Schrödingerin aaltoyhtälö: Johdanto ja selitys

Electrical4u

Kenttä: Perus sähkötiede

China

Mikä on Schrödingerin yhtälö?

Schrödingerin yhtälö (tunnetaan myös nimellä Schrödingerin aaltoyhtälö) on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa kvanttimekaanisten systeemien dynamiikkaa aaltofunktion avulla. Järjestelmien liikerata, sijainti ja energia voidaan saada ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö.

Kaikki aliatominen hiukkasen tiedot on koodattu aaltofunktioon. Aaltofunktio tyydyttää ja sitä voidaan ratkaista käyttämällä Schrödingerin yhtälöä. Schrödingerin yhtälö on yksi perusaksioomeista, joita esitellään yliopistojen fysiikan opetuksessa. Se on myös yhä yleisempi löytää sähkötekniikan opetussuunnitelmissa yliopistoissa, koska se soveltuu puolijohtimiin.

Valitettavasti se esitetään vain postulaattina molemmissa tapauksissa eikä sitä johteta mitenkään merkityksellisesti. Tämä on melko epämiellyttävää, sillä lähes kaikki muu, mitä opetetaan yliopistotasolla kvanttifysiikassa, rakentuu tämän perustan varaan. Tässä artikkelissa johdamme yhtälön alusta ja pyrin näyttämään jokaisen otetun askeleen.

Huomionarvoista kyllä, tekemämme argumentit ovat samat kuin ne, jotka Schrödinger itse otti, joten voit nähdä, millaisia ajatuksia valtakirjoittaja teki omalla ajankohdallaan. Muistutuksena, tässä on aikariippuva Schrödingerin yhtälö kolmessa ulottuvuudessa (relatiiviselle hiukkaselle) kaikessa kauneudessaan:

Kvanttifysiikka ja aallot

Kaikki tylyyttävät klassista fysiikkaa – mutta se palveli meitä hyvin pitkään (ajattele Newtonin mekaniikkaa, Maxwellin yhtälöitä ja erityisrelatiiviteettiteoriaa).

Kuitenkin, kuten aiemmissa artikkeleissamme on näytetty, vuosituhannen vaihteen kokeelliset tulokset eivät olleet kovin loistavia verrattuna silloiseen tunnettuihin fysiikan tietoihin. Artikkelimme kaksireikäiskoe ja jossain määrin valofotoneffekti olivat kokeellisia tuloksia, jotka eivät soveltuneet hyvin silloiseen ymmärrykseen.

Miksi? Yksinkertaisesti sanottuna klassisessa fysiikassa on olemassa kaksi entiteettiä, hiukkaset ja aallot. Molempien näiden entiteettien ominaisuudet voidaan kuvata seuraavasti:

Hiukkaset: paikallistuneet energiapaketit ja liikemäärä massa $m$ .

Aallot: häiriöt, jotka levittävät itsensä avaruudessa ja kulkevat ajan myötä. Ne voidaan kuvata aallonfunktiolla $\psi(\vec{r}, t)$ joka kuvaa aaltoa avaruudessa ja ajassa.

Tämä vie meidät yllättäviin tuloksiin, joita löysimme artikkelistamme Valofotonipäästö. Löysimme, että elektroni näyttää molemmissa näissä ominaisuuksissa. Tämä on täysin ristiriidassa silloisen ymmärryksen kanssa, sillä molemmat entiteetit pidettiin keskenään poissulkevina.

Hirveä, eikö? Tällä hetkellä fysiikan vaikutusvaltaiset henkilöt alkoivat huomata, että oli tiedon puute, ja iso läpimurto tapahtui, kun Louis de Broglie yhdisti liikemäärän (hiukkaselle) aallonpituuteen (aaltoille) kaavalla

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Myös Valosähköinen emissio kertoo, että fotonien (jotka ovat edelleen epävarmoja sivumaista tai aaltoista) energia absorptio ja emissio on annettu

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Missä $\hbar = h/2\pi$ ja $\omega=2\pi f$ . Olemme nyt samalla vaiheessa kuin Schrödinger oli ennen kuin johdatti hänen kuuluisan yhtälönsä. Mutta mistä aloitamme? Tiedämme, että elektronit ja fotonit näyttävät aalto- ja sivumaista käyttäytymistä. Ei olisi mitään vikaa aloittaa yleisellä yhtälöllä, jota kaikki aallot pitäisi noudattaa, ja sitten lisätä siihen hiukkasfysiikkaa nähdäksemme, tuleeko siitä jotain.

