Równanie falowe Schrödingera: wyprowadzenie i wyjaśnienie

Electrical4u

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Czym jest równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera (znane również jako funkcja falowa Schrödingera) to równanie różniczkowe cząstkowe, które opisuje dynamikę układów kwantowych za pomocą funkcji falowej. Trajektoria, położenie i energia tych układów mogą być otrzymane poprzez rozwiązanie równania Schrödingera.

Wszystkie informacje dotyczące podcząsteczkowego cząsteczki są zakodowane w funkcji falowej. Funkcja falowa spełnia i może być rozwiązana za pomocą równania Schrödingera. Równanie Schrödingera to jeden z podstawowych aksjomatów wprowadzanych na studiach fizycznych. Staje się coraz bardziej powszechnym, aby znaleźć równanie Schrödingera w programie inżynierii elektrycznej na uniwersytetach, ponieważ stosuje się je do półprzewodników.

Niestety, zarówno w fizyce kwantowej, jak i w inżynierii elektrycznej, jest ono tylko postulowane i nigdy nie jest w żaden znaczący sposób wyprowadzone. Jest to dość niezadowalające, ponieważ prawie wszystko, co jest nauczane na studiach fizycznych, opiera się na tym fundamentum. W tym artykule wyprowadzimy to równanie od podstaw, a ja postaram się pokazać każdy krok, który zostanie wykonany.

Interesujące, że argumenty, które przedstawimy, są takie same, jakie przedstawił sam Schrödinger, dzięki czemu można zobaczyć, jak myślał ten gigant w swoich czasach. Przypomnijmy, oto zależne od czasu równanie Schrödingera w trzech wymiarach (dla niesprężystej cząstki) we wszystkiej swojej piękności:

Fizyka kwantowa i fale

Wszyscy lubią krytykować klasyczną fizykę – ale służyła nam całkiem dobrze przez długi czas (myśląc o mechanice Newtona, równaniach Maxwella i szczególnej teorii względności).

Jednak, jak pokazaliśmy w naszych wcześniejszych artykułach, wyniki eksperymentalne na przełomie wieku nie wyglądały zbyt imponująco w porównaniu do znanej fizyki tamtych czasów. Nasze artykuły o eksperymencie z dwiema szczelinami i w pewnym stopniu efekt fotoelektryczny to wyniki eksperymentów, które nie pasowały dobrze do ówczesnego zrozumienia.

Ale dlaczego? Aby to wyjaśnić, w klasycznej fizyce istnieją dwie jednostki, cząstki i fale. Cechy obu tych jednostek można opisać następująco:

Cząstki: lokalizowane pędy energii i pędu z masą $m$ .

Fale: zaburzenia rozprzestrzenione w przestrzeni, podróżujące w czasie. Mogą być opisane funkcją falową $\psi(\vec{r}, t)$ opisującą falę w przestrzeni i czasie.

To prowadzi nas do zaskakujących wyników uzyskanych w naszym artykule o emisji fotoelektrycznej. Znaleźliśmy, że elektron wykazuje obie te właściwości. To całkowicie przeciwstawia się ówczesnemu zrozumieniu, ponieważ te dwie jednostki były uznawane za wzajemnie wykluczające.

Szalone, prawda? W tym czasie niektóre naprawdę wpływowe postacie w fizyce zaczęły zdawać sobie sprawę, że istnieje luka w wiedzy, a duży przełom nastąpił, gdy Louis de Broglie skojarzył pęd (dla cząstki) z długością fali (dla fal) daną przez

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ponadto z Emissji fotoelektrycznej wiemy, że energia absorbowana i emitowana przez fotony (wciąż niepewne, czy cząsteczka, czy fala) jest dana przez

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Gdzie $\hbar = h/2\pi$ oraz $\omega=2\pi f$ . Jesteśmy teraz w tym samym etapie, co Schrödinger przed wyprowadzeniem swojego słynnego równania. Ale od czego zacząć? Wiemy, że elektrony i fotony wykazują zachowanie falowe i korpuskularne. Nie byłoby niczego złego w rozpoczęciu od uniwersalnego równania, które powinny spełniać wszystkie fale, a następnie wprowadzeniu fizyki cząsteczkowej, aby zobaczyć, czy otrzymamy wynik.

