ಶ್ರೋದಿಂಗರ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ: ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆ

Electrical4u

ಕ್ಷೇತ್ರ: ಬೇಸಿಕ್ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್

China

ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣವು ಎನ್ನುವುದು ಏನು?

ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣ (ಯಾವಾಗಲೂ ಶ್ರೋದಿಂಗರ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವ ವಿಭೇದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ತರಂಗ ಫಲನದ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕಾನಿಕಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಟ್ರಾಜೆಕ್ಟರಿ, ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಒಂದು ಅಂದರ್ಭದ ಪಾರ್ಚಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯು ತರಂಗ ಫಲನದಲ್ಲಿ ಕೋಡ್ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ. ತರಂಗ ಫಲನವು ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಡಿಸಬಹುದು. ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣವು ಯುಗಾಂತರ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪನೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವ ಒಂದು ಮೂಲ ಅಕ್ಷಿಯ ಸ್ವೀಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿಗಳ ವಿದ್ಯುತ್ ಅಭಿಯಾಂತರ ಶಿಕ್ಷಣ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೆಮಿಕಂಡಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ದುರದೃಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಎಂದೇ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಇಲ್ಲ. ಇದು ತುಂಬಾ ದು:ಖದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯುಗಾಂತರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳು ಈ ಮೂಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುರುತಿಗೆಯಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಮೋದಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿಕರವಾಗಿ, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ತರ್ಕಗಳು ಶ್ರೋದಿಂಗರ ತನเอง ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ತರ್ಕಗಳು ಕೂಡ ಅದೇ ರೀತಿಯದ್ದು, ಇದರ ಮೂಲಕ ನೀವು ತನ್ನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಹಾನ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಂತನೆಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಸ್ಮರಿಕೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಯದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಶ್ರೋದಿಂಗರ ಸಮೀಕರಣವು 3-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (ನಂತರದ ಗುರುತಿನ ಪಾರ್ಚಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಅದರ ಸೌಂದರ್ಯದಲ್ಲಿ:

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತರಂಗಗಳು

ಎಲ್ಲರೂ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಕೊಡುತ್ತಾರೆ – ಆದರೆ ಅದು ನಮಗೆ ನಿಂತಾಗಲೂ ನಿಂತಿದೆ (ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಸಂಬಂಧ ಸ್ವೀಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಭಾವಿಸಿ).

ಆದರೆ, ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಶತಮಾನದ ಮುಂಚೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತನ್ನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದ್ದರೆ ಚಮತ್ಕಾರದಷ್ಟು ದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದವು. ನಮ್ಮ ದ್ವಿಪದ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಫೋಟೋಇಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಭಾವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತನ್ನ ಸಮಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದ್ದರೆ ಅದು ಹೋಲಿಸಬಹುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಎಂದರೆ? ಸಾಧಾರಣ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ, ಪಾರ್ಟಿಕಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವೇವ್‌ಗಳು. ಈ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಪಾರ್ಟಿಕಲ್‌ಗಳು: ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಸ್ಥಳೀಯ ಬಂದಲು ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $m$ .

ವೇವ್‌ಗಳು: ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸಾರಿಸಲಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ವೇವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ $\psi(\vec{r}, t)$ ಅನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಮೇಲೆ ವೇವ್ ನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಫೋಟೋಇಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಉಂಟಾಯಿಕೆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅದ್ಭುತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ತನ್ನ ಸಮಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿರೋಧ ಇದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡು ಇದ್ದರು.

