Ecuación de Onda de Schrödinger: Derivación y Explicación

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Campo: Electricidad Básica

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¿Qué es la Ecuación de Schrödinger?

La ecuación de Schrödinger (también conocida como ecuación de onda de Schrödinger) es una ecuación diferencial parcial que describe la dinámica de los sistemas mecánicos cuánticos a través de la función de onda. La trayectoria, la posición y la energía de estos sistemas pueden obtenerse resolviendo la ecuación de Schrödinger.

Toda la información de una partícula subatómica está codificada dentro de una función de onda. La función de onda satisface y puede resolverse utilizando la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es uno de los axiomas fundamentales que se introducen en la física de nivel universitario. También es cada vez más común encontrar la ecuación de Schrödinger en el plan de estudios de ingeniería eléctrica en las universidades, ya que se aplica a semiconductores.

Lamentablemente, solo se presenta como un postulado en ambos casos y nunca se deriva de una manera significativa. Esto es bastante insatisfactorio, ya que casi todo lo demás enseñado en la física cuántica de nivel universitario se basa en este fundamento. En este artículo, derivaremos la ecuación desde cero y haré mi mejor esfuerzo para mostrar cada paso tomado.

Interesantemente, los argumentos que haremos son los mismos que los tomados por Schrödinger, por lo que puedes ver las líneas de pensamiento de un gigante en su tiempo. Como recordatorio, aquí está la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en 3 dimensiones (para una partícula no relativista) en toda su belleza:

Física Cuántica y Ondas

A todos les gusta criticar la física clásica, pero nos sirvió bastante bien durante bastante tiempo (piensa en la mecánica newtoniana, las ecuaciones de Maxwell y la relatividad especial).

Sin embargo, como se muestra en nuestros artículos anteriores, los resultados experimentales a principios del siglo no parecían muy llamativos en comparación con la física conocida en ese momento. Nuestros artículos sobre el experimento de las dos rendijas y, en cierta medida, el efecto fotoeléctrico son resultados experimentales que no coincidían bien con la comprensión conocida de la época.

Pero, ¿por qué? Para simplificar, en la física clásica existen dos entidades, partículas y ondas. Las características de ambas entidades pueden describirse de la siguiente manera:

Partículas: paquetes localizados de energía y momentum con masa $m$ .

Ondas: perturbaciones extendidas en el espacio que viajan a lo largo del tiempo. Se pueden describir con una función de onda $\psi(\vec{r}, t)$ que describe la onda en el espacio y el tiempo.

Esto nos lleva a los sorprendentes resultados encontrados en nuestro artículo sobre Emisión Fotoeléctrica. Encontramos que el electrón muestra ambas propiedades. Esto contradice completamente la comprensión conocida de la época, ya que las dos entidades se consideraban mutuamente excluyentes.

¿Increíble, verdad? En ese momento, algunas figuras realmente influyentes en la física comenzaron a darse cuenta de que había un vacío en el conocimiento, y un gran avance ocurrió cuando Louis de Broglie asoció un momentum (para una partícula) a una longitud de onda (para ondas) dada por

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Además, desde Emisión fotoeléctrica sabemos que la absorción y emisión de energía de los fotones (todavía no se sabe si son partículas o ondas) tienen una energía dada por

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Donde $\hbar = h/2\pi$ y $\omega=2\pi f$ . Nos encontramos en el mismo punto exacto donde Schrödinger estaba antes de derivar su famosa ecuación. Pero, ¿por dónde empezamos? Bueno, sabemos que los electrones y los fotones muestran un comportamiento similar a las ondas y a las partículas. No habría nada malo en comenzar con una ecuación universal que todas las ondas deben cumplir y luego introducir la física de partículas para ver si hay un resultado.

Cómo derivar la Ecuación de Onda

La perturbación $\psi(\vec{r}, t)$ obedece la ecuación de onda. Recuerde, el electrón muestra un comportamiento similar a las ondas y tiene una carga electromagnética. Por lo tanto, por ahora, echemos un vistazo solo a los campos electromagnéticos. En este escenario, se aplican las ecuaciones de Maxwell y aquí están en toda su gloria:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, $\vec{E}$ es el campo eléctrico y $\vec{B}$ es el campo magnético. La primera ecuación anterior es la base de los generadores eléctricos, inductores y transformadores y es la encarnación de la Ley de Faraday.

Además, una de las implicaciones de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ es que no existen monopoles magnéticos. Comprender la derivación de estas ecuaciones y el significado físico detrás de ellas hace de un ingeniero bien formado. Ahora, vamos a derivar la ecuación que cualquier onda electromagnética debe obedecer aplicando un rotor a la Ecuación 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ahora podemos aprovechar una identidad vectorial muy familiar (y fácilmente demostrable): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ donde $T$ es algún vector de marcador de posición. Aplicándolo a nuestra pequeña ecuación ahora:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

El resultado que tenemos aquí es la ecuación de onda electromagnética en tres dimensiones. Esta ecuación no solo se manifiesta en una onda electromagnética, sino que también se ha observado en acústica, ondas sísmicas, ondas sonoras, ondas de agua y dinámica de fluidos.

