Schrödingeri lainevõrrand: Tuletamine & Selgitus

Electrical4u

Väli: Põhiline Elekter

China

Mis on Schrödingeri võrrand?

Schrödingeri võrrand (tuntud ka kui Schrödingeri lainevõrrand) on osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab kvantmehaaniliste süsteemide dünaamikat lainefunktsiooni kaudu. Nendes süsteemides asuvate trajektooriate, paigutuse ja energiainfot saab välja tuua, lahendades Schrödingeri võrrandi.

Kõik subatomse osakese info on kodeeritud lainefunktsioonis. Lainefunktsioon rahuldab ja seda saab lahendada kasutades Schrödingeri võrrandit. Schrödingeri võrrand on üks põhiline aksiom, mille tutvustatakse bakalaureuseõppe ajal füüsika valdkonnas. See on ka üha levinumini esitatud elektritehnika õppekavas ülikoolides, sest see rakendub pooljuhtivates materjalides.

Kahjuks esitatakse see mõlemal juhul lihtsalt postulaadina ega tuleta välja mingisugusel mõistlikul viisil. See on piisavalt pettav, kuna peaaegu kõik muu, mida bakalaureuseõppe ajal kvantfüüsika valdkonnas õpetatakse, põhineb sel alusele. Selles artiklis tuletame võrrandi algselt ja ma teen oma parima, et näidata iga astme, mida astun.

Huvitavasti piisavalt, argumendid, mida me teeme, on samad, mida Schrödinger ise tegi, nii et saate näha, mida selline titan oma ajal mõtles. Järgmiseks on aja sõltuv Schrödingeri võrrand kolmes dimensioonis (mitte-relatiivses osakese puhul) kogu oma ilusa vormi:

Kvantfüüsika ja lained

Igaüks armastab klassikalise füüsika kritiseerimist – aga see teenis meid hästi pikka aega (mõelda Newtoni mehaanikale, Maxwelli võrranditele ja erirelatiivsusele).

Kuid, nagu meie eelmistes artiklites näidati, ei olnud sajandi alguses tehtud eksperimentide tulemused võrreldes selle ajal tundliku füüsika põhjal eriti imetuled. Meie artiklid kahe-lõigulise eksperimenti ja mõnevõrra ka fotoelektrilise efekti kohta olid eksperimentaalsed tulemused, mis ei vastanud hästi selle ajal tundlikule arusaamale.

Aga miks? Lihtsalt öelda, klassikalises füüsikas on olemas kaks entiteeti, osakesed ja lained. Mõlema nende entiteetide omadusi saab kirjeldada järgmiselt:

Osakesed: paigutatud energiapakid ja liikumisenergia massiga $m$ .

Lained: ruumis laienenud segadused, mis liiguvad ajas. Neid saab kirjeldada lainefunktsiooniga $\psi(\vec{r}, t)$ mis kirjeldab lainet ruumis ja ajas.

See viib meid üllatavate tulemusteni, mille leidsime oma Fotoelektrilise Emissiooni artiklis. Leidsime, et elektron näitab mõlemaid neist omadustest. See vastandub täielikult selle ajal tundlikule arusaamule, kuna need kaks entiteeti pideti mitteühilduvana.

Teaduslikult järjetu, eks? Selle ajal alustasid mõned füüsika suured tegelased märgata teadmiste puudujääki, ja suur läbimurde saavutati, kui Louis de Broglie seostas osakese liikumisenergia lainepikkusega (lainete jaoks), mis on antud valemiga

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Samuti teame Fotonilendväljundist, et fotonide (mida ikka veel pole täpselt kindlaks tehtud, kas neid tuleb käsitleda osakeena või lainena) energia absorbeerimisel ja väljaväljastamisel on nende energia antud valemiga

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

kus $\hbar = h/2\pi$ ja $\omega=2\pi f$ . Oleme nüüd Schrödingeri sammude eel, enne tema kuulsuse saavutamist. Kust hakkame? Teame, et elektronid ja fotonid näitavad lainelikku ja osakelikku käitumist. Ei ole midagi valesti, kui alustada universaalsetest lainevõrranditest, millele kõik lained peaksid järgima, ja siis lisada osakefüüsika, et näha, kas on mingit tulemust.

