معادله موج شرودینگر: استخراج و توضیح

Electrical4u

ميدان: Electrical Basics

China

معادله شرودینگر چیست؟

معادله شرودینگر (که به عنوان معادله موج شرودینگر نیز شناخته می‌شود) یک معادله دیفرانسیل جزئی است که رفتار سیستم‌های مکانیک کوانتومی از طریق تابع موج توصیف می‌کند. مسیر، موقعیت و انرژی این سیستم‌ها با حل معادله شرودینگر قابل استخراج هستند.

تمام اطلاعات مربوط به ذره زیراتمی در تابع موج کدگذاری شده است. تابع موج می‌تواند با استفاده از معادله شرودینگر برآورده شود و حل شود. معادله شرودینگر یکی از اصول اساسی است که در فیزیک پایه معرفی می‌شود. همچنین این معادله به طور معمول در برنامه درسی مهندسی برق دانشگاه‌ها معرفی می‌شود زیرا به halb‌رسان‌ها اعمال می‌شود.

با اسف، در هر دو مورد فقط به عنوان یک فرضیه بیان شده و به طور معناداری مشتق نشده است. این موضوع بسیار ناامید کننده است زیرا تقریباً همه آنچه در فیزیک کوانتومی پایه تدریس می‌شود بر این بنیاد بنا شده است. در این مقاله، ما معادله را از ابتدا مشتق خواهیم کرد و من تلاش خواهم کرد تا هر مرحله را نشان دهم.

جالب اینکه، استدلال‌هایی که می‌کنیم همان استدلال‌هایی هستند که خود شرودینگر در زمان خودش انجام داده است بنابراین می‌توانید خطوط فکری یک عظیم را ببینید. به عنوان یادآوری، اینجا معادله شرودینگر وابسته به زمان در ۳ بعد (برای یک ذره غیرنسبیتی) در تمام زیبایی خود آمده است:

فیزیک کوانتومی و موج‌ها

هرکسی دوست دارد فیزیک کلاسیک را مورد انتقاد قرار دهد – اما این علم برای مدت زیادی به ما خدمت کرد (به یاد بیاورید مکانیک نیوتن، معادلات ماکسول و نسبیت خاص).

با این حال، مانند آنچه در مقالات قبلی ما نشان داده شده است، نتایج تجربی در پایان قرن بسیار جذاب نبودند زمانی که با فیزیک شناخته شده در آن زمان مقایسه می‌شدند. مقالات ما درباره آزمایش دو شکاف و به حدودی اثر فوتوالکتریک نتایج تجربی بودند که خوب با درک شناخته شده در آن زمان همخوانی نداشتند.

اما چرا؟ به طور ساده، در فیزیک کلاسیک دو موجودیت وجود دارد، ذرات و امواج. ویژگی‌های هر دو این موجودیت‌ها به صورت زیر توصیف می‌شوند:

ذرات: بسته‌های محلی انرژی و تکانه با جرم $m$ .

امواج: اختلالات پخش شده در فضا-سفر در زمان. آنها می‌توانند با یک تابع موج $\psi(\vec{r}, t)$ که موج را در فضا و زمان توصیف می‌کند، توصیف شوند.

این موضوع ما را به نتایج شگفت‌انگیزی که در مقاله انتشار فوتوالکتریک یافته‌ایم می‌رساند. مشاهده کردیم که الکترون هر دو این ویژگی را نشان می‌دهد. این موضوع کاملاً با درک شناخته شده در آن زمان مغایرت دارد، زیرا دو موجودیت به عنوان متقابل در نظر گرفته می‌شدند.

جنجال‌برانگیز است، درست است؟ در این زمان، برخی از شخصیت‌های تأثیرگذار در فیزیک متوجه شدند که یک شکاف در دانش وجود دارد، و یک پیشرفت بزرگ وقتی رخ داد که لوئی دو بروی یک تکانه (برای یک ذره) به یک طول موج (برای امواج) مرتبط کرد:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

همچنین، از تصادف فوتولکتریک می‌دانیم که جذب و تابش فوتون‌ها (هنوز مشخص نیست ذره هستند یا موج) انرژی دارند که به صورت زیر بیان می‌شود

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

که در آن $\hbar = h/2\pi$ و $\omega=2\pi f$ . حالا ما در مرحله دقیقاً مشابه با شرودینگر قبل از استخراج معادله معروف خود هستیم. اما از کجا شروع کنیم؟ خوب، می‌دانیم که الکترون‌ها و فوتون‌ها رفتار موج‌مانند و ذره‌مانند نشان می‌دهند. هیچ اشتباهی در شروع با یک معادله عمومی که تمام موج‌ها باید رعایت کنند و سپس معرفی فیزیک ذرات برای دیدن اگر نتیجه‌ای وجود دارد.

