Schrödingerova talasna jednačina: Izvođenje i objašnjenje

Electrical4u

Polje: Osnovna elektronika

China

Šta je Šredingerova jednačina?

Šredingerova jednačina (poznata i kao talasna jednačina Šredingera) je parcijalna diferencijalna jednačina koja opisuje dinamiku kvantnih mehaničkih sistema kroz talasnu funkciju. Trajektorija, pozicioniranje i energija ovih sistema mogu se dobiti rešavanjem Šredingerove jednačine.

Sve informacije o subatomskom česticama su kodirane unutar talasne funkcije. Talasna funkcija zadovoljava i može se rešiti koristeći Šredingerovu jednačinu. Šredingerova jednačina je jedan od fundamentalnih aksioma uvedenih u podgrađevinskom studiju fizike. Takođe se sve češće upotrebljava u programima elektronskog inženjerstva na univerzitetima, jer se primenjuje na poluprovodnike.

Neko srećno, navodi se samo kao postulat u oba slučaja i nikada značajno ne izvodi. Ovo je prilično nezadovoljavajuće, jer gotovo sve ostalo što se predaje u podgrađevinskoj kvantnoj fizici zasniva se na ovom temelju. U ovom članku, izvedaćemo jednačinu ispočetka i potrudiću se da pokažem svaki korak koji se poduzima.

Zanimljivo, argumenti koje ćemo navesti su isti kao oni koje je naveo sam Šredinger, tako da možete videti linije razmišljanja velikana u njegovom vremenu. Kao podsjetnik, evo vremenski zavisne Šredingerove jednačine u tri dimenzije (za ne-relativističku česticu) u svom cijelom lepoto:

Kvantna fizika i talasi

Svi vole kritizirati klasičnu fiziku – ali nam je dosta dobro poslužila duže vrijeme (misli se na Newtonove zakone, Maksvelove jednačine i specijalnu teoriju relativnosti).

Међутим, како је приказано у нашим претходним чланцима, експериментални резултати на почетку века нису били превише спектакуларни у поређењу са познатом физиком тадашњег доба. Наши чланци о експерименту са два ћелија и до неког степена фотоелектричном ефекту су експериментални резултати који нису добро одговарали позната разумевања тадашњег доба.

Али зашто? Да бисте једноставно рекли, у класичној физици постоје две ентитета, честице и таласи. Особине оба ових ентитета могу се описати на следећи начин:

Честице: локализовани скупови енергије и импулса са масом $m$ .

Таласи: побуна распрострањена преко простора и путовање кроз време. Они се могу описати таласном функцијом $\psi(\vec{r}, t)$ која описује талас преко простора и времена.

Ово нас доводи до изненадних резултата пронађених у нашем Фотоелектричном емисији чланку. Утврдили смо да електрон показује обе ове особине. Ово потпуно контрахира позната разумевања тадашњег доба, јер су се два ентитета сматрали међусобно искључивим.

Лудо, зар не? Око тог времена, неки веoma утицајни фигури у физици су почеле да осећају да постоји недостатак знања, а велики проразумевање је дошло када је Луј де Број повезао импулс (за честицу) са таласном дужином (за таласе) датом формулом

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Takođe, iz Photoelectric Emission znamo da apsorpcija i emitovanje fotonima (još uvek nisu sigurni da li su čestice ili talasi) imaju energiju datu sa

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Gde je $\hbar = h/2\pi$ i $\omega=2\pi f$ . Sada smo na istoj tački gde se nalazio Schrödinger pre nego što je izveo svoju slavnu jednačinu. Ali, odakle počnemo? Znamo da elektroni i fotoni pokazuju ponašanje poput talasa i čestica. Nema ničeg loše u tome da počnemo sa univerzalnom jednačinom koju svi talasi bi trebalo da poštuju, a zatim uvedemo fiziku čestica kako bismo videli da li postoji neki rezultat.

