Schrödinger-a Ondeequacio: Derivo & Esploso

Electrical4u

Kampo: Baza Elektrotekniko

China

Kio estas la Schrödinger-ekvacio?

La Schrödinger-ekvacio (ankaŭ konata kiel onda ekvacio de Schrödinger) estas parta diferenciala ekvacio, kiu priskribas la dinamikon de kvantaj sistemoj per onda funkcio. La trajektorio, pozicio, kaj energio de tiuj sistemoj povas esti ricevitaj solvante la Schrödinger-ekvacion.

Ĉiuj informoj pri subatomara partiklo estas koditaj en onda funkcio. La onda funkcio kontentigos kaj povos esti solvita uzante la Schrödinger-ekvacion. La Schrödinger-ekvacio estas unu el la fundamentaj aksiomoj, kiuj estas enkondukataj en la studprogramo de fiziko por studentoj. Ĝi estas ankaŭ pli kaj pli komuna trovi la Schrödinger-ekvacion enkondukitan en la studprogramo de elektra inĝenierado en universitatoj, ĉar ĝi aplikas al duonkonduktoroj.

Malafortune, ĝi estas nur statita kiel postulado en ambaŭ kazoj kaj neniam derivita en iu signifa maniero. Tio estas tre malplena, ĉar preskaŭ ĉio alia en la studprogramo de kvanta fiziko por studentoj estas baza sur ĉi tiu fundamento. En ĉi tiu artikolo, ni derivos la ekvacion de nulpunkto, kaj mi faros mian plej bonan por montri ĉiun paŝon preniton.

Interese, la argumentoj, kiujn ni faros, estas la samaj kiel tiuj, kiujn Schrödinger mem faris, do vi povas vidi la pensojn, kiujn giganto faris en sia tempo. Kiel rimedo, jen la dependa de tempo Schrödinger-ekvacio en tri dimensioj (por ne-relativeca partiklo) en ĉiuj siaj belo:

Kvanta Fiziko kaj Ondoj

Ĉiuj ŝatas kritiki la klasikan fizikon – sed ĝi servis nin bone dum longa tempo (penseble Newtona mekaniko, ekvacioj de Maxwell, kaj speciala relativeco).

Tamen, kiel montris niaj antaŭaj artikoloj, eksperimentaj rezultoj je la fino de la jarcento ne aspektis tre impone kompare al la konata fiziko de tiu tempo. Niaj artikoloj pri la duoblaj tranĉilo-eksperimento kaj iom la fotoelektra efekto estas eksperimentaj rezultoj kiuj ne kongruis bone kun la konata kompreno de tiu tempo.

Sed kial? Por diri simple, en klasika fiziko ekzistas du entitatoj, partikloj kaj ondoj. La trajtoj de ambaŭ tiuj entitatoj povas esti priskribitaj jene:

Partikloj: lokaĵaj buŝetoj de energio kaj momento kun maso $m$ .

Ondoj: perturboj disvastiĝantaj tra spaco-travelado tra tempo. Ili povas esti priskribitaj per onda funkcio $\psi(\vec{r}, t)$ kiu priskribas la ondon tra spaco kaj tempo.

Ĉi tio kondukas nin al la surprizaj rezultoj trovitaj en nia Fotoelektra Emissiono artikolo. Ni trovis ke la elektron montras amban tiun trajtojn. Ĉi tio tute kontraŭdiras la konatan komprenon de tiu tempo, ĉar la du entitatoj estis konsideritaj reciproke eskluzivaj.

Insana, ĉu? Pri tiu tempo, kelkaj tre influaj figuroj en fiziko komencis realigi ke ekzistis lacunaĵo en scio, kaj granda progreso venis kiam Louis de Broglie asociis momenton (por partiklo) al ondolongo (por ondoj) donita per

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ankaŭ, el Fotoelektra Emisio ni scias, ke la absorbo kaj emiso de fotonoj (ankoraŭ ne certe ĉu partiklo aŭ ondo) havas energion donitan per

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kie $\hbar = h/2\pi$ kaj $\omega=2\pi f$ . Ni nun estas en la sama stadio kiel Schrödinger antaŭ derivado de lia fama ekvacio. Sed kie komenci? Nu, ni scias, ke elektronoj kaj fotonoj montras ondolikecon kaj partiklolikecon. Ne estus eraro komenci kun universala ekvacio, kiun ĉiuj ondoj devus sekvi, kaj tiam enkonduki partiklan fizikon por vidi ĉu estas rezulto.