چگونه معادله موج را بدست آوریم

مختل‌سازی $\psi(\vec{r}, t)$ معادله موج را رعایت می‌کند. به یاد داشته باشید، الکترون رفتار موج‌مانند نشان می‌دهد و دارای بار الکترومغناطیسی است. بنابراین، برای حالا، فقط به میدان‌های الکترومغناطیسی نگاه کنیم. در این سناریو، معادلات ماکسول قابل اعمال هستند و این‌ها در تمام عظمت خود هستند:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

که در آن $c$ سرعت نور در خلاء است، $\vec{E}$ میدان الکتریکی و $\vec{B}$ میدان مغناطیسی است. اولین معادله بالا پایه ژنراتورهای الکتریکی، القایی‌ها و ترانسفورماتورهاست و نمایانگر قانون فارادی است.

همچنین، یکی از نتایج $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ این است که مونوپول‌های مغناطیسی وجود ندارند. درک ریشه‌یابی این معادلات و معنای فیزیکی پشت آن‌ها مهندس کاملی را به وجود می‌آورد. حال، با اعمال کرل به معادله ۴، معادله‌ای که هر موج الکترومغناطیسی باید رعایت کند را بدست می‌آوریم:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

حال می‌توانیم از یک هویت برداری بسیار آشنا (و به راحتی قابل اثبات) استفاده کنیم: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ که در آن $T$ بردار جایگزینی است. با اعمال این هویت به معادله ما:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

نتیجه‌ای که در اینجا داریم معادله موج الکترومغناطیسی در سه بعد است. این معادله نه تنها در موج الکترومغناطیسی ظاهر می‌شود، بلکه در صوت‌شناسی، موج‌های لرزه‌ای، موج‌های صوتی، موج‌های آب و دینامیک سیالات نیز مشاهده شده است.

چگونه معادله شرودینگ را بدست آوریم

راه‌حل‌های موج مستوی برای معادله موج

با شروع از معادله موج در یک بعد (به راحتی می‌توان آن را به سه بعد تعمیم داد زیرا منطق در همه $x, y$ و $z$ ابعاد قابل اعمال است):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

این در واقع یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است و با راه‌حل‌های موج مستوی برقرار است:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

از مکانیک موج‌های معمولی می‌دانیم که $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ و $\omega = 2 \pi f$ . حال، با استفاده از کار اینشتین و کامپتون و جایگزینی این حقیقت که انرژی یک فوتون توسط $\mathsf{E} = \hbar \omega$ و از دوبرویل که $p = h / \lambda = \hbar k$ . می‌توانیم راه‌حل موج صفحه‌ای خود را به شکل زیر درآوریم:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

این معادله موج صفحه‌ای یک فوتون را توصیف می‌کند. بیایید این معادله را در معادله موج خود جایگزین کنیم و ببینیم چه چیزی پیدا می‌کنیم!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

به عبارت دیگر، $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ که خوب است زیرا از نسبیت خاص می‌دانیم که انرژی کل برای ذره‌ای با جرم $m$ به صورت زیر است:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

و تاکنون فقط با فوتون کار کرده‌ایم که جرمی ندارد $(m=0)$ ! بنابراین بیایید درک خود را گسترش دهیم و انرژی کل نسبیتی برای ذره‌ای با جرم (مانند الکترون به عنوان مثال) را اعمال کنیم و نام معادله‌مان را به $\Psi$ تغییر دهیم چون ما بازیکنان هستیم.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

این معادله مستقیماً از جایگذاری معادله موج صفحه‌ای برای فوتون در معادله موج حاصل شده است. اما از آنجا که حالا می‌خواهیم انرژی را برای حل انرژی کل نسبیتی برای ذره‌ای با جرم محاسبه کنیم، باید معادله موج را کمی تغییر دهیم. این به این دلیل است که معادله موج باید کاملاً به $\Psi$ که ذرات و موج‌ها را توصیف می‌کند، اعمال نشود. حالا می‌توانیم برای عملگری که معادله بالا را به دست می‌آورد، حل کنیم و آن به صورت زیر است:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

حل معادله موج برای ذرات دارای جرم

اکنون می‌خواهیم چند تقریب بر روی کل انرژی که توصیف کردیم اعمال کنیم توسط $\mathsf{E}$ برای ذره‌ای با تکانه و جرم. بیایید فرمول را کمی تغییر دهیم تا بتوانیم از چند تقریب استفاده کنیم.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

هدف این تغییرات این است که معادله را به شکل $\sqrt{1 + x}$ درآوریم زیرا اگر یک سری تیلور از این معادله بگیریم خواهیم داشت:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

هنگامی که $x$ کوچک است، تنها بخشی که در توسیع تیلور باقی می‌ماند عبارت $O(1)$ است. در فرمول انرژی ما، $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . می‌توانیم از این واقعیت که $p = mv \ll mc$ برای هر چیزی که با سرعت نور حرکت نمی‌کند (اگر چیزی پیدا کردید که این شرط را نقض می‌کند لطفاً به من بگویید) استفاده کنیم! بنابراین این جمله به صورت زیر کاهش می‌یابد:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