Jak wyprowadzić równanie falowe

Zaburzenie $\psi(\vec{r}, t)$ spełnia równanie falowe. Pamiętajmy, że elektron wykazuje zachowanie falowe i ma ładunek elektromagnetyczny. Dlatego, na razie, spójrzmy tylko na pola elektromagnetyczne. W tym scenariuszu stosują się równania Maxwella, oto one we wszystkiej ich chwale:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Gdzie $c$ to prędkość światła w próżni, $\vec{E}$ to pole elektryczne, a $\vec{B}$ to pole magnetyczne. Pierwsze równanie powyżej jest podstawą generatorów elektrycznych, cewek i transformatorów oraz jest wcieleniem prawa Faradaya.

Ponadto, jednym z wniosków wynikających z $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ jest to, że nie istnieją monopole magnetyczne. Zrozumienie pochodzenia tych równań i fizycznego znaczenia stojącego za nimi sprawia, że inżynier jest dobrze wykształcony. Teraz, wywodząc równanie, które musi spełniać każda fala elektromagnetyczna, zastosujmy rotację do równania 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Teraz możemy wykorzystać bardzo dobrze znane (i łatwo dowodzone) tożsamości wektorowe: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ gdzie $T$ to pewien wektor zastępczy. Stosując to do naszego małego równania:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Wynik, który otrzymujemy, to równanie falowe elektromagnetyczne w trzech wymiarach. To równanie manifestuje się nie tylko w fali elektromagnetycznej – ale również w akustyce, falach sejsmicznych, dźwiękowych, wodnych i dynamice płynów.

Jak wyprowadzić równanie Schrödingera

Rozwiązania fal płaskich dla równania falowego

Zaczynamy od równania falowego dla jednego wymiaru (jest naprawdę łatwo uogólnić je na trzy wymiary, ponieważ logika będzie stosowana we wszystkich wymiarach $x, y$ , i $z$ wymiarach.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

To jest, w rzeczywistości, równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu i jest spełnione przez rozwiązania fal płaskich:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (sprawdź to sam!). } \end{equation*}$

Wiemy z normalnej mechaniki falowej, że $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ oraz $\omega = 2 \pi f$ . Teraz wykorzystajmy pracę Einsteina i Comptona, podstawiając fakt, że energia fotona jest dana przez $\mathsf{E} = \hbar \omega$ oraz z de-Broglie, że $p = h / \lambda = \hbar k$ . Możemy dalej przekształcać nasze rozwiązanie fali płaskiej do:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

To jest równanie fali płaskiej opisujące foton. Podstawmy to równanie do naszego równania falowego i zobaczmy, co otrzymamy!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Innymi słowy, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ co jest wspaniałe, ponieważ wiemy z szczególnej teorii względności, że całkowita energia dla cząstki relatywistycznej o masie $m$ wynosi:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Dotychczas zajmowaliśmy się tylko fotonem, który nie ma masy $(m=0)$ ! Rozszerzmy nasze zrozumienie i zastosujmy całkowitą energię relatywistyczną dla cząstki o masie (np. elektron) i zmieńmy nazwę naszego równania na $\Psi$ ponieważ jesteśmy klasa.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

To równanie pochodzi bezpośrednio z podstawienia równania falowego dla fotona do równania falowego. Jednak, ponieważ teraz chcemy rozwiązać całkowitą energię relatywistyczną dla cząstki o masie, musimy nieco zmienić równanie falowe. Wynika to z tego, że równanie falowe nie powinno w pełni stosować się do naszego nowego $\Psi$ opisującego cząstki i fale. Możemy teraz wyliczyć operator, aby otrzymać powyższe równanie, i jest on dany przez:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Rozwiązanie dla cząstek o masie w równaniu falowym

Chcemy teraz wprowadzić kilka uproszczeń do pełnej energii, którą właśnie opisaliśmy za pomocą $\mathsf{E}$ dla cząstki o pędu i masie. Przekształćmy nieco wzór, aby móc użyć pewnych uproszczeń.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Celem tego przekształcenia jest uzyskanie równania w postaci $\sqrt{1 + x}$ ponieważ jeśli weźmiemy rozwinięcie szeregu Taylora tego równania, otrzymujemy:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Gdy $x$ jest małe, jedyną częścią, która pozostaje w rozwinięciu Taylora, jest wyraz $O(1)$ . W naszej formule energetycznej, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Możemy skorzystać z faktu, że $p = mv \ll mc$ dla wszystkiego, co nie porusza się z prędkością światła (proszę mnie znaleźć, jeśli znajdziesz coś, co nie spełnia tego)! Więc ten wyraz rzeczywiście redukuje się do:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Gdzie