Kuidas tuletada lainevõrrandit

Segreerumine $\psi(\vec{r}, t)$ järgib lainevõrrandit. Me teame, et elektron näitab lainelikku käitumist ja tal on elektromagnetiline laeng. Seega, vaatame hetkel ainult elektromagnetilisi välju. Selles stsenaariumis kehtivad Maxwelli võrrandid ja need on nende kõrvalekujutuslikus ilukuses:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kui $c$ on valguse kiirus tühiimikus, $\vec{E}$ on elektriväli ja $\vec{B}$ on magnetväli. Esimene võrrand ülal on põhiline elektrijaamade, induktorite ja transformatorkonna aluseks ning see kujutab Faradayi seadust.

Samuti tähendab $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ , et magnetmonopoleid ei eksisteeri. Nende võrrandite tuletamise ja füüsika mõistmise teadmised muudavad inseneri täiuslikuks. Nüüd tuletame võrrandi, mille igal elektromagnetilisel lainel täita tuleb, rakendades külge võrrandile 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nüüd saame kasutada väga tuttavat (ja lihtsalt tõestatavat) vektori identiteeti: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ , kus $T$ on mingi asendusvektor. Kui me nüüd seda rakendame meie võrrandile:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Meil on siin electromagnetic wave võrrand kolmes dimensioonis. See võrrand esineb mitte ainult elektromagnetilistes lainetes, vaid ka akustikas, seismilistes lainetes, helilainetes, veelainetes ja vedelike dünaamikas.

Kuidas tuletada Schrödingeri võrrandit

Lainevõrrandi tasalainelised lahendid

Alustame lainevõrrandist ühes dimensioonis (see on väga lihtne üldistada kolmele dimensioonile, kuna loogika kehtib kõigis $x, y$ ja $z$ dimensioonides.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

See on tegelikult teist järku osaline diferentsiaalvõrrand, mille rahuldavad tasalainelised lahendid:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kontrollige seda ise!). } \end{equation*}$

Kui me teame tavapärasest lainemeetodikast, et $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ja $\omega = 2 \pi f$ . Nüüd kasutame Einsteini ja Comptoni tööd ja asendame selle faktiga, et fotoni energia on antud valemiga $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ja de-Broglie'lt saame, et $p = h / \lambda = \hbar k$ . Me võime oma tasalainete lahendust veelgi tugevdada:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

See on tasalaine võrrand, mis kirjeldab fotoni. Asendame selle võrrandi meie lainevõrrandisse ja vaatame, mida leidame!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Teisiti sõnastatult, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ mis on suurepärane, sest me teame erirelatiivsusest, et relatiivse osakese koguenergia, millel on mass $m$ , on:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Ja me oleme seni tegelenud ainult fotoni, millel ei ole massi $(m=0)$ ! Seega laiendame oma arusaama ja rakendame relatiivset koguenergiat osakesel, millel on mass (nt elektron) ning muutame meie võrrandi nimeks $\Psi$ , sest me oleme ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

See võrrand tuleneb otse fotoni tasandilainevõrrandi asendamisest lainevõrrandisse. Kuid kuna me nüüd soovime lahendada relatiivset koguenergiat osakesel, millel on mass, peame muutma lainevõrrandit veidi. See on seetõttu, et lainevõrrand ei peaks täielikult sobima meie uue $\Psi$ , mis kirjeldab osakeste ja lainete. Nüüd saame tagurpidi lahendada operaatori, et saada ülalpool oleva võrrandi, ja see on antud valemiga:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Massiga osutuste lahendamine lainevõrrandis

Nüüd soovime teha mõned ümberlähendid täielikule energiale, mida me just kirjeldasime $\mathsf{E}$ impulsiga ja massiga osakesele. Lihtsalt ümber korraldame valemiteks, et saaksime kasutada mõnda ümberlähendit.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Kogu selle manipulatsiooni eesmärk on saada võrrand kujul $\sqrt{1 + x}$ sest kui me võtame selle võrrandi Taylori ridade laienduse, siis saame:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kui $x$ on väike, siis Taylori laienduses jääb alles ainult $O(1)$ term. Meie energiavalemis on $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Saame kasutada asjaolu, et $p = mv \ll mc$ kõigile asjadele, mis ei liigu valguse kiirusega (palun leidke mind, kui leiad midagi, mis seda tingimust ei täida)! Seega see term tegelikult väheneb:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kus