Kako izvesti talasnu jednačinu

Poremećaj $\psi(\vec{r}, t)$ poslušava talasnu jednačinu. Pamtite, elektron pokazuje ponašanje poput talasa i ima elektromagnetski naboj. Stoga, za sada, pogledajmo samo elektromagnetska polja. U ovom scenariju se primenjuju Maksvelove jednačine i evo ih u svom cijenjenom obliku:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Gdje je $c$ brzina svetlosti u vakuumu, $\vec{E}$ električno polje, a $\vec{B}$ magnetsko polje. Prva jednačina iznad je osnova električnih generatora, induktivnosti i transformatora i predstavlja inkarnaciju Faradejevog zakona.

Takođe, jedna od implikacija iz $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ je da ne postoje magnetski monopoli. Razumevanje izvođenja ovih jednačina i fizičkog značaja iza njih čini dobro obrazovanog inženjera. Sada, izvedimo jednačinu koju mora da poštuje bilo koja elektromagnetska valna primenom rotor-a na jednačinu 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Sada možemo iskoristiti veoma poznatu (i lako dokazanu) vektorsku identitet: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ gde je $T$ neki zamenski vektor. Primene na našu mali jednačinu sada:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Rezultat koji imamo ovdje je jednačina elektromagnetskih talasa u tri dimenzije. Ova jednačina se manifestuje ne samo u elektromagnetskim talasima, već se takođe pokazala u akustici, seizмичким таласима, звучним таласима, воденим таласима и динамици флуида.

Kako izvesti Шредингерову једначину

Ravninske talasne rešenja za talasnu jednačinu

Počevši od talasne jednačine za jednu dimenziju (vrlo je lako generalizovati na tri dimenzije kasnije, jer će logika važiti u svim $x, y$ , i $z$ dimenzijama.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ovo je, zapravo, parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda i zadovoljava se ravninskim talasnim rešenjima:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (provjerite ovo sami!). } \end{equation*}$

Znamo iz obične talasne mehanike da je $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ i $\omega = 2 \pi f$ . Sada, koristimo rad Einsteina i Comptona i uvrštavamo činjenicu da se energija fotona može izraziti kao $\mathsf{E} = \hbar \omega$ , a prema de-Broglie-u $p = h / \lambda = \hbar k$ . Našu ravninsku talasnu rešenju možemo dalje transformisati u:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ovo je jednačina ravninskog talasa koja opisuje foton. Uvrstimo ovu jednačinu u našu talasnu jednačinu i vidimo šta dobijamo!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Drugim rečima, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ što je odlično jer znamo iz posebne teorije relativnosti da je ukupna energija za relativističku česticu sa masom $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Dosad smo se bavili samo fotonom koji nema masu $(m=0)$ ! Hajde da proširimo naše razumevanje i primenimo ukupnu relativističku energiju za česticu sa masom (kao što je elektron, na primer) i promenimo ime naše jednačine u $\Psi$ jer smo koolni.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ova jednačina je direktno nastala zamjenom ravanske talasne jednačine za foton u valovnu jednačinu. Međutim, kako sada želimo da energija reši ukupnu relativističku energiju za česticu sa masom, moramo malo promijeniti valovnu jednačinu. To je zato što valovna jednačina ne bi trebalo da potpuno važi za naš novi $\Psi$ koji opisuje čestice i talase. Sada možemo riješiti za operator da dobijemo gornju jednačinu, i on je dat sa:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Rešavanje za čestice sa masom u valnoj jednačini

Sada želimo da napravimo nekoliko aproksimacija na potpunu energiju koju smo upravo opisali putem $\mathsf{E}$ za česticu sa momentom i masom. Hajde samo da preuredimo formulu malo kako bismo mogli koristiti neke aproksimacije.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Cela ta manipulacija ima za cilj da se formula stavi u oblik $\sqrt{1 + x}$ jer ako izvršimo razvoj Taylorovog reda ove jednačine, dobijamo:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Када је $x$ мало, једини део који остаје у Тејлоровој експанзији је $O(1)$ члан. У нашој формули за енергију, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Можемо искористити чињеницу да је $p = mv \ll mc$ за све што се не креће брзином светлости (молим вас да ми се јавите ако пронађете нешто што не испуњава ово!). Дакле, овај члан се заправо своди на:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Где је