Cómo derivar la ecuación de Schrödinger

Soluciones de ondas planas a la ecuación de onda

Comenzando con la ecuación de onda para una dimensión (es realmente fácil generalizar a tres dimensiones después, ya que la lógica se aplicará en todas las dimensiones): $x, y$ , y $z$ dimensiones.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Esta es, en realidad, una ecuación diferencial parcial de segundo orden y se satisface con soluciones de ondas planas:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (verifica esto por ti mismo!). } \end{equation*}$

Donde sabemos de la mecánica ondulatoria normal que $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ y $\omega = 2 \pi f$ . Ahora, utilicemos el trabajo de Einstein y Compton y sustituyamos el hecho de que la energía de un fotón está dada por $\mathsf{E} = \hbar \omega$ y de de-Broglie que $p = h / \lambda = \hbar k$ . Podemos manipular aún más nuestra solución de onda plana para:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Esta es la ecuación de onda plana que describe un fotón. Sustituyamos esta ecuación en nuestra ecuación de onda y veamos qué encontramos.

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

En otras palabras, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ lo cual es genial porque sabemos de la relatividad especial que la energía total para una partícula relativista con masa $m$ es:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Y solo hemos tratado con el fotón hasta ahora, que no tiene masa $(m=0)$ ¡Así que expandamos nuestra comprensión y apliquemos la energía relativa total para una partícula con masa (como el electrón, por ejemplo) y cambiemos el nombre de nuestra ecuación a $\Psi$ porque somos unos ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ahora, esta ecuación proviene directamente de sustituir la ecuación de onda plana para un fotón en la ecuación de onda. Sin embargo, ya que ahora queremos resolver la energía total relativista para una partícula con masa, necesitamos cambiar ligeramente la ecuación de onda. Esto se debe a que la ecuación de onda no debería aplicarse completamente a nuestro nuevo $\Psi$ que describe partículas y ondas. Ahora podemos resolver hacia atrás para obtener un operador y la ecuación dada es:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Resolución de Partículas con Masa en la Ecuación de Onda

Ahora queremos hacer algunas aproximaciones a la energía total que acabamos de describir mediante $\mathsf{E}$ para una partícula con momento y masa. Vamos a reorganizar ligeramente la fórmula para poder usar algunas aproximaciones.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

El propósito de esta manipulación es obtener la ecuación en la forma $\sqrt{1 + x}$ porque si tomamos una expansión en serie de Taylor de esta ecuación obtenemos:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Cuando $x$ es pequeño, la única parte que permanece en la expansión de Taylor es el término $O(1)$ . En nuestra fórmula de energía, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Podemos aprovechar el hecho de que $p = mv \ll mc$ para cualquier cosa que no esté viajando a la velocidad de la luz (¡házmelo saber si encuentras algo que no cumpla esto)! Por lo tanto, este término se reduce a:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Donde

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Es la energía cinética normal que vemos en la física de secundaria. Ahora, volviendo a la función de onda anterior, introduzcamos esta nueva información y veamos a qué llegamos:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

La razón por la que ahora hemos dividido los dos términos es que el primer término $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (basado nuevamente en la velocidad de la luz) será significativamente más oscilatorio que el del segundo término y no necesariamente describe la entidad partícula-onda que buscamos. Por lo tanto, para consolidar esta diferencia, establezcamos que:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Donde ahora hemos definido:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ahora tomemos las primeras y segundas derivadas parciales de $\Psi(\vec{r},t)$ y veamos con qué terminamos. La primera:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

y la segunda:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Debemos tener en cuenta que el último término con la segunda derivada parcial es bastante pequeño debido al hecho de que no hay un término que lleve la magnitud del orden de $c^2$ , y por lo tanto, por aproximación, la segunda derivada real está dada por:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

La razón oculta por la que tomamos estas dos derivadas parciales fue para poder imputarlas en esta ecuación que describe la función de onda anteriormente:

Pero antes de hacerlo, reorganicemos esta fórmula y terminaremos con una ecuación llamada ecuación de Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ahora podemos generalizar esto fácilmente a 3 dimensiones convirtiendo esta ecuación en una ecuación vectorial (todos los pasos que tomamos para derivar esta fórmula se aplicarán para todos $x,y$ , y $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Esta ecuación es conocida como la ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre. Esta ecuación es relativista ya que su término de energía no hace las suposiciones que hicimos con la pequeña expansión de Taylor de $\sqrt{1+x}$ .

Ahora, simplifiquemos la ecuación de Klein-Gordon (volviendo a 1-D y aplicando nuestra nueva fórmula de energía) y llegaremos a la tan esperada Ecuación de Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ingresemos nuestra nueva función de onda dada por $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ donde sabemos cómo se ven la primera y segunda derivadas con respecto al tiempo:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ahora todo lo que necesitamos hacer es un simple reordenamiento para obtener la Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones (nota que $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Donde se puede argumentar observando la similitud con el hamiltoniano clásico, que el término del lado derecho de la ecuación describe la energía total de la función de onda.

En nuestra derivación, asumimos que $V(\vec{r},t)$ es 0 y que solo se tuvo en cuenta la energía cinética. Sabemos que el potencial es puramente aditivo con respecto a sus variaciones espaciales y, por lo tanto, la Ecuación de Schrödinger completa en tres dimensiones con potencial está dada por:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

¡Eso es todo! Hemos derivado la ecuación completa de Schrödinger para una partícula no relativista en tres dimensiones. Si te ha gustado este post y te gustaría ver más como este, por favor envíanos un correo electrónico para hacérnoslo saber.

Citas

Gasiorowicz, S. (2019). Física Cuántica. 2ª ed. Canadá: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Física Cuántica. 3ª ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. y Volkmer, S. (2019). Cómo derivar la ecuación de Schrödinger. [en línea] arXiv.org. Disponible en: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accedido el 29 de mayo de 2019].
Shankar, R. (1980).Principios de Mecánica Cuántica. 1ª ed. Nueva York: Springer Science, pp.1-40.

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