не сме сигурни дали частица или вълна) имат енергия, която се дава от

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Където $\hbar = h/2\pi$ и $\omega=2\pi f$ . Сега сме на същата точка, на която беше Шрьодингер преди да изведе своята известна уравнение. Но откъде започнем? Знаем, че електроните и фотоните показват поведение, подобно на вълни и частици. Няма нищо лошо да започнем с универсално уравнение, което всички вълни трябва да спазват, и след това да въведем физиката на частиците, за да видим дали има резултат.

Как да изведем Вълновото Уравнение

Разтърсението $\psi(\vec{r}, t)$ спазва вълновото уравнение. Помнете, че електроните показват поведение, подобно на вълни, и имат електромагнитен заряд. Затова, за момента, нека просто разгледаме електромагнитните полета. В този сценарий, приложими са уравненията на Максуел, и ето ги в цялата им красота:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Където $c$ е скоростта на светлината във вакуум, $\vec{E}$ е електричното поле и $\vec{B}$ е магнитното поле. Първото уравнение отгоре е основа за електрическите генератори, индуктори и трансформатори и е изразяване на Закона на Фарадей.

Освен това, едно от следствията от $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ е, че не съществуват магнитни моносоли. Разбирането на изведението на тези уравнения и физическото им значение прави един добре подготвен инженер. Сега, нека изведем уравнението, което всяка електромагнитна вълна трябва да спазва, като приложим кърливина към Уравнение 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Сега можем да използваме много познатата (и лесно доказана) векторна идентичност: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ където $T$ е някакъв заместителен вектор. Прилагайки към нашето малко уравнение сега:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Резултатът, който имаме тук, е уравнението на електромагнитната вълна в три измерения. Това уравнение се проявява не само в електромагнитните вълни, но и в акустиката, сейсмичните вълни, звуковите вълни, водните вълни и динамиката на флуидите.

Как да изведем уравнението на Шрьодингер

Плоски вълнови решения на уравнението на вълната

Започвайки с уравнението на вълната за едно измерение (наистина е лесно да генерализираме до три измерения по-късно, тъй като логиката ще бъде приложима във всички $x, y$ и $z$ измерения.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Това, в действителност, е диференциално уравнение от втори ред и е удовлетворено с плоски вълнови решения:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (проверете това сами!). } \end{equation*}$

От нормалната вълнова механика знаем, че $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ и $\omega = 2 \pi f$ . Сега, нека използваме работата на Айнщайн и Комптон и заместим факта, че енергията на фотона се дава от $\mathsf{E} = \hbar \omega$ и според де Бројли, че $p = h / \lambda = \hbar k$ . Можем да преобразуваме нашето решение за плоската вълна до:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Това е уравнението на плоската вълна, описващо фотон. Нека заместим това уравнение в нашето вълново уравнение и да видим какво ще намерим!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

С други думи, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ което е чудесно, защото знаем от специалната теория на относителността, че общата енергия за релативистична частица с маса $m$ е:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Досега сме работили само с фотон, който няма маса $(m=0)$ ! Нека разширим нашето разбиране и приложим общата релативистична енергия за частица с маса (например електрон) и променим името на уравнението ни на $\Psi$ защото сме балери.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Това уравнение произлиза директно от заместването на равнинната вълнова функция за фотон във вълновото уравнение. Обаче, тъй като сега искаме да решим общата релативистична енергия за частица с маса, трябва да променим леко вълновото уравнение. Това е така, защото вълновото уравнение не трябва напълно да се прилага към нашия нов $\Psi$ , който описва частици и вълни. Сега можем да обратно решим за оператор, за да получим горното уравнение, и то е дадено по следния начин:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Решаване за частици с маса в уравнението на вълната