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

обична кинетичка енергија коју видимо у физици средње школе. Сада се вратимо на таласну функцију од раније, унесимо ове нове информације и погледајмо на шта долазимо:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Razlog zašto smo sada razdvojili ova dva pojma jeste taj što će prvi pojam $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (opet samo zasnovan na brzini svetlosti) biti značajno oscilatorniji od drugog pojma i ne opisuje nužno česticu-talasnu entitet koju tražimo. Da bismo utvrdili ovu razliku, sada postavljamo da je:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Gde smo sada definisali:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Sada ćemo uzeti prvu i drugu parcijalnu izvod od $\Psi(\vec{r},t)$ i videti šta dobijamo. Prvi:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

i drugi:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Trebalo bi da imamo na umu da poslednji član sa drugim parcijalnim izvodom jeste vrlo mali zbog činjenice da ne postoji $c^2$ član koji nosi red veličine, i stoga, približno, aktuelni drugi izvod je dat sa:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Skriveni razlog zašto smo uzeli ova dva parcijalna izvoda bio je da bismo ih mogli uneti u ovu jednačinu koja opisuje talasnu funkciju ranije:

Ali pre nego što to uradimo, hajde da preuredimo ovu formulu i dobićemo jednačinu poznatu kao Klein-Gordonova jednačina:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Sada možemo lako generalizovati ovo na tri dimenzije pretvarajući ovu jednačinu u vektorsku jednačinu (sve korake koje smo poduzeli da izvedemo ovu formulu primenjujemo za sve $x,y$ , i $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ova jednačina je poznata kao Klein-Gordonova jednačina za slobodnu česticu. Ova jednačina je relativistička, jer njen energetski termin ne donosi pretpostavke koje smo napravili sa malim $\sqrt{1+x}$ Taylor ekspanzijom.

Sada pojednostavimo Klein-Gordonovu jednačinu (vraceći se na 1-D i primenjujući našu novu energijsku formulu) i dođićemo do dugotrajno očekivane Schrödingerove jednačine:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Uključimo našu novu talasnu funkciju datu sa $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ gde znamo kako izgledaju prvi i drugi izvod u odnosu na vreme:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Sada sve što treba da uradimo jeste jednostavno preuređivanje kako bismo dobili Šredingerovu jednačinu u tri dimenzije (napomena: $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Gde se može reći da argument može biti napravljen primetivši sličnost klasičnog Hamiltonijana, da termin na desnoj strani jednačine opisuje ukupnu energiju talasne funkcije.

U našem izvođenju, pretpostavili smo da je $V(\vec{r},t)$ 0 i da je uzeta u obzir samo kinetička energija. Znamo da je potencijal čisto aditivni u odnosu na njegove prostorne varijacije, i stoga, potpuna Šredingerova jednačina u tri dimenzije sa potencijalom data je sa:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

To je to! Evo da smo izveli potpunu Šredingerovu jednačinu za ne-relativističku česticu u tri dimenzije. Ako vam se sviđa ovaj post i želite videti više sličnih, molimo vas da nam pošaljete email da nam to pokažete.

Navedi

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantna fizika. 2. izd. Kanada: Hamilton Printing, str. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantna fizika. 3. izd. Univerzitetska štampa, Kembriđ: Cambridge University Press.
Ward, D. i Volkmer, S. (2019). Kako izvesti Šredingerovu jednačinu. [online] arXiv.org. Dostupno na: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Pristupljeno 29. maja 2019.]
Shankar, R. (1980). Principi kvantne mehanike. 1. izd. New York: Springer Science, str. 1-40.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vredi deliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molim kontaktirajte za brisanje.

Dajte nagradu i ohrabrite autora

Teme:

Članci o fizici

Kvantska teorija

О експертима

Electrical4u

China