Kiel derivi la Onda Ekvacion

La perturbo $\psi(\vec{r}, t)$ sekvas la ondan ekvacion. Memoru, ke la elektrono montras ondolikecon kaj havas elektromagnetan ŝargon. Tial, por nun, rigardu nur elektromagnetajn kampon. En ĉi tiu scenaro, Maxwellaj ekvacioj validas kaj ĉi tie ili estas en ĉia gloro:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kie $c$ estas la rapido de lumo en vakuo, $\vec{E}$ estas la elektra kampo kaj $\vec{B}$ estas la magnetkampo. La unua ekvacio supre estas la bazo de elektraj generiloj, induktoroj, kaj transformiloj kaj estas la embohado de Faraday-a leĝo.

Ankaŭ, unu el la konsekvencoj de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ estas, ke ne ekzistas magnetaj monopoloj. Kompreno de la derivaĵo de ĉi tiuj ekvacioj kaj la fizika signifo malantaŭ ili faras kompleta inĝenieron. Nun, ni derivos la ekvacion, kiun ĉiu elektromagnetonda ondo devas sekvi, aplikante cirkulon al Ekvacio 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nun ni povas uzi tre familian (kaj facile pruveblan) vektoran identecon: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kie $T$ estas iu pluvica vektoro. Aplikante al nia malgranda ekvacio nun:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ni havas ĉi tie la ondekvacion de elektromagnetismo en tri dimensioj. Ĉi tiu ekvacio ne nur aperas en elektromagnetaj ondoj, sed ankaŭ en akustiko, seismaj ondoj, sono-ondoj, akvaj ondoj kaj fluo-dinamiko.

Kiel derivi la Schrödingeran ekvacion

Planaj ondaj solvoj al la ondekvacio

Komencante kun la ondekvacio por unu dimensio (estas tre facile ĝeneraligi ĝin post tio al tri dimensioj, ĉar la logiko validos en ĉiuj $x, y$ , kaj $z$ dimensioj.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ĉi tio estas, en realo, duaorda parta diferenciala ekvacio kaj estas kontentigata per planaj ondaj solvoj:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kontrolu tion mem!). } \end{equation*}$

Elŝutas ni de la normala ondomekaniko ke $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ kaj $\omega = 2 \pi f$ . Nun, lasu nin uzi la laboron de Einstein kaj Compton kaj anstataŭigu la faktan energion de fotono estas donita per $\mathsf{E} = \hbar \omega$ kaj de de-Broglie ke $p = h / \lambda = \hbar k$ . Ni povas plu masiĝi nian ebenan ondan solvon al:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Tio ĉi estas la ebenona onda ekvacio priskribanta fotonon. Lasu nin anstataŭigi ĉi tiun ekvacion en nian ondan ekvacion kaj vidi kion ni trovos!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Alivorte, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ kio estas bona ĉar ni scias el la speciala relativeco, ke la tuta energio por relativisma partiklo kun maso $m$ estas:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Kaj ĝis nun ni traktis nur la fotonon, kiu havas nenian mason $(m=0)$ ! Do, etendas nian komprenon kaj aplikas la tutan relativisman energion por partiklo kun maso (kiel ekzemple elektrono) kaj ŝanĝas la nomon de nia ekvacio al $\Psi$ ĉar ni estas baleroj.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ĉi tiu ekvacio venis rekte de la anstataŭigo de la ebena ondo ekvacio por fotono en la onda ekvacio. Tamen, ĉar ni nun volas solvi la tutan relativisman energion por partiklo kun maso, ni devas iom ŝanĝi la ondan ekvacion. Tio estas ĉar la onda ekvacio ne plene aplikeblas al nia nova $\Psi$ kiu priskribas partiklojn kaj ondojn. Ni povas nun retro-solvi por operatoro por ricevi la supre donitan ekvacion, kiu estas donita per:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Problemo de partikloj kun maso en la onda ekvacio

Ni nun volas farigi kelkajn aproksimadojn sur la plena energio, kiun ni ĵus priskribis per $\mathsf{E}$ por partiklo kun momento kaj maso. Malfermu la formulon iomete tiel, ke ni povas uzi kelkajn aproksimadojn.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Ĉiuj celoj de ĉi tiu manipulado estas havi la ekvacion en la formo $\sqrt{1 + x}$ ĉar se ni prenas la serion de Taylor de ĉi tiu ekvacio, ni ricevas:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kiam $x$ estas malgranda, la sola parto kiu restas en la Taylor-a vastiĝo estas la $O(1)$ termo. En nia energioformulo, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Ni povas profiti de la fakto ke $p = mv \ll mc$ por ĉio kio ne vojaĝas je lumrapido (bonvolu trovi min se vi efektive trovas ion kio ne kontentigas ĉi tion)! Do tiu termino efektive reduktiĝas al:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kie

