Schrödinger Tarmoq Tenglamasi: Etyorlanishi & Tushuntirilishi

Electrical4u

Maydon: Elektr tushunchalari

China

Schrödinger tenglamasi nima?

Schrödinger tenglamasi (yoki Schrödinger to‘g‘ri chiziqli tenglamasi) bu to‘g‘ri chiziqli differensial tenglama, uning yordamida kvant mexanik sistemalarning dinamikasi to‘g‘ri chiziq bilan ifodalash mumkin. Bu sistemalarning trajektoriyasi, joylashishi va energiyasi Schrödinger tenglamasini hal qilish orqali aniqlanadi.

Subatomli zarrachalar haqida barcha ma'lumot to‘g‘ri chiziqli funksiyada kodlangan. To‘g‘ri chiziqli funksiya Schrödinger tenglamasiga mos keladi va uni yechish orqali topilishi mumkin. Schrödinger tenglamasi talabalarni fizika kursida tanishtiriladigan asosiy aksiomlardan biridir. Uning elektr texnikasida ham ko'proq tarzda o'quv dasturiga kirishga ega bo'lganligi aniq, chunki u poluprovodniklarga qo'llaniladi.

Afsuski, ikkita holatda ham shu tenglama faqat postulat sifatida taqdim etiladi va hech qanday muhim usulda isbotlanmagan. Bu juda noqoldir, chunki talabalarni kvant mexanikasini o'rgatishda boshqa hamma narsa bu asosga qurilgan. Bu maqolada biz tenglamani nolidan ishlab chiqamiz va men har bir qadamni ko'rsatishga urinib ko'raman.

Qiziqarli darajada, biz qiladigan argumentlar Schrödinger o'zining qilganlari bilan bir xil, shuning uchun siz uning davrining katta olimi qanday fikrlashini ko'rishingiz mumkin. Xatirlatish maqsadida, quyidagi Schrödinger tenglamasi 3 o'lchovda (relativistik emas zarracha uchun) vaqtga bog'liq varianti:

Kvant mexanikasi va to‘g‘ri chiziq

Har biri klassik fizikani narazilaydi – lekin u bizga yetarli muddat xizmat qildi (Newton mekanikasi, Maxwell tenglamalari va maxsus nisbiylikni eshitish).

Ammoqda, bizning avvalgi maqolalarimizda ko'rsatilganidek, o'rtacha asr boshida olingan amaliy natijalar, davrining bilinadigan fizikasi bilan solishtirilganda juda kam ko'rinadi. Bizning ikki delik tajribasi va qandaydir darajada fotoelektrik effekt bo'yicha amaliy natijalar, davrning bilinadigan tushunchalari bilan yaxshi mos kelmagan.

Lekin nima uchun? Qisqacha aytganda, klassik fizikada ikki entitet mavjud, jismlar va to'qinalar. Ushbu ikkita entitetning xususiyatlari quyidagicha ifodalash mumkin:

Jismlar: energiya va impuls bilan cheklangan, massaga ega bo'lgan paketlar $m$ .

To'qinalar: maydonni va vaqt ostida yoyilgan aralashmalar. Ular to'qin funksiyasi orqali ifodalash mumkin $\psi(\vec{r}, t)$ bu to'qin maydon va vaqt bo'yicha ifodalangan.

Bu bizning Fotoelektrik ixtiro maqolasida topilgan g'ildirroq natijalarga olib keladi. Elektron ikkala xususiyatni ham ko'rsatishini aniqlab oldik. Bu davrning bilinadigan tushunchalari bilan butunlay zid, chunki bu ikkita entitet bir-biriga muvozanatsiz hisoblanardi.

G'ildirroyevchi emasmi? Bu paytda, fizikadagi ba'zi ta'sirli shaxslar, bilimda bo'sh joy mavjudligini aniqlovchilar, Louis de Broglie partikladan (jismlar uchun) impulsni to'qin uzunligiga (to'qinlar uchun) bog'lashda katta qadam qiladi, bu ifodalanishi mumkin

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ayniqsa, Photoelectric Emission dan bilamizki, fotonlar (hali yetarli ravishda parvoz yoki toqmoq ekanligi aniqlanmagan) energiyasini quyidagicha ifodalash mumkin:

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Bu yerda $\hbar = h/2\pi$ va $\omega=2\pi f$ . Biz endi Schrödingerning mashhur tenglamasini o'rganishdan oldin bo'lgan qadamda. Lekin qayerdan boshlashimiz kerak? Elektronlar va fotonlar toqmoq va parvoz xususiyatlari ko'rsatayotgan. Barcha toqmoqlar uchun umumiy tenglama bilan boshlashda hech qanday xato yo'q, so'ngra parvoz fizikasini qo'shib, natijani tekshirish mumkin.

