Јацката на Шредингер: Извод и Објаснување

Electrical4u

Поле: Основни електрични

China

Што е Шредингеровата равенка?

Шредингеровата равенка (позната и како волнова равенка на Шредингер) е парцијална диференцијална равенка која опишува динамиката на квантни системи преку волновата функција. Траекторијата, позиционирањето и енергијата на овие системи можат да се добијат со решавање на Шредингеровата равенка.

Сè информации за податомски честички се кодирани во волновата функција. Волновата функција ќе задоволи и може да се реши со користење на Шредингеровата равенка. Шредингеровата равенка е еден од фундаменталните аксиоми кои се воведуваат во студентската физика. Постепено постанува все повеќе збор за Шредингеровата равенка во учебникот за електротехника на универзитетите бидејќи се применува на полупроводници.

Невистино, во обата случаи таа се наведува само како постулат и никогаш не се изведува на значаен начин. Ова е многу недоволствување бидејќи скоро сè што се учи во студентската квантна физика е изградено врз оваа основа. Во овој чланок, ќе изведеме равенката од почеток и ќе направам моја најдобра работа да покажам секој чекор.

Занимливично, аргументите што ќе ги направиме се истите како и оние кои ги направил и самото Шредингер, така што можете да видите линиите на размислување на гигант во неговото време. Како напомена, еве временската зависна Шредингерова равенка во 3-димензии (за нерелативистичка честичка) во сѐ своја красота:

Квантна физика и валови

Секој сака да критикува класичната физика – но тоа ни служеше добро за прилично долг период (мислете на Нютновата механика, Максвеловите равенки и специјалната релативност).

Меѓутоа, како што е прикажано во нашите претходни статии, експерименталните резултати на почетокот на векот не беа многу блеснати споредно со познатата физика на тоа време. Нашите статии за експериментот со двојна ѕелица и до неколку степени ефектот на фотоелектронско излацивање се експериментални резултати кои не се совпаѓаа добро со познатото разбирање на тоа време.

Но зошто? Да го кажеме едноставно, во класичната физика постојат две ентитети, честички и валови. Кarakтеристиките на обете овие ентитети можат да се опишат како следува:

Честички: локализирани пакети на енергија и импулс со маса $m$ .

Валови: нарушувања распределени во простор и патуваат преку време. Тие можат да се опишат со валова функција $\psi(\vec{r}, t)$ која го опишува валот во простор и време.

Ова ни доведува до изненадувачките резултати пронајдени во нашата статија за Фотоелектронско излацивање. Најдевме дека електронот покажува обете овие својства. Ова потполно противречи на познатото разбирање на тоа време, бидејќи двете ентитети се сметаа за взаемно исклучиви.

Лудо, правда? Околу тоа време, некои влијателни фигури во физиката започнаа да се осетуваат дека има недостаток на знаење, и голем проникнување дојде кога Луј де Брой асоцираше импулс (за честичка) со волнова должина (за валови), дадена од

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Исто така, од Photoelectric Emission знаеме дека енергијата што се апсорбира и испушта од фотони (се уште несигурни дали честички или валови) е дадена со

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Каде $\hbar = h/2\pi$ и $\omega=2\pi f$ . Сега сме на иста точка како Шредингер пред да изведе својата позната равенка. Но каде започнуваме? Знаеме дека електроните и фотоните покажуваат поведение како валови и како честички. Нема ништо лошо да започнеме со универзална равенка која треба да ја следат сите валови, а потоа воведеме физика на честичките за да видиме дали има резултат.

Како да изведеме Валовата равенка

Нарушението $\psi(\vec{r}, t)$ ги следи валовите равенки. Запомнете, електронот покажува поведение како вал и има електромагнетен натпревар. Значи, за сега, само да ги разгледаме електромагнетните полиња. Во овој случај, важат Максвеловите равенки, и еве ги во нивна слава:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Каде $c$ е брзината на светлината во вакуум, $\vec{E}$ е електричното поле и $\vec{B}$ е магнетното поле. Првата равенка одгоре е основа на електричните генератори, индуктори и трансформатори и е израз на Фарадеев закон.

Така исто така, една од импликациите од $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ е дека не постојат магнетни монополи. Разбирањето на изведувањето на овие равенки и физичката значење зад нив прави добар инженер. Сега, нека изведеме равенката која секое електромагнетно бреме мора да ја следи со применување на ротор на Равенката 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Сега можеме да користиме многу познат (и лесно докажан) векторски идентитет: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ каде $T$ е некој заместителен вектор. Применето на нашата малечка равенка сега:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Резултатот што го имаме овде е равенката за електромагнетни бранови во три димензии. Оваа равенка не само се појавува во електромагнетните бранови – туку и во акустиката, сизмиčките бранови, звуčните бранови, водни бранови и динамика на флуидите.