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

on tavaline kinetiline energia, mida näeme gümnaasiumifüüsikast. Nüüd tagasi laine funktsiooni juurde, sisestame selle uue informatsiooni ja vaatame, mille saame:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Meie on nüüd mõlemad terminid eraldanud, sest esimene termin $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (taas põhinevalt valguse kiirusel) on oluliselt oskilleerivam kui teine termin ja ei kirjelda vajalikku osakese-lainet. Seega, et tugevdada seda erinevust, määrame nüüd:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kus me oleme nüüd defineerinud:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Võtame nüüd esimese ja teise osaliselt tuletise $\Psi(\vec{r},t)$ ja vaatame, mida saame. Esimene:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ja teine:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Meenutame, et viimane term teisest osalisest tuletisest on väga väike, sest seal ei ole $c^2$ termini, mis kandaks suuruse järjekorra, ja seetõttu lähenduses on tegelik teine tuletis antud järgmiselt:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Nende kahe osalise tuletise võtmise peitunud põhjus oli see, et saaksime need selle varem kirjeldava lainefunktsiooni võrrandisse imputeerida:

Enne kui seda teeme, ümberkorraldame selle valemite ja saame võrrandi, mida nimetatakse Klein-Gordoni võrrandiks:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nüüd saame selle lihtsalt üldistada kolme dimensioonile, tehes sellest vektorvõrrandiks (kõik sammud, mida me võtsime selle valemite tuletamiseks, kehtivad kõigile $x,y$ , ja $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

See võrrand on teada Klein-Gordoni võrrandina vaba osakese jaoks. See võrrand on relativistlik, sest selle energia termin ei eelda meie väikeste $\sqrt{1+x}$ Taylori laiendusega.

Nüüd lihtsustame Klein-Gordoni võrrandit (tagasi minnes 1-D ja rakendades meie uut energia valemit) ning jõuame oodatud Schrödingeri võrrandini:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Paneme sisse meie uue lainefunktsiooni, mis on antud valemiga $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , kus me teame, mida esimene ja teine ajaga seotud tuletis välja näevad:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nüüd peame lihtsalt ümber paigutama, et saada Schrödingeri võrrand kolmes dimensioonis (märkige, et $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Võrrandi paremal pool oleva termini kaudu kirjeldatakse lainefunktsiooni kogu energiat, mis on sarnane klassikalise Hamiltoni funktsiooniga.

Meie tuletamisel eeldasime, et $V(\vec{r},t)$ on 0 ja arvestati ainult kinetilist energiat. Teame, et potentsiaal on täielikult additiivne selle ruumiliste variatsioonide suhtes, seega on täielik Schrödingeri võrrand kolmes dimensioonis potentsiaaliga järgmine:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

See on kõik! Selles artiklis on tuletatud täielik Schrödingeri võrrand mitte-relatiivsusega osakese jaoks kolmes dimensioonis. Kui teile see postitus meeldis ja soovite rohkem sellist sisu, siis palun saatke meile e-kirja, et seda teada anda.

Tsitatsioonid

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantfüüsika. 2. trükk. Kanada: Hamilton Printing, lk. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantfüüsika. 3. trükk. Cambridge'i ülikooli trükikoda, Cambridge: Cambridge'i Ülikooli Kirjastus.
Ward, D. ja Volkmer, S. (2019). Kuidas tuletada Schrödingeri võrrandit. [võrguallikas] arXiv.org. Saadaval: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Viidatud 29. mail 2019].
Shankar, R. (1980).Kvantmehaanika põhimõtted. 1. trükk. New York: Springer Science, lk. 1-40.

Deklaratsioon: Austa algset, heade artiklite jaoks on väärt jagamist, kui on tehtud rõhutust, siis palun kontakti seadmiseks kustutamiseks.

Anna vihje ja julgesta autorit!

Teemad:

Füüsikaartiklid

Kvantteooria

Ekspertide kohta

Electrical4u

China

Eraldusvaldkond

Basic Electrical

Professionaalne artikkel

607