ನಿರ್ಜೀವ ಸತ್ಯವಲ್ಲ? ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಂಧ್ರವಿದ್ದು ಎಂದು ಹೇಳಿದರು, ಮತ್ತು ಲೂಯಿ ಡಿ ಬ್ರೋಗ್ಲಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್‌ಗಳಿಗೆ (ಪಾರ್ಟಿಕಲ್) ಮೊತ್ತಮಾನವನ್ನು (ವೇವ್‌ಗಳಿಗೆ ತರಂಗಾಂತರ) ಕೊಟ್ಟಾಗ

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

ಇದರ ಮೂಲಕ Photoelectric Emission ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಫೋಟಾನ್‌ಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು (ಇನ್ನೂ ಪಾರ್ಚಿಕಲ್ ಅಥವಾ ವೇವ್ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ) ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

ಇಲ್ಲಿ $\hbar = h/2\pi$ ಮತ್ತು $\omega=2\pi f$ . ನಾವು ಈಗ ಸ್ಕ್ರೋಡಿಂಜರ್ ತಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಮುನ್ನ ಹೊರಬಂದ ಅದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಎಲ್ಲೆ ಮುಂದಿನ ಮುಂದಿನ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಆರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ? ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಇಲ್ಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಫೋಟಾನ್‌ಗಳು ವೇವ್-ಜೈಸ್ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಚಿಕಲ್-ಜೈಸ್ ಆಚರಣೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತಿವೆ. ಎಲ್ಲ ವೇವ್‌ಗಳು ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಒಂದು ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಪಾರ್ಚಿಕಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ನೋಡುವ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವಿದ್ದರೆ ಅದು ತಪ್ಪಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು

ವಿಚ್ಛೇದ $\psi(\vec{r}, t)$ ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುರುತಿಸಿ, ಇಲ್ಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ವೇವ್-ಜೈಸ್ ಆಚರಣೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಕ್ಟ್ರೋಮಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಚಾರ್ಜ್ ಇದೆ. ಹಾಗಾಗಿ, ಈಗ ನಾವು ಇಲ್ಕ್ಟ್ರೋಮಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಇಲ್ಲೆಂದೇ ಅವು:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

ಇಲ್ಲಿ $c$ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, $\vec{E}$ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ದೀಪ್ತಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\vec{B}$ ಚುಮ್ಬಕೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ದೀಪ್ತಿ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು, ಇಂಡಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮರ್‌ಗಳ ಅಧಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫಾರಡೇನ ನಿಯಮದ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖನೀಯ ನಿಗಮನವೆಂದರೆ $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಚುಮ್ಬಕೀಯ ಏಕವಿಂದಿ ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂಜಿನಿಯರನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈಗ, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣ 4 ಗೆ ಒಂದು ಕರ್ಲ್ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಯಾವುದೇ ದೀಪ್ತಿ-ಚುಮ್ಬಕೀಯ ತರಂಗವು ಹೊಂದಬೇಕಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸೋಣ:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸ್ವಿಕೃತ ವೆಕ್ಟರ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ಇಲ್ಲಿ $T$ ಒಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಮ್ಮ ಚಿಕ್ಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

ನಮಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಸಿಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ೩-ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್-ಚುಮ್ಬಕೀಯ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ವಿದ್ಯುತ್-ಚುಮ್ಬಕೀಯ ತರಂಗಗಳಲ್ಲದೆ ಶಬ್ದ ತರಂಗಗಳು, ಭೂಕಂಪ ತರಂಗಗಳು, ಜಲ ತರಂಗಗಳು, ಮತ್ತು ದ್ರವ ಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೋದಿಂಜರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು

ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪ್ಲೇನ್ ವೇವ್ ಪರಿಹಾರಗಳು

೧-ಆಯಾಮದ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆರಂಭಿಸುವ (ಈ ತರಹದ ತಿಳಿಕೆಯು ನಂತರದಲ್ಲಿ ೩ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು): $x, y$ , ಮತ್ತು $z$ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ದ್ವಿತೀಯ ಕ್ರಮದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಅನುಕಲನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ಲೇನ್ ವೇವ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಂತೋಷಿಸುತ್ತದೆ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಂಗ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ಮತ್ತು $\omega = 2 \pi f$ . ಈಗ, ನಾವು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಟನ್‌ನ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಫೋಟಾನ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯು $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ಮತ್ತು ಡಿ-ಬ್ರೊಗ್ಲಿಯಿಂದ $p = h / \lambda = \hbar k$ ಎಂದು ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ದ್ವಿಮಿತೀಯ ತರಂಗ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