Како да изведеме Шредингеровата равенка

Планинарски решенија на равенката за бранови

Започнувајќи од равенката за бранови во една димензија (многу лесно е да ја општествуваме во три димензии потоа, бидејќи логиката ќе важи во сите $x, y$ , и $z$ димензии.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Оваа, во реалност, е второредна парцијална диференцијална равенка и е задоволена со планинарски решенија:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (проверете го самостојно!). } \end{equation*}$

Од нормалната волна механика знаем дека $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ и $\omega = 2 \pi f$ . Сега, нека го користиме работата на Ајнштајн и Комптон и замениме фактот дека енергијата на фотон е дадена од $\mathsf{E} = \hbar \omega$ и од де-Бройл дека $p = h / \lambda = \hbar k$ . Можеме да го подобриме нашето решение за рамнинска волна до:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ова е равнинската волна која го опишува фотонот. Нека ја замениме оваа равенка во нашата волна равенка и видиме што ќе откриеме!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Другими зборови, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ што е одлично затоа што знаеме од специјалната релативност дека тоталната енергија за релативистичка честичка со маса $m$ е:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

И до сега само сме работеле со фотонот кој нема маса $(m=0)$ ! Значи, да го прошириме нашето разбирање и да примениме тоталната релативистичка енергија за честичка со маса (како на пример електронот) и да промениме името на нашата равенка во $\Psi$ бидејќи сме круни.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Оваа равенка доаѓа директно од замената на равенката за рамноправна волна за фотон во равенката за волна. Меѓутоа, бидејќи сега сакаме енергијата да реши тоталната релативистичка енергија за честичка со маса, треба да ја поменуваме малку равенката за волна. Ова е затоа што равенката за волна не треба да се применува целосно на нашата нова $\Psi$ која описува честички и волни. Сега можеме да го решиме операторот за да добиеме горенаведената равенка, и тој е даден со:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Решавање за честички со маса во јамната равенка

Сега сакаме да направиме неколку приближни пресметки на целосната енергија што ја опишавме со $\mathsf{E}$ за честичка со импулс и маса. Давайте само малку да преправиме формулата така што можеме да користиме неколку приближни пресметки.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Целта на оваа манипулација е да добиеме равенката во формата $\sqrt{1 + x}$ бидејќи ако го земеме Тейлоров ред на оваа равенка добиваме:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Кога $x$ е мала, единствениот дел кој останува во Тејлоровата експанзија е $O(1)$ терминот. Во нашата формула за енергија, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Можеме да се востанимаме на тоа дека $p = mv \ll mc$ за било што што не се движи со светлинска брзина (вас ви молам да ме најдете ако најдете нешто што не задоволува ова)! Така, овој термин всушност се сврцува до:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Каде

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Е нормалната кинетичка енергија која ја видиме од физиката од средната школа. Сега назад до функцијата на брана од претходно, да внесеме ова ново информации и да видиме со што завршуваме:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Разделивме ги двете термини затоа што првиот термин $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (опет на основа на брзината на светлината) ќе биде значително повеќе осцилаторен од вториот термин и не непремено опишува честична-волната суштина која ја бараме. Затоа за да ја утврдиме оваа разлика, нека сега поставиме дека:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Каде што сега го дефинираме:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Сега нека ги земеме првиот и вториот парцијални извод на $\Psi(\vec{r},t)$ и да видиме со што завршуваме. Првиот:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

а вториот:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Треба да имаме на ум дека последниот член со втората парцијална извод е многу мали бидејќи нема $c^2$ член кој носи ред на големина, и затоа, приближно, реалниот втор извод е:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Сокривата причина за што ги земевме овие два парцијални изводи беше така што можевме да ги внесеме во оваа равенка која опишува функцијата на брана:

Но пред да го направиме тоа, да го преработиме овој формулар и ќе дојдеме до равенка наречена Клайн-Гордон равенка:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Сега лесно можеме да го општиме до 3-димензии, превршувајќи ја оваа равенка во векторска равенка (сите чекори што ги направивме за да изведеме оваа формула важат и за сите $x,y$ , и $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Оваа равенка е позната како Клайн-Гордон равенка за слободна честичка. Оваа равенка е релативистичка, бидејќи неговиот енергијски член не прави претпоставките што ги направивме со малата $\sqrt{1+x}$ Тейлор развој.

Сега, нека ја поедноставиме Клайн-Гордон равенката (враќајќи се до 1-Д и применувајќи нашата нова енергијска формула) и ќе стигнеме до долгоочекуваната Шредингерова равенка:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Да вметнеме нашата нова таласна функција дадена од $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ каде што знаеме како изгледаат првиот и вториот извод според времето:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Сега се потребно еедноставно да го преработиме за да добиеме Јаглеровата једначина во три димензии (забележете дека $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Каде што можеме да го направиме аргументот со забележување на сличноста на класичниот Хамилтонијан, дека изразот од десна страна на једначината опишува тоталната енергија на таласната функција.

Во нашата деривација, претпоставивме дека $V(\vec{r},t)$ е 0 и дека само кинетичката енергија беше земена предвид. Знаме дека потенцијалот е чисто адитивен според неговите просторни варијации, па затоа, полната Јаглерова једначина во три димензии со потенцијал е дадена со:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Тоа е тоа! Еве го имаме, овој чланец ја изведуваше полната Јаглерова једначина за не-релативистичка честичка во три димензии. Ако ви се допадна овој пост и би сакале да видите повеќе како ова, ве молиме контактирајте ни за да ни кажете.

Наведувања

Gasiorowicz, S. (2019). Квантна физика. 2 изд. Канада: Hamilton Printing, стр. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Квантна физика. 3 изд. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. и Volkmer, S. (2019). Како да изведете Шредингеровата једначина. [онлајн] arXiv.org. Достапно на: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Пристапено 29 мај 2019].
Shankar, R. (1980).Принципи на квантната механика. 1 изд. Њујорк: Springer Science, стр. 1-40.

Изјава: Поштето оригиналниот, добри чланици ви се заслужени за споделување, ако постои нарушување на авторските права се јавете за брисање.

Дадете бакшиш и одобрувајте авторот!

Теми:

Физички чланици

Квантна теорија

За експертите

Electrical4u

China