สมการคลื่นของชเรอดิงเงอร์: การอนุมานและการอธิบาย

Electrical4u

ฟิลด์: ไฟฟ้าพื้นฐาน

China

สมการชเรดิงเงอร์คืออะไร

สมการชเรดิงเงอร์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ สมการคลื่นของชเรดิงเงอร์) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่บรรยายถึงไดนามิกส์ของระบบกลศาสตร์ควอนตัมผ่านฟังก์ชันคลื่น การเคลื่อนที่ การวางตำแหน่ง และพลังงานของระบบเหล่านี้สามารถหาได้จากการแก้สมการชเรดิงเงอร์

ข้อมูลทั้งหมดสำหรับอนุภาคย่อยอะตอมถูกเข้ารหัสอยู่ภายในฟังก์ชันคลื่น ฟังก์ชันคลื่นจะทำให้สมการชเรดิงเงอร์เป็นจริงและสามารถแก้ได้โดยใช้สมการชเรดิงเงอร์ สมการชเรดิงเงอร์เป็นหนึ่งในหลักฐานพื้นฐานที่แนะนำในวิชาฟิสิกส์ระดับปริญญาตรี นอกจากนี้ยังพบว่าสมการชเรดิงเงอร์ถูกนำมาสอนในหลักสูตรวิศวกรรมไฟฟ้าในมหาวิทยาลัยเพิ่มมากขึ้นเนื่องจากมันใช้ได้กับสารกึ่งตัวนำ.

อย่างไรก็ตาม มันถูกกล่าวไว้เพียงแค่เป็นข้อสมมติฐานในทั้งสองกรณีและไม่เคยได้รับการพิสูจน์ในทางที่มีความหมาย ซึ่งน่าเสียดายเพราะเกือบทุกอย่างที่สอนในวิชาฟิสิกส์ควอนตัมระดับปริญญาตรีสร้างบนพื้นฐานนี้ ในบทความนี้ เราจะพัฒนาสมการจากศูนย์และผมจะพยายามแสดงทุกขั้นตอนที่ดำเนินการ

อย่างน่าสนใจ เหตุผลที่เราจะใช้เป็นเหตุผลเดียวกับที่ชเรดิงเงอร์ใช้เอง ดังนั้นคุณจะเห็นแนวคิดของยักษ์ใหญ่ในยุคของเขา เช่นเดียวกับที่ต้องการเตือนใจ นี่คือสมการชเรดิงเงอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลาในสามมิติ (สำหรับอนุภาคที่ไม่สัมพันธ์) ในความงามทั้งหมด:

ฟิสิกส์ควอนตัมและคลื่น

ทุกคนชอบโจมตีฟิสิกส์แบบคลาสสิก – แต่มันได้ให้บริการเราได้ค่อนข้างดีมาตลอด (คิดถึงกลศาสตร์ของนิวตัน สมการแม็กเวลล์ และทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ)

อย่างไรก็ตาม ตามที่แสดงในบทความของเราที่ผ่านมา ผลการทดลองในช่วงต้นศตวรรษไม่ได้ดูโดดเด่นเท่าไหร่เมื่อเทียบกับความรู้ทางฟิสิกส์ในขณะนั้น บทความของเราเกี่ยวกับการทดลองช่องว่างคู่และบางส่วนของผลการทดลองเกี่ยวกับผลการปล่อยอิเล็กตรอนจากแสงไม่ได้ตรงกับความเข้าใจที่มีอยู่ในขณะนั้น

แต่ทำไม? เพื่อให้ง่ายขึ้น ในฟิสิกส์คลาสสิกมีสองหน่วยงาน คืออนุภาค และ คลื่น คุณสมบัติของทั้งสองหน่วยงานเหล่านี้สามารถอธิบายได้ดังนี้:

อนุภาค: กลุ่มพลังงานและโมเมนตัมที่มีมวลรวมกัน $m$ .