ಇದು ಫೋಟಾನ್‌ನ ವಿಧಾಯಕ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮ್ಮ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ ನೋಡೋಣ!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

ಇನ್ನೊಂದು ಶಬ್ದಗಳಲ್ಲಿ, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಬಂಧ ಮೂಲಕ ತಿರಿಗಿ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ ಪಾರ್ಟಿಕಲಿನ ಮೊತ್ತಮಾದ ಶಕ್ತಿಯು $m$ ಇದಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

ಮತ್ತು ಈಗ ವರೆಗೆ ನಾವು ಫೋಟಾನ್ ಮಾತ್ರ ಮೀಡಿ ಇದ್ದೇವೆ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ $(m=0)$ ! ಹಾಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ತಿಳಿವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್) ಗಾಗಿ ಮೊತ್ತಮಾದ ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಹೆಸರನ್ನು $\Psi$ ಎಂದ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಬಾಲರ್ ಆದ್ದರಿಂದ.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರವಾಗಿ ಫೋಟಾನ್ ಗಾಗಿ ಪ್ಲೇನ್ ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿ ಪಡೆದು ಬಂದಿದೆ. ಆದರೆ, ನಾವು ಈಗ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಗಾಗಿ ಮೊತ್ತಮಾದ ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸಿದಾಗ, ನಾವು ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ, ವೇವ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಮ್ಮ ಹೊಸ $\Psi$ ಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಮತ್ತು ವೇವ್ ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಓಪ್ರೇಟರ್ ಪಾತ್ರ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿದೆ:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವಾದ ಕಣಗಳ ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಈಗ ಮುಂಚೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ $\mathsf{E}$ ಗತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣವಿರುವ ಕಣಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿ. ನಾವು ಫೋರ್ಮುಲಾನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಕೆಲವು ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲು.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

ಈ ಮಾನ್ಯತೆಯ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $\sqrt{1 + x}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುವುದು. ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

ಎಂದು $x$ ಚಿಕ್ಕದಾಗ, ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಒಮ್ಮೆ ಭಾಗವೇನೆಂದರೆ $O(1)$ ಪದ. ನಮ್ಮ ಶಕ್ತಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . ನಾವು $p = mv \ll mc$ ಎಂದು ಹೋಲಿಸಬಹುದು (ಪ್ರಕಾಶದ ವೇಗದಲ್ಲ ಚಲಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿ ಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪದವು ಗಮನಿಸಿ:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

ಇಲ್ಲಿ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

ಇದು ಹೈಸ್ಕೂಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಣುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೈನಾಮಿಕ ಶಕ್ತಿ. ಈಗ ಮುಂಚೆ ದೋಷಿತ ತರಂಗ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಮತ್ತೆ ನೋಡೋಣ, ಈ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಮ್ಮ ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ನೀಡಿ ನಾವು ಯಾವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೋ ನೋಡೋಣ:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

ಈ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಇಪ್ಪತ್ತು ವಿಭಜಿಸಿರುವ ಕಾರಣ ಎಂಬುದು, ಮೊದಲ ಪದ $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೈಟ್ ವೇಗದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ) ಎರಡನೇ ಪದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಒಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ನಾವು ಶೋಧಿಸುತ್ತಿರುವ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್-ವೇವ್ ಯುನಿಟ್ ನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮೋಡಿಸಲು, ನಾವು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಾ:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

ಈಗ ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

ಈಗ $\Psi(\vec{r},t)$ ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾರ್ಶ್ವ ವಿಭಜನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಪಾರ್ಶ್ವ ವಿಭಜನ:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾರ್ಶ್ವ ವಿಭಜನ:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

ನಮಗೆ ಗಮನಿಸಬೇಕು ಎಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಪಾರ್ಶೀಯ ವಿಭಜನವು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೋ ಮೊಟ್ಟಂಕಿನ ಕ್ರಮದ ಹೊಂದಿರುವ $c^2$ ಪದವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ, ನಿಜ ಎರಡನೇ ವಿಭಜನವು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