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Jest to normalna energia kinetyczna, którą poznajemy z fizyki licealnej. Teraz wróćmy do funkcji falowej z poprzedniego rozdziału, wprowadźmy te nowe informacje i zobaczmy, do czego dochodzimy:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Powód, dla którego podzieliliśmy teraz te dwa terminy, polega na tym, że pierwszy termin $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (ponownie oparty na prędkości światła) będzie znacznie bardziej oscylacyjny niż drugi termin i niekoniecznie opisuje cząsteczkowo-falowe zjawisko, które szukamy. Aby wzmocnić tę różnicę, ustalmy teraz, że:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Gdzie teraz zdefiniowaliśmy:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Obliczmy teraz pierwszą i drugą pochodną cząstkową $\Psi(\vec{r},t)$ i zobaczmy, co otrzymamy. Pierwsza:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

a druga:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Powinniśmy pamiętać, że ostatni wyraz z drugą pochodną cząstkową jest stosunkowo mały, ponieważ nie ma wyrazu zawierającego $c^2$ o rzędzie wielkości, i dlatego przybliżenie drugiej pochodnej daje:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Podstępny powód, dla którego wzięliśmy te dwie pochodne cząstkowe, polega na tym, że mogliśmy je wprowadzić do tego równania opisującego funkcję falową wcześniej:

Ale zanim to zrobimy, przekształćmy to równanie i otrzymamy równanie znane jako równanie Kleina-Gordona:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Teraz możemy łatwo uogólnić to na trzy wymiary, przekształcając to równanie w równanie wektorowe (wszystkie kroki, które podjęliśmy, aby wyprowadzić tę formułę, będą stosowane dla wszystkich $x,y$ , i $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

To równanie jest znane jako równanie Kleina-Gordona dla swobodnej cząstki. To równanie jest relatywistyczne, ponieważ jego wyraz energii nie robi założeń, które zrobiliśmy przy małym rozszerzeniu Taylora $\sqrt{1+x}$ .

Teraz uprośćmy równanie Kleina-Gordona (powracając do jednowymiarowego i stosując naszą nową formułę energii) i otrzymamy długookresowo oczekiwane równanie Schrödingera:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Wprowadźmy naszą nową funkcję falową daną przez $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ gdzie wiemy, jak wygląda pierwsza i druga pochodna względem czasu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Teraz wszystko, co musimy zrobić, to proste przestawienie, aby otrzymać równanie Schrödingera w trzech wymiarach (zauważ, że $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Argument można przedstawić, zauważając podobieństwo do klasycznego hamiltonianu, że wyraz po prawej stronie równania opisuje całkowitą energię funkcji falowej.

W naszym wyprowadzeniu założyliśmy, że $V(\vec{r},t)$ wynosi 0 i uwzględniono tylko energię kinetyczną. Wiemy, że potencjał jest czysto addytywny ze względu na jego zmiany przestrzenne, dlatego pełny wzór Schrödingera w trzech wymiarach z potencjałem ma postać:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

To wszystko! Wyprowadziliśmy pełne równanie Schrödingera dla niezależnej od prędkości cząstki w trzech wymiarach. Jeśli spodobał Ci się ten artykuł i chciałbyś zobaczyć więcej takich, prosimy o wysłanie nam wiadomości e-mail, aby nam o tym powiedzieć.

Przypisy

Gasiorowicz, S. (2019). Fizyka kwantowa. 2 wyd. Kanada: Hamilton Printing, s. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Fizyka kwantowa. 3 wyd. Wydawnictwo Uniwersyteckie, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. i Volkmer, S. (2019). Jak wyprowadzić równanie Schrödingera. [online] arXiv.org. Dostępne na: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Ostatnio sprawdzone 29 maja 2019].
Shankar, R. (1980).Zasady mechaniki kwantowej. 1 wyd. Nowy Jork: Springer Science, s. 1-40.

Oświadczenie: Szacunek oraz udział w dzieleniu się dobrymi artykułami, jesli doszło do naruszenia praw autorskich prosimy o kontakt z celem usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Artykuły z dziedziny fizyki

Teoria kwantowa

O ekspertach

Electrical4u

China