Toqmoq tenglamasi qanday hosil qilinadi

Chegaralangan $\psi(\vec{r}, t)$ toqmoq tenglamasiga rioya qiladi. Esda tuting, elektron toqmoq xususiyatlarini ko'rsatadi va elektromagnit zaryadga ega. Shuning uchun, hozirgi paytda faqat elektromagnit maydonlarni ko'rib chiqaylik. Bu holatda, Maxwell tenglamalari amal qiladi va ular quyidagilardan iborat:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Bu yerda $c$ bo'shliqda yorug' tezligi, $\vec{E}$ elektr maydoni va $\vec{B}$ magnit maydoni. Yuqorida keltirilgan birinchi tenglama elektr generatorlari, induktorlar va transformatorlar asosiga qo'yiladi va Faraday qonuni hisoblanadi.

Shundan tashqari, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ tenglamadan kelib chiqqan natijalardan biri - hech qanday magnit monopollar mavjud emas. Bu tenglamalarining ishlov berishini tushunish va ularning fizikaviy ma'nosi orqali muvaffaqiyatli inzhener bo'lish mumkin. Endi, 4-tenglamaga curl qo'llaymiz:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Endi, juda tanish (va oson isbotlanadigan) vektor identifikatsiyasidan foydalanamiz: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ bu yerda $T$ ba'zi o'rnini boshlash uchun vektor. Ushbu tenglamaga endi qo'llaymiz:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Bu yerda bizda 3-o'lchamli elektromagnit to'q qo'shilishi tenglamasi bo'lgan. Bu tenglama faqat elektromagnit to'q qo'shilishida emas, balki akustikada, zilzila to'q qo'shilishida, ovoz to'q qo'shilishida, suv to'q qo'shilishida va suyuqlik dinamikasida ham ko'rinadi.

Shrödinger tenglamasini qanday hosil qilish

To'q qo'shilishi tenglamasi uchun tekis to'q echimlari

Bir o'lchamdagi to'q qo'shilishi tenglamasi bilan boshlaymiz (keyin 3 o'lchamga umumlashtirish juda oson, chunki logika har bir $x, y$ , va $z$ o'lchamlarda ham amal qiladi):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Bu aslida ikkinchi darajali qismiy differensial tenglama bo'lib, uni tekis to'q echimlari qanoatlantiradi:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (shu echimni o'zingiz tekshiring!). } \end{equation*}$

Normal tomoniy mexanikadan bilamizki, $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ va $\omega = 2 \pi f$ . Endi, Einstein va Compton ishlaridan foydalanib, foton energiyasining quyidagi formulaga ega ekanligini qo'yaymiz: $\mathsf{E} = \hbar \omega$ va de-Broglie formulasi bo'lgan holda $p = h / \lambda = \hbar k$ . Plane wave yechimimizni quyidagicha o'zgartirishimiz mumkin:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Bu fotonni tasvirlovchi plane wave tenglamasi. Bu tenglamani wave tenglamamizga qo'yib, nimalarni topishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Boshqacha qilib aytganda, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ bu juda yaxshi, chunki biz maxsus nisbiylikdan bilamizki, massasi bo'lgan relativistik zarrachaning umumiy energiyasi quyidagicha hisoblanadi: $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Hozirgi paytda biz faqat fotondan sohbat qilmoqda, uning massasi yo'q $(m=0)$ ! Shunda tushunchamizni kengaytiramiz va massasi bo'lgan zarrachaning (masalan elektron) umumiy relativistik energiyasini qo'llaymiz va tenglamamizning nomini o'zgartiramiz: $\Psi$ chunki biz ballerlariz.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Bu tenglama to'g'ridan-to'g'ri fotoning tekis tolangan maydon tenglamasini tolangan maydon tenglamasiga qo'yib olgan holda hosil bo'lgan. Amma hozir biz umumiy relativistik energiyani massasi bo'lgan zarrachalarni hisoblash uchun, tolangan maydon tenglamasini bir oz o'zgartirishimiz kerak. Bu sababli tolangan maydon tenglamasi bizning yangi $\Psi$ ga to'liq qo'llanilmaydi, bu esa zarrachalar va tolangan maydonlarni ifodalaydi. Endi biz yuqorida berilgan tenglamani orqali operatorni aniqlashimiz mumkin, va u quyidagicha beriladi:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Massali bo'lgan zarrachalarni to'g'ri qilish tebranish tenglamasida

Endi bu erda, $\mathsf{E}$ moment va massaga ega bo'lgan zarracha uchun to'liq energiya haqida quyidagi qisqacha hisob-kitoblarni amalga oshiramiz. Formulani bir oz o'zgartirib, ba'zi taqribiy qiymatlarni ishlatishimiz mumkin.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Bu manipulyatsiya asosan tenglamani $\sqrt{1 + x}$ shaklida ko'rsatish uchun amalga oshiriladi, chunki agar biz ushbu tenglamani Taylor seriyasi orqali kengaytirsak, quyidagicha natija olamiz:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Agar $x$ kichik bo'lsa, Taylor qirishmasida faqat $O(1)$ qismi qoladi. Energiya formulamizda, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Biz $p = mv \ll mc$ deb olib borishimiz mumkin, chunki bu quyidagi shartni qanoatlantiradi (agar siz bu shartni qanoatlantiradigan narsani topgan bo'lsangiz, meni toping!): Demak, bu qism quyidagicha qisqaradi:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Bu yerda