که در آن

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

انرژی جنبشی معمولی است که از فیزیک دبیرستان می‌شناسیم. حال بازگشت به تابع موج قبلی، بیایید این اطلاعات جدید را وارد کنیم و ببینیم به چه نتیجه‌ای می‌رسیم:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

دلیل اینکه دو عبارت را اکنون جدا کرده‌ایم این است که عبارت اول $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (که مجدداً براساس سرعت نور است) بسیار نوسانات‌تر از عبارت دوم خواهد بود و لزوماً ذره-امواجی که به دنبال آن هستیم را توصیف نمی‌کند. بنابراین برای تثبیت این تفاوت، بیایید حالا قرار دهیم:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

که حالا تعریف کرده‌ایم:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

حالا بیایید مشتقات جزئی اول و دوم $\Psi(\vec{r},t)$ را محاسبه کنیم و ببینیم به چه نتیجه‌ای می‌رسیم. اولین:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

و دومین:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

باید در نظر داشته باشیم که جمله آخر حاوی مشتق جزئی دوم بسیار کوچک است زیرا عبارتی حاوی $c^2$ وجود ندارد که مرتبه بزرگی را حمل کند، بنابراین به تقریب، مشتق جزئی دوم به صورت زیر خواهد بود:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

دلیل پنهانی که این دو مشتق جزئی را محاسبه کردیم آن بود که بتوانیم آنها را در این معادله که تابع موج را توصیف می‌کند قرار دهیم:

اما قبل از اینکه این کار را انجام دهیم، بیایید این فرمول را مرتب کنیم و به یک معادله به نام معادله کلاین-گوردون خواهیم رسید:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

حالا می‌توانیم این را به سه بعد تعمیم دهیم با تبدیل این معادله به یک معادله برداری (همه مراحلی که برای بدست آوردن این فرمول انجام دادیم برای همه $x,y$ و $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

این معادله به عنوان معادله کلین-گوردون برای ذره آزاد شناخته می‌شود. این معادله نسبیتی است زیرا جمله انرژی آن فرضیاتی که ما با تقریب کوچک $\sqrt{1+x}$ در بسط تیلور در نظر گرفتیم.

حالا، بیایید معادله کلین-گوردون را ساده‌سازی کنیم (برگشت به یک بعد و اعمال فرمول انرژی جدید) و به معادله شرودینگر که طولانی‌مدت منتظر آن بودیم می‌رسیم:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

بیایید تابع موج جدید خود را که توسط $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ داده شده است، قرار دهیم که می‌دانیم مشتق اول و دوم آن نسبت به زمان به چه شکلی است:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

حالا که همه چیز آماده است، تنها نیاز به مرتب‌سازی ساده‌ای داریم تا معادله شرودینگر را در سه بعد به دست آوریم (توجه داشته باشید که $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

که می‌توان آرگومانی را ارائه داد با توجه به شباهت هامیلتونی کلاسیک که عبارت سمت راست معادله انرژی کل تابع موج را توصیف می‌کند.

در این استخراج، فرض کردیم که $V(\vec{r},t)$ صفر است و فقط انرژی جنبشی در نظر گرفته شده است. ما می‌دانیم که پتانسیل به طور خالص با تغییرات مکانی خود جمع‌پذیر است و بنابراین، معادله شرودینگر کامل در سه بعد با پتانسیل به صورت زیر است:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

این همه! ما در این مقاله معادله شرودینگر کامل برای یک ذره غیرنسبیتی در سه بعد را استخراج کردیم. اگر این پست را دوست داشتید و می‌خواهید بیشتر از این نوع مطالب ببینید، لطفاً به ما ایمیل کنید تا با آن آشنا شویم.

مرجع‌ها

گاسیوروویچ، اس. (۲۰۱۹). فیزیک کوانتومی. نسخه دوم. کانادا: همیلتون پرینتینگ، صفحات ۱-۵۰.
گریفیثز، دی. (۲۰۱۹). فیزیک کوانتومی. نسخه سوم. چاپخانه دانشگاه، کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج.
وارد، د. و فولکمر، اس. (۲۰۱۹). چگونه معادله شرودینگر را به دست آورید. [آنلاین] arXiv.org. در دسترس در: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [دسترسی ۲۹ می ۲۰۱۹].
شنکار، آر. (۱۹۸۰). اصول فیزیک کوانتومی. نسخه اول. نیویورک: اسپرینگر ساینس، صفحات ۱-۴۰.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی است که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر تخلفی وجود دارد لطفاً با ما تماس بگیرید تا حذف شود.

نوروغ و مصنف ته هڅودئ!

موضوعات:

مقاله‌های فیزیک

نظریه کوانتومی

دربارې متخصصان

Electrical4u

China