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Estas la normala kineta energio kiun ni vidas el mezlerneja fiziko. Nun revenu al la ondfunkcio de antaŭe, enmetu ĉi tiun novan informon kaj vidu kion ni finfine ricevas:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

La kaŭzo pro kiu ni nun disdividis la du terminojn estas, ke la unua termino $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (denove baziĝanta sur la lumrapido) estos signife pli osciliga ol tiu de la dua termino kaj ne nepre priskribas la partikol-ondan entitaton, kiun ni serĉas. Do, por solidigi ĉi tiun diferencon, establu, ke:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kie ni nun difinis:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Nun prenu la unuan kaj duan partajn derivaĵojn de $\Psi(\vec{r},t)$ kaj vidas, kion ni finfine ricevas. La unua:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

kaj la dua:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Ni devas memori, ke la lasta termo kun la dua parta derivaĵo estas tre malgranda pro la fakto, ke ne ekzistas $c^2$ termo portanta la ordo de grandeco, kaj do per aproksimado, la efektiva dua derivaĵo estas donita per:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

La kaŝa kaŭzo, pro kiu ni prenis ĉi tiujn du partajn derivaĵojn, estis por ke ni povu enmeti ilin en ĉi tiun ekvacion, priskribantan la undafunkcion pli frue:

Sed antaŭ ol ni faros tion, ordigu ĉi tiun formulon, kaj ni finos kun ekvacio nomata Klaŭn-Gordon ekvacio:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nun ni facile generaligi ĝin al tri dimensioj per konvertado de ĉi tiu ekvacio en vektora ekvacio (ĉiuj paŝoj kiujn ni faris por derivi ĉi tiun formulon validos por ĉiuj $x,y$ , kaj $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ĉi tiu ekvacio estas konata kiel la Klein-Gordon-ekvacio por libera partiklo. Ĉi tiu ekvacio estas relativisma, ĉar ĝia energitermo ne faras la supozojn kiujn ni faris kun la malgranda $\sqrt{1+x}$ Taylor-a vastigo.

Nun, simpligemo la Klein-Gordon-ekvacion (revenante al unu-dimensia kazo kaj aplikante nian novan energiformulon) kaj ni atingos la longatempe atenditan Schrödinger-ekvacion:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Enmetemo nian novan ondofunkcion donitan per $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ kie ni scias kiel aspektas la unua kaj dua derivaĵoj relative al tempo:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nun, ĉio, kion ni bezonas fari, estas simpla rearanĝo por akiri la Schrödinger-ekvacion en tri dimensioj (notu, ke $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Kie la argumento povas esti farita rimarkante la similecon de la klasika hamiltoniano, ke la termo dekstre de la ekvacio priskribas la tutan energion de la onda funkcio.

En nia derivaĵo, ni supozis, ke $V(\vec{r},t)$ estas 0 kaj nur la kineta energio estis konsiderata. Ni scias, ke la potencialo estas pure aditiva kun respekto al siaj spaciaj varioj, do la plena Schrödinger-ekvacio en tri dimensioj kun potencialo estas donita per:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Tio estas ĝis! Jen, ni havas ĝin, ĉi tiu artikolo derivis la plenan Schrödinger-ekvacion por ne-relativisma partiklo en tri dimensioj. Se vi ŝatis ĉi tiun poston kaj volas vidi pli similajn, bonvolu sendi al ni retmesaĝon por informi nin.

Citadoj

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantfiziko. 2-a eldono. Kanado: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantfiziko. 3-a eldono. Universitata Presa Domo, Kembriĝo: Kembriĝa Universitata Presaĵaro.
Ward, D. kaj Volkmer, S. (2019). Kiel Derivi la Schrödingeran Ekvacion. [enretle] arXiv.org. Disponigebla je: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Atingita 29-a de majo 2019].
Shankar, R. (1980).Principoj de Kvantmekaniko. 1-a eldono. Novjorko: Springer Science, pp.1-40.

Deklaro: Respektu la originalon, bonajn artikolojn valoras dividi, se estas endroso bonvolu kontaktu por forigo.

Donaci kaj enkuragigu la aŭtoron

Temojn:

Fizikaj Artikoloj

Kvanteca Teorio

Pri ekspertoj

Electrical4u

China