ಈ ಎರಡು ಪಾರ್ಶೀಯ ವಿಭಜನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿದ ಚಾಲಾ ಕಾರಣವೆಂದರೆ, ನಾವು ಈ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ:

ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮುಂದೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮರು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮುಗಿಸೋಣ:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ಈಗ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೋಲಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮುಂದಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಾರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ $x,y$ , ಮತ್ತು $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರಿಲೇಟಿವಿಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ತನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಪದವು ನಾವು ಚಿಕ್ಕ $\sqrt{1+x}$ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದ ಗುರಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ.

ಈಗ, ಕ್ಲೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ (ದೀರ್ಘವಾದ ಸ್ಕ್ರೋಡಿಂಜರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರೆದು ಬಾಗಿದ ಶಕ್ತಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸೋಣ):

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ನಮ್ಮ ನೂತನ ತರಂಗ ಫಂಕ್ಷನ್ $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಕಾಲದ ಪ್ರತಿ ಮೂರನೆಯ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಎಂದು ನಾವು ತಿಳಿದಿದೆ:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ನೂತನ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾಡಬೇಕಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ (ಮೂರು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ರೋಡಿಂಜರ್ ಸಮೀಕರಣ ಪಡೆಯಲು ಗಮನಿಸಿ (ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಹಾಮಿಲ್ಟನಿಯನ್ ನಂತಹ ಆಧಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣದ ದಕ್ಷಿಣ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿರುವ ಪದವು ತರಂಗ ಫಂಕ್ಷನ್ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು $V(\vec{r},t)$ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಡೈನಾಮಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪೋಟೆನ್ಶಿಯಲ್ ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಕಾರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಸ್ಕ್ರೋಡಿಂಜರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಪೋಟೆನ್ಶಿಯಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

ಇದು ಇದೇ! ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂರು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಸ್ಕ್ರೋಡಿಂಜರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಾರ್ಶ್ವ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ಷಣಕಾಲದ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯ ಪಾರ್ಚಿಕೆಗೆ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಈ ಪೋಸ್ಟ್ ನ್ನು ಇഷ್ಟಪಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಕಾರದ ಹೆಚ್ಚು ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಚಾದುವುದಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮನ್ನು ಈಮೆಲ್ ಮಾಡಿ ತಿಳಿಸಿ.

ತಾಲೀಕೆಗಳು

Gasiorowicz, S. (2019). ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ. 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಕನಡಾ: ಹಾಮಿಲ್ಟನ್ ಪ್ರಿಂಟಿಂಗ್, ಪುಟಗಳು.1-50.
Griffiths, D. (2019). ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ. 3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರಿಂಟಿಂಗ್ ಹ೗ಸ್, ಕೆಂಬ್ರಿдж್: ಕೆಂಬ್ರಿಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್.
Ward, D. ಮತ್ತು Volkmer, S. (2019). ಶ್ರೋಡಿಂಜರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ವಿಧಾನ. [ಆನ್‌ಲೈನ್] arXiv.org. ಲಭ್ಯವಿದೆ: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [ಪ್ರಾಪ್ತಿ: 29 ಮೇ 2019].
Shankar, R. (1980).ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. 1ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್: ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಪುಟಗಳು.1-40.

ದೃಷ್ಟಿಕೋನ: ಮೂಲಕ್ಕೆ ಶ್ರದ್ಧೆಯಾಗಿ, ಉತ್ತಮ ರಚನೆಗಳು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅನುಕರಣ ಇದ್ದರೆ ದಯವಿಟ್ಟು ತೆರೆಯಿರಿ.

ದಾನ ಮಾಡಿ ಲೇಖಕನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿ

ವಿಷಯಗಳು:

ವಿಜ್ಞಾನ ಲೇಖನಗಳು

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ನಿಪುಣರ ಕುರಿತು

Electrical4u

China