คลื่น: การรบกวนที่กระจายไปทั่วพื้นที่และเคลื่อนที่ผ่านเวลา สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันคลื่น $\psi(\vec{r}, t)$ ที่อธิบายคลื่นผ่านพื้นที่และเวลา

ซึ่งนำเราไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจที่พบในบทความของเราเกี่ยวกับการปล่อยอิเล็กตรอนจากแสง เราพบว่าอิเล็กตรอนแสดงคุณสมบัติทั้งสองอย่างนี้ ซึ่งขัดแย้งกับความเข้าใจที่มีอยู่ในขณะนั้น เนื่องจากสองหน่วยงานนี้ถูกมองว่าเป็นเอกเทศกัน

น่าทึ่งใช่ไหม? ประมาณเวลานั้น บุคคลสำคัญในวงการฟิสิกส์เริ่มตระหนักว่ามีช่องว่างในความรู้ และมีการค้นพบครั้งใหญ่เมื่อ Louis de Broglie ได้เชื่อมโยงโมเมนตัม (สำหรับอนุภาค) กับความยาวคลื่น (สำหรับคลื่น) โดยกำหนดโดย

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

นอกจากนี้ จากการแผ่รังสีโฟโตอิเล็กทริก เราทราบว่าการดูดซับและปล่อยโฟตอน (ยังไม่แน่ใจว่าเป็นอนุภาคหรือคลื่น) มีพลังงานที่กำหนดโดย

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

เมื่อ $\hbar = h/2\pi$ และ $\omega=2\pi f$ . เราอยู่ในขั้นตอนเดียวกับที่ Schrödinger ได้พัฒนาสมการของเขา แต่เราควรเริ่มต้นอย่างไร ดี เราทราบว่าอิเล็กตรอนและโฟตอนแสดงพฤติกรรมคล้ายคลื่นและคล้ายอนุภาค ไม่มีอะไรผิดถ้าเราเริ่มต้นด้วยสมการทั่วไปที่คลื่นทั้งหมดควรปฏิบัติตาม แล้วนำฟิสิกส์อนุภาคมาเพิ่มเติมเพื่อดูผลลัพธ์

วิธีการสร้างสมการคลื่น

การรบกวน $\psi(\vec{r}, t)$ ปฏิบัติตามสมการคลื่น จำไว้ว่า อิเล็กตรอนแสดงพฤติกรรมคล้ายคลื่นและมีประจุไฟฟ้าแม่เหล็ก ดังนั้น สำหรับตอนนี้ ให้เราดูเฉพาะสนามแม่เหล็กไฟฟ้า สถานการณ์นี้สมการของแมกซ์เวลล์ใช้ได้และนี่คือสมการทั้งหมด:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

เมื่อ $c$ คือความเร็วของแสงในสุญญากาศ $\vec{E}$ คือสนามไฟฟ้า และ $\vec{B}$ คือสนามแม่เหล็ก สมการแรกข้างต้นเป็นพื้นฐานของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า อินดักเตอร์ และทรานสฟอร์มเมอร์ และเป็นการนำเสนอของกฎของฟาราเดย์

นอกจากนี้ หนึ่งในความหมายจาก $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ คือไม่มีโมโนโพลแม่เหล็ก การเข้าใจการอนุมานของสมการเหล่านี้และความหมายทางกายภาพเบื้องหลังทำให้เป็นวิศวกรที่รอบรู้ ตอนนี้ ขอให้เราอนุมานสมการที่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าต้องปฏิบัติตามโดยใช้การวนรอบกับสมการที่ 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ตอนนี้เราสามารถใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่คุ้นเคย (และสามารถพิสูจน์ได้ง่าย): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ เมื่อ $T$ เป็นเวกเตอร์ตัวแทนบางอย่าง นำมาใช้กับสมการของเรา:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

ผลลัพธ์ที่เราได้ที่นี่คือสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสามมิติ สมการนี้ไม่เพียงแต่ปรากฏในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเท่านั้น แต่ยังแสดงให้เห็นในเสียงอะคูสติก สัญญาณแผ่นดินไหว คลื่นเสียง คลื่นน้ำ และพลศาสตร์ของไหล

วิธีการอนุมานสมการ Schrödinger

คำตอบคลื่นระนาบสำหรับสมการคลื่น

เริ่มต้นด้วยสมการคลื่นในหนึ่งมิติ (มันง่ายมากที่จะขยายไปเป็นสามมิติภายหลังเนื่องจากตรรกะจะใช้ได้กับทุกมิติ): $x, y$ และ $z$ มิติ):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

นี่คือสมการอนุพันธ์ย่อยอันดับสองและสามารถตอบสนองด้วยคำตอบคลื่นระนาบ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (ตรวจสอบเอง!). } \end{equation*}$