Aallon yhtälön johdanto

Häiriö $\psi(\vec{r}, t)$ noudattaa aallon yhtälöä. Muistetaan, että elektroni näyttää aalto-ominaisuuksia ja sillä on sähkömagneettinen lataus. Joten tarkastelemme nyt vain sähkömagneettisia kenttiä. Tässä skenaariossa sovelletaan Maxwellin yhtälöitä, ja tässä ne ovat kaikessa niiden ihannassa:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Missä $c$ on valon nopeus tyhjiössä, $\vec{E}$ on sähkökenttä ja $\vec{B}$ on magneettikenttä. Yllä oleva ensimmäinen yhtälö on sähkögeneraattoreiden, induktiivisten komponenttien ja muuntajien perusta ja se on Faradayn lain ilmentymä.

Lisäksi yhden seurauksen $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ yhtälöstä on, että magneettimonaopoleja ei ole olemassa. Nämä yhtälöt ja niiden fysikaalinen merkitys ovat tärkeitä insinöörin osaamisen kannalta. Nyt johdamme yhtälön, jota kaikki sähkömagneettiset aallot noudattavat, soveltaen kierrelmiä yhtälölle 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nyt voimme käyttää hyvin tuttua (ja helposti todistettavaa) vektoriidentiteettiä: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ , missä $T$ on jokin paikkamerkki vektori. Sovelletaan tätä nyt yhtälöömme:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Tässä saamamme tulos on sähkömagneettinen aaltoyhtälö kolmiulotteisessa tilassa. Tämä yhtälö ilmenee ei vain sähkömagneettisissa aalloissa – se on myös havaittu akustiikassa, maanjäristysaalloissa, ääniaalloissa, vesi-aalloissa ja nesteen dynamiikassa.

Kuinka johtaa Schrödingerin yhtälö

Tason aallosratkaisut aaltoyhtälölle

Aloitetaan yksiulotteisen aaltoyhtälön avulla (on todella helppoa yleistää kolmeulotteiseen, koska logiikka pätee kaikkiin $x, y$ , ja $z$ ulottuvuuksiin.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Tämä on itse asiassa toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka toteutuu tason aallosratkaisuilla:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (tarkista tämä itsellesi!). } \end{equation*}$

Tiedämme tavallisesta aaltofysiikasta, että $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ja $\omega = 2 \pi f$ . Nyt käytetään Einsteiniin ja Comptoniin perustuvaa työtä ja sijoitetaan se, että fotonin energia on $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ja de-Broglie:n mukaan $p = h / \lambda = \hbar k$ . Voimme edelleen muokata tason aaltoa ratkaisua:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Tämä on tasoaaltoyhtälö, joka kuvaa fotonia. Sijoitetaan tämä yhtälö aaltoyhtälöömme ja katsotaan, mitä löydämme!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Toisin sanoen, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ mikä on hyvä, koska tiedämme erityisrelatiivisuusteoriasta, että kokonaisenergia massalliselle relatiivistiselle osalle on:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Ja olemme tähän mennessä käsitelleet vain fotonia, jolla ei ole massa $(m=0)$ ! Joten laajennetaan ymmärrystämme ja sovelletaan kokonaisrelatiivistista energiaa massalliselle osalle (kuten elektronille esimerkiksi) ja muutetaan yhtälömme nimi $\Psi$ , koska olemme maailmanluojia.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Tämä yhtälö tuli suoraan sijoittamalla fotoniin liittyvä tasavirtayhtälö aaltoyhtälöön. Kuitenkin, koska haluamme nyt ratkaista kokonaisrelatiivistisen energian massalliselle osalle, meidän täytyy muuttaa aaltoyhtälö hieman. Tämä johtuu siitä, että aaltoyhtälö ei pitäisi täysin soveltuu uuteen $\Psi$ , joka kuvaa sekä osia että aaltoja. Voimme nyt ratkaista takaperin operaattorin saadaksemme yllä olevan yhtälön, ja se on:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Aaltoyhtälössä massan sisältävien hiukkasten ratkaiseminen

Nyt haluamme tehdä muutamia approksimaatioita kuvauksesta, joka koskee täysin energiaa, jonka juuri kuvailimme $\mathsf{E}$ liikemäärällä ja massalla olevalle hiukkaselle. Järjestelemme kaavan hieman uudelleen, jotta voimme käyttää joitakin approksimaatioita.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Koko tämän manipulaation tarkoituksena on saada yhtälö muotoon $\sqrt{1 + x}$ sillä jos otamme Taylorin sarjakehitelmän tästä yhtälöstä, saamme:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kun $x$ on pieni, Taylorin sarjassa jää vain $O(1)$ termi. Energiakaavassamme $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Voimme hyödyntää sitä, että $p = mv \ll mc$ kaikilla asioilla, jotka eivät liiku valon nopeudella (kerro, jos löydät jotain, joka ei täytä tätä ehtoa)! Joten tämä termi vähenee itse asiassa seuraavaan muotoon:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Miten