Сега искаме да направим няколко приближения на пълната енергия, която току-що описахме чрез $\mathsf{E}$ за частица с импулс и маса. Нека малко пренаредим формулата, така че да можем да използваме някои приближения.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Целта на това преобразуване е да получим уравнението във формата $\sqrt{1 + x}$ защото ако вземем разширение на ред Тейлор на това уравнение, получаваме:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Когато $x$ е малко, единствената останала част в разширението на Тейлър е $O(1)$ членът. В нашата формула за енергия, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Можем да използваме факта, че $p = mv \ll mc$ за всичко, което не се движи със скоростта на светлината (моля, намерете ме, ако откриете нещо, което не удовлетворява това)! Така този член всъщност се свежда до:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Където

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ето нормалната кинетична енергия, която виждаме от училищния курс по физика. Сега, обратно към вълновата функция от преди, нека включим тази нова информация и видим какво получаваме:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Причината, поради която разделихме двете термини, е, че първият термин $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (отново само на основата на скоростта на светлината) ще бъде значително по-осцилаторен от втория термин и не описва необходимата ни частица-вълна. За да утвърдим тази разлика, нека сега установим, че:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Където сега дефинирахме:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Сега нека вземем първата и втората частни производни на $\Psi(\vec{r},t)$ и да видим какво получаваме. Първата:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

и втората:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Трябва да помним, че последният член с втората частна производна е доста малък поради факта, че няма $c^2$ член, който носи порядъка на големина, и следователно при приближение, действителната втора производна е дадена от:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Лукавата причина, поради която взехме тези две частни производни, беше, за да можем да ги включим в това уравнение, описващо вълновата функция по-рано:

Но преди да направим това, нека пренаредим тази формула и ще получим уравнение, наречено уравнението на Клайн-Гордон:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Сега лесно можем да обобщим това за три измерения, като превърнем това уравнение в векторно уравнение (всички стъпки, които предприехме, за да изведем тази формула, ще се приложат за всички $x,y$ и $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Това уравнение е известно като уравнението на Клайн-Гордон за свободна частица. Това уравнение е релативистично, тъй като неговият енергиен член не прави предположенията, които направихме с малкото $\sqrt{1+x}$ разширение на Тейлър.

Сега, нека опростим уравнението на Клайн-Гордон (връщайки се обратно до 1-D и прилагайки нашата нова енергийна формула) и ще достигнем дългоочакваното уравнение на Шредингер:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Нека включим нашата нова вълнова функция, дадена от $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , където знаем как изглеждат първата и втората производни спрямо времето:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Сега всичко, което трябва да направим, е просто пренареждане, за да получим уравнението на Шрьодингер в три измерения (бележка, че $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Може да се посочи, че дясната страна на уравнението описва общата енергия на вълновата функция, като се отбележи подобието на класическия хамилтониан.

В нашето извеждане допуснахме, че $V(\vec{r},t)$ е 0 и че беше взета предвид само кинетичната енергия. Знаем, че потенциалът е чисто адитивен спрямо неговите пространствени вариации и следователно, пълното уравнение на Шрьодингер в три измерения с потенциал е дадено от:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Ето го! Тук имаме изведеното пълно уравнение на Шрьодингер за нерелативистична частица в три измерения. Ако сте харесали този пост и бихте искали да видите повече такива, моля, изпратете ни имейл, за да ни известите.

Цитати

Gasiorowicz, S. (2019). Квантова физика. 2 изд. Канада: Hamilton Printing, стр.1-50.
Griffiths, D. (2019). Квантова физика. 3 изд. Университетска печатница, Кеймбридж: Cambridge University Press.
Ward, D. и Volkmer, S. (2019). Как да изведете уравнението на Шрьодингер. [онлайн] arXiv.org. Достъпно на: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Посетено на 29 май 2019].
Shankar, R. (1980).Основи на квантовата механика. 1 изд. Ню Йорк: Springer Science, стр.1-40.

Изявление: Почитайте оригинала, добри статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на авторските права се обратете за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Физически статии

Квантовата теория

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607