จากกลศาสตร์คลื่นทั่วไปเราทราบว่า $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ และ $\omega = 2 \pi f$ ตอนนี้ ให้เราใช้งานของไอน์สไตน์และคอมป์ตันและแทนค่าพลังงานของโฟตอนซึ่งกำหนดโดย $\mathsf{E} = \hbar \omega$ และจากเดอ-บรอยล์ว่า $p = h / \lambda = \hbar k$ เราสามารถปรับแก้ไขคำตอบของคลื่นระนาบของเราได้เป็น:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

นี่คือสมการคลื่นระนาบที่บรรยายถึงโฟตอน ลองแทนค่าสมการนี้เข้าไปในสมการคลื่นของเราแล้วดูว่าเราจะพบอะไร!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

นั่นคือ $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ซึ่งเป็นเรื่องที่ดีเพราะเราทราบจากทฤษฎีสัมพัทธภาพว่าพลังงานรวมสำหรับอนุภาคที่มีมวล $m$ คือ:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

และเราได้รับการจัดการกับโฟตอนเท่านั้นซึ่งไม่มีมวล $(m=0)$ ! ดังนั้นลองขยายความเข้าใจของเราและใช้พลังงานสัมพัทธภาพรวมสำหรับอนุภาคที่มีมวล (เช่นอิเล็กตรอน) และเปลี่ยนชื่อสมการของเราเป็น $\Psi$ เพราะเราเป็นคนเก่ง.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

สมการนี้มาจากการแทนสมการคลื่นระนาบของโฟตอนลงในสมการคลื่น แต่เนื่องจากเราต้องการให้พลังงานแก้สมการสัมพัทธภาพรวมสำหรับอนุภาคที่มีมวล เราจำเป็นต้องเปลี่ยนสมการคลื่นเล็กน้อย นี่เป็นเพราะสมการคลื่นไม่ควรใช้กับ $\Psi$ ที่อธิบายอนุภาคและคลื่น เราสามารถแก้ย้อนกลับเพื่อหาตัวดำเนินการเพื่อให้ได้สมการข้างต้น และตัวดำเนินการนี้คือ:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

การแก้สมการคลื่นสำหรับอนุภาคที่มีมวล

ตอนนี้เราต้องการทำประมาณค่าบางอย่างบนพลังงานทั้งหมดที่เราได้อธิบายไว้ด้วย $\mathsf{E}$ สำหรับอนุภาคที่มีโมเมนตัมและมวล ลองจัดเรียงสูตรเล็กน้อยเพื่อใช้การประมาณค่า

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

จุดประสงค์ของการจัดเรียงนี้คือเพื่อให้สมการอยู่ในรูป $\sqrt{1 + x}$ เพราะถ้าเราขยายสมการด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ เราจะได้:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

เมื่อ $x$ มีขนาดเล็ก ส่วนที่ยังคงอยู่ในอนุกรมเทย์เลอร์คือส่วนของ $O(1)$ ในสูตรพลังงานของเรา $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ เราสามารถใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่า $p = mv \ll mc$ สำหรับสิ่งที่ไม่ได้เดินทางด้วยความเร็วแสง (โปรดติดต่อฉันหากคุณพบสิ่งที่ไม่ตรงตามนี้)! ดังนั้นส่วนนี้จะลดลงเหลือ:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

โดยที่

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

เป็นพลังงานจลน์ปกติที่เราเห็นในฟิสิกส์ระดับมัธยมปลาย ตอนนี้กลับไปที่ฟังก์ชันคลื่นจากก่อนหน้านี้ ลองนำข้อมูลใหม่นี้มาใส่และดูว่าเราจะได้อะไร:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

เหตุผลที่เราแยกสองคำนี้ออกจากกันคือคำแรก $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (อีกครั้งขึ้นอยู่กับความเร็วของแสง) จะมีการแกว่งตัวมากกว่าคำที่สองและไม่จำเป็นต้องบรรยายถึงอนุภาค-คลื่นที่เรากำลังมองหา ดังนั้นเพื่อยืนยันความแตกต่างนี้ ขอให้กำหนดว่า:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

โดยที่เราได้นิยามว่า:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

มาดูอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งและสองของ $\Psi(\vec{r},t)$ และดูว่าเราจะได้อะไร อันดับหนึ่ง:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