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

On normaali kinettinen energia, jonka näemme lukion fysiikasta. Palataan nyt aiemmin esitettyyn aaltofunktioon, syötetään tähän uusi informaatio ja katsotaan, mihin päädytään:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Syy siihen, miksi olemme nyt erottaneet nämä kaksi termiä, on se, että ensimmäinen termi $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (jälleen valon nopeuden perusteella) on huomattavasti heilahtavampi kuin toinen termi eikä välttämättä kuvaa sitä hiukkas-aalto-entiteettiä, jota me pyrimme kuvaamaan. Jotta tämä ero tulee selkeäksi, asetetaan nyt, että:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Määrittelemme nyt:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Otetaan nyt ensimmäinen ja toinen osittaisderivaatta $\Psi(\vec{r},t)$ :stä ja näemme, mihin päädytään. Ensimmäinen:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ja toinen:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Meidän pitäisi muistaa, että viimeinen termi toisella osittaisderivatiolla on hyvin pieni, koska siinä ei ole $c^2$ -termiä, joka kantaa suuruusluokan, ja siksi likimääräisesti toinen derivointi on:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Syynä siihen, miksi otimme nämä kaksi osittaisderivattia, oli se, että voimme imputoida ne tähän aikaisemmin esitettyyn yhtälöön, joka kuvaa aaltofunktiota:

Mutta ennen kuin voimme tehdä sen, järjestellään tämä kaava, ja pääsemme yhtälöön, jota kutsutaan Klein-Gordonin yhtälöksi:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nyt voimme helposti yleistää tämän kolmiulotteiseksi muuttamalla tämän yhtälön vektoryhtälöksi (kaikki askeleet, joita otimme tämän kaavan johdossa, pätevät kaikille $x,y$ ja $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Tämä yhtälö tunnetaan Klein-Gordonin yhtälönä vapaille hiukkaselle. Tämä yhtälö on suhteellinen, sillä sen energia termi ei tee oletuksia, jotka teimme pienellä $\sqrt{1+x}$ Taylorin sarjakehitelmällä.

Yksinkertaistetaan nyt Klein-Gordonin yhtälö (palataan yksiulotteiseen ja sovelletaan uutta energiamme kaavaa) ja pääsemme pitkästi odotettuun Schrödingerin yhtälöön:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Sijoitetaan nyt uusi aallonfunktio, joka on $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , missä tiedämme, mitä ajan ensimmäisestä ja toisesta derivaattaa näyttää:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nyt kaikki, mitä meidän täytyy tehdä, on yksinkertainen uudelleenjärjestely saadaksemme Schrödingerin yhtälön kolmiulotteisessa muodossa (huomaa, että $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Voidaan väittää, että oikean puolen termi kuvaa aallonfunktion kokonaista energiaa huomioiden klassisen Hamiltonin samankaltaisuuden.

Johdannossamme oletimme, että $V(\vec{r},t)$ on 0 ja otimme huomioon vain liikemeenenergian. Tiedämme, että potentiaali on pelkästään additiivinen sen paikallisten vaihtelujen suhteen, joten täysi Schrödingerin yhtälö kolmiulotteisessa muodossa potentiaalilla on:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Tässä se on! Olemme johdanneet täysin Schrödingerin yhtälön ei-relativistiselle hiukkaselle kolmiulotteisessa muodossa. Jos sinulla oli mieli näiden postauksen ja haluat nähdä enemmän sellaisia, ole hyvä ja lähetä meille sähköpostia tiedoksi.

Viitteet

Gasiorowicz, S. (2019). Kvanttifysiikka. 2. laitos. Kanada: Hamilton Printing, sivut 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvanttifysiikka. 3. laitos. Yliopiston painatuskeskus, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. ja Volkmer, S. (2019). Miten johtaa Schrödingerin yhtälö. [online] arXiv.org. Saatavilla osoitteessa: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Viitattu 29. toukokuuta 2019].
Shankar, R. (1980). Kvanttifysiikan periaatteet. 1. laitos. New York: Springer Science, sivut 1-40.

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyviä artikkeleita on jaettava, jos on oikeudellista rikkomusta ole yhteydessä poistamiseksi.

Anna palkinto ja kannusta kirjoittajaa

Aiheet:

Fysiikkaartikkelit

Kvanttitieteen perusteet

Asiasta asiantuntijat

Electrical4u

China

Asiantuntemusala

Basic Electrical

Ammatillinen artikkeli

607