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Bu bizning o'rta maktab fizikasidan tanish kinetic energiyadir. Endi avvalgi to'g'ri funksiyaga qaytib, hozirgi yangi ma'lumotlarni kiritsak, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ikki so'zni ajratish sababi, birinchi so'z $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (yana nurlanish tezligiga asoslanadi) ikkinchi so'zdan aniq oshib boradi va biz izlayotgan zarrachalari-tayanchlarni to'liq tasvirlay olmaydi. Shuning uchun bu farqni mustahkamlash uchun quyidagicha belgilaymiz:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Endi quyidagilarni aniqlaymiz:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Endi $\Psi(\vec{r},t)$ ning birinchi va ikkinchi qismiy hosilalarini olib, natijani ko'rib chiqaylik. Birinchi:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

va ikkinchi:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Yodda ikkinchi to'g'ri hisoblanadigan hosilani olib borish uchun ikkinchi qismi juda kichik, chunki $c^2$ darajada bo'lgan qism yo'q, shuning uchun taqribiy hisobga olish orqali, asl ikkinchi hosila quyidagicha ifodalangan:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Bu ikkita ikkinchi hosilalarni olishning yomon sababi bu tenglamaga ularni kiritingan holda oldindan berilgan to'g'ri funksiyani tavsiflash uchun edi:

Lekin bu ishni bajarishdan oldin, ushbu formulani qayta tartiblab, Klein-Gordon tenglamasiga erishamiz:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Endi bu tenglamani 3 o'lchovga olib kela olamiz, undan vektorli tenglama qilish orqali (bu formulani hosil qilish uchun qilgan barcha qadamlar $x,y$ va $z$ bo'lgan uchun ham ishlaydi.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Bu tenglama beproq zarrachaning Klein-Gordon tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama nisbiylik asosida yaratilgan, chunki uning energiya qismi biz $\sqrt{1+x}$ Taylor rivojlanishi bilan qilgan farazlarni qo'llaydi.

Endi, Klein-Gordon tenglamasini soddalashtiramiz (orqaga 1 o'lchovga qaytib, yangi energiya formulamizni qo'llaymiz) va kutib olingan Schrödinger tenglamasiga erishamiz:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Yangi to'g'ri harakat funksiyamizni $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ berilgan holda, vaqt bo'yicha birinchi va ikkinchi hosilalarini bilamiz:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Endi hamma qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu oddiy tartiblashdan iborat bo'lib, uch o'lchovdagi Shrödinger tenglamasini olish (eshitishki $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Bu yerda, klassik Hamiltonianing oxshashligini e'tiborga olgan holda, tenglikning o'ng tomondagi qismi talqin funksiyasining umumiy energiyasini ta'riflaydi.

Bizning hisob-kitobimizda, $V(\vec{r},t)$ 0 ga teng bo'lgani va faqat kinetik energiya hisobga olingan deb faraz qilgandik. Biz bilamizki, potensial faqat joyli variatsiyalarga nisbatan yig'iladi va shuning uchun, uch o'lchovdagi potensial bilan Shrödinger tenglamasi quyidagicha beriladi:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Bu hammasi! Bu maqola, uch o'lchovdagi relativistik emas zarrachaning to'liq Shrödinger tenglamasini hosil qildi. Agar siz ushbu postni yoqtirsangiz va bunga o'xshash ko'proq maqolalar ko'rmokchi bo'lsangiz, iltimos, bizga xabar yuboring.

Manbalar

Gasiorowicz, S. (2019). Kvant mexanikasi. 2-chi qism. Kanada: Hamilton Printing, bet.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvant mexanikasi. 3-chi qism. Universitet Boshqaruv Huzuri, Kembridzh: Kembridzh Universiteti Nashriyoti.
Ward, D. va Volkmer, S. (2019). Shrodingerning tenglamasini qanday hosil qilish mumkin. [onlayn] arXiv.org. Mavjud manzil: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Murojaat sanasi: 29 may 2019].
Shankar, R. (1980).Kvant mexanikasi asoslari. 1-chi qism. New York: Springer Science, bet.1-40.

Izoh: Asl matnga hurmat. Yaxshi maqolalar ulashishga xos. Agar huquqlar buzilsa, o'chirish uchun bog'laning.

Авторга сўров ва қўлланма беринг!

Мавзулар:

Fizika maqolalari

Kvant teorisi

Mutaxassislardan

Electrical4u

China