และอันดับสอง:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

เราควรจำไว้ว่าเทอมสุดท้ายที่มีอนุพันธ์ย่อยลำดับที่สองนั้นค่อนข้างเล็กเนื่องจากไม่มี $c^2$ เทอมที่มีขนาดของลำดับ และดังนั้นโดยประมาณ อนุพันธ์ย่อยลำดับที่สองจริงๆ คือ:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

เหตุผลที่เราใช้อนุพันธ์ย่อยสองตัวนี้คือเพื่อให้เราสามารถแทนค่าลงในสมการที่อธิบายฟังก์ชันคลื่นได้ก่อนหน้านี้:

แต่ก่อนที่เราจะทำเช่นนั้น ลองจัดเรียงสูตรนี้ใหม่ เราจะได้สมการที่เรียกว่าสมการเคลิน-กอร์ดอน:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ตอนนี้เราสามารถสรุปสู่สามมิติได้ง่ายๆ โดยการแปลงสมการนี้เป็นสมการเวกเตอร์ (ขั้นตอนที่เราใช้ในการพัฒนาสูตรนี้จะใช้ได้กับทุก $x,y$ และ $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

สมการนี้เรียกว่าสมการเคลิน-กอร์ดอนสำหรับอนุภาคเสรี สมการนี้เป็นเชิงสัมพัทธภาพเนื่องจากเทอมพลังงานไม่ได้ทำสมมติฐานเหมือนกับที่เราทำกับการกระจายเทย์เลอร์ขนาดเล็ก $\sqrt{1+x}$ .

ตอนนี้ ลองลดรูปสมการเคลิน-กอร์ดอน (กลับไปที่หนึ่งมิติและใช้สูตรพลังงานใหม่) และเราจะได้สมการชเรอดิงเงอร์:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ลองใส่ฟังก์ชันคลื่นใหม่ของเราที่กำหนดโดย $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ซึ่งเรารู้ว่าอนุพันธ์อันดับแรกและสองตามเวลาเป็นอย่างไร:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ตอนนี้ที่เราต้องทำคือการจัดเรียงอย่างง่ายเพื่อได้สมการ Schrödinger ในสามมิติ (โปรดสังเกตว่า $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

โดยสามารถอ้างอิงจากการสังเกตความคล้ายคลึงกับแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิก ซึ่งเทอมทางด้านขวาของสมการบรรยายถึงพลังงานรวมของฟังก์ชันคลื่น

ในการพัฒนาของเรา เราได้สมมติว่า $V(\vec{r},t)$ เป็น 0 และคำนึงถึงเฉพาะพลังงานจลน์เท่านั้น เราทราบว่าศักยภาพเป็นการบวกอย่างบริสุทธิ์ตามการเปลี่ยนแปลงทางพื้นที่ และดังนั้น สมการ Schrödinger ที่สมบูรณ์ในสามมิติพร้อมศักยภาพจะกำหนดโดย:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

นั่นคือทั้งหมด! บทความนี้ได้พัฒนาสมการ Schrödinger ที่สมบูรณ์สำหรับอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพในสามมิติ หากคุณชอบโพสต์นี้และต้องการเห็นมากขึ้น กรุณาส่งอีเมลแจ้งให้เราทราบ

อ้างอิง

Gasiorowicz, S. (2019). ฟิสิกส์ควอนตัม. ฉบับที่ 2. แคนาดา: Hamilton Printing, หน้า 1-50.
Griffiths, D. (2019). ฟิสิกส์ควอนตัม. ฉบับที่ 3. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. และ Volkmer, S. (2019). วิธีการสรุปสมการชร็อดิงเงอร์. [ออนไลน์] arXiv.org. สามารถเข้าถึงได้ที่: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [เข้าถึงเมื่อ 29 พฤษภาคม 2019].
Shankar, R. (1980).หลักการของฟิสิกส์ควอนตัม. ฉบับที่ 1. นิวยอร์ก: Springer Science, หน้า 1-40.

คำแถลง: ให้ความเคารพต่อต้นฉบับ บทความที่ดีควรแบ่งปัน หากละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ

ให้ทิปและสนับสนุนผู้เขียน

หัวข้อ:

บทความฟิสิกส์

ทฤษฎีควอนตัม

เกี่ยวกับผู้เชี่ยวชาญ

Electrical4u

China