Уравнение Шрёдингера: вывод и объяснение

Electrical4u

Поле: Основы электротехники

China

Что такое уравнение Шрёдингера?

Уравнение Шрёдингера (также известное как волновое уравнение Шрёдингера) — это дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает динамику квантовых систем через волновую функцию. Траектория, положение и энергия этих систем могут быть получены путем решения уравнения Шрёдингера.

Вся информация о субатомной частице закодирована в волновой функции. Волновая функция удовлетворяет и может быть решена с помощью уравнения Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера является одним из фундаментальных аксиом, которые вводятся в курсе физики для студентов-бакалавров. Все чаще его можно встретить в учебном плане по электротехнике в университетах, так как оно применимо к полупроводникам.

К сожалению, в обоих случаях оно обычно формулируется как постулат и никогда не выводится в значимой форме. Это довольно неудовлетворительно, так как почти все остальное, что преподается в курсе квантовой физики для бакалавров, основано на этом фундаменте. В этой статье мы выведем уравнение с нуля, и я постараюсь показать каждый шаг, который будет сделан.

Интересно, что аргументы, которые мы будем использовать, такие же, как те, которые использовал сам Шрёдингер, поэтому вы сможете увидеть логику мышления великого ученого. Напомним, вот уравнение Шрёдингера, зависящее от времени, в трех измерениях (для нерелятивистской частицы) во всей своей красоте:

Квантовая физика и волны

Все любят критиковать классическую физику, но она хорошо служила нам довольно долго (подумайте о механике Ньютона, уравнениях Максвелла и специальной теории относительности).

Однако, как показано в наших предыдущих статьях, экспериментальные результаты на рубеже веков не выглядели слишком впечатляющими по сравнению с известной физикой того времени. Наши статьи о эксперименте с двумя щелями и, в некоторой степени, фотоэлектрическом эффекте являются экспериментальными результатами, которые не соответствовали известному пониманию того времени.

Но почему? Чтобы объяснить это просто, в классической физике существуют две сущности, частицы и волны. Характеристики этих двух сущностей можно описать следующим образом:

Частицы: локализованные пучки энергии и импульса с массой $m$ .

Волны: возмущения, распространенные в пространстве и во времени. Их можно описать с помощью волновой функции $\psi(\vec{r}, t)$ которая описывает волну в пространстве и времени.

Это приводит нас к удивительным результатам, найденным в нашей статье Фотоэлектрическое излучение. Мы обнаружили, что электрон демонстрирует оба этих свойства. Это полностью противоречит известному пониманию того времени, так как эти две сущности считались взаимоисключающими.

Потрясающе, правда? В это время некоторые очень влиятельные фигуры в физике начали осознавать, что существует пробел в знаниях, и большой прорыв произошел, когда Луи де Бройль связал импульс (для частицы) с длиной волны (для волн), заданный формулой

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Кроме того, из Photoelectric Emission мы знаем, что поглощение и испускание фотонов (все еще неясно, частица или волна) имеют энергию, заданную формулой

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

где $\hbar = h/2\pi$ и $\omega=2\pi f$ . Мы находимся на том же этапе, на котором находился Шредингер перед выводом своего знаменитого уравнения. Но с чего начать? Мы знаем, что электроны и фотоны проявляют волновое и корпускулярное поведение. Ничего не будет неправильного, если начать с универсального уравнения, которому должны подчиняться все волны, а затем добавить квантовую физику, чтобы посмотреть, получится ли результат.

Как вывести волновое уравнение

Волновое возмущение $\psi(\vec{r}, t)$ подчиняется волновому уравнению. Помните, что электрон проявляет волноподобное поведение и имеет электромагнитный заряд. Поэтому, для начала, рассмотрим только электромагнитные поля. В этом случае применимы уравнения Максвелла, и вот они во всем своем великолепии:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Где $c$ — это скорость света в вакууме, $\vec{E}$ — это электрическое поле, а $\vec{B}$ — это магнитное поле. Первое уравнение выше является основой для электрогенераторов, индукторов и трансформаторов и воплощает закон Фарадея.

Также, одно из следствий из $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ заключается в том, что магнитных монополей не существует. Понимание вывода этих уравнений и физического смысла за ними делает инженера всесторонне развитым. Теперь давайте выведем уравнение, которому должно подчиняться любое электромагнитное волновое возмущение, применяя ротор к уравнению 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Теперь мы можем использовать очень знакомую (и легко доказуемую) векторную тождественность: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ , где $T$ — это некоторый вектор-заполнитель. Применив это к нашему уравнению, получаем:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Результат, который мы получили, это уравнение электромагнитной волны в трех измерениях. Это уравнение проявляется не только в электромагнитных волнах, но и в акустике, сейсмических волнах, звуковых волнах, водных волнах и гидродинамике.

Как вывести уравнение Шрёдингера

Плоские волновые решения для волнового уравнения

Начнем с волнового уравнения для одного измерения (очень легко обобщить на три измерения, так как логика будет применима во всех $x, y$ , и $z$ измерениях.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

На самом деле, это дифференциальное уравнение второго порядка, которое удовлетворяется плоскими волновыми решениями:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (проверьте это самостоятельно!). } \end{equation*}$

Из обычной волновой механики мы знаем, что $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ и $\omega = 2 \pi f$ . Теперь, используя работы Эйнштейна и Комптона, подставим тот факт, что энергия фотона задается формулой $\mathsf{E} = \hbar \omega$ , а из де Бройля, что $p = h / \lambda = \hbar k$ . Мы можем дополнительно преобразовать наше решение для плоской волны следующим образом:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Это уравнение плоской волны, описывающее фотон. Давайте подставим это уравнение в наше волновое уравнение и посмотрим, что получится!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Другими словами, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ что замечательно, потому что из специальной теории относительности мы знаем, что полная энергия для релятивистской частицы с массой $m$ равна:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

И до сих пор мы имели дело только с фотоном, который не имеет массы $(m=0)$ ! Давайте расширим наше понимание и применим полную релятивистскую энергию к частице с массой (например, к электрону) и изменим название нашего уравнения на $\Psi$ , потому что мы круты.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Это уравнение было получено путем подстановки плоской волновой функции фотона в волновое уравнение. Однако, поскольку теперь мы хотим, чтобы энергия решала полную релятивистскую энергию для частицы с массой, нам нужно немного изменить волновое уравнение. Это связано с тем, что волновое уравнение не должно полностью применяться к нашему новому $\Psi$ , которое описывает частицы и волны. Теперь мы можем обратно вывести оператор, чтобы получить уравнение выше, и он задается следующим образом:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Решение для частиц с массой в волновом уравнении

Теперь мы хотим сделать несколько приближений к полной энергии, которую мы только что описали с помощью $\mathsf{E}$ для частицы с импульсом и массой. Давайте немного перестроим формулу, чтобы использовать некоторые приближения.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Вся цель этого преобразования — привести уравнение к виду $\sqrt{1 + x}$ потому что если мы возьмем разложение Тейлора этого уравнения, то получим:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Когда $x$ мало, в разложении Тейлора остается только член $O(1)$ . В нашей формуле энергии, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Мы можем воспользоваться тем, что $p = mv \ll mc$ для всего, что не движется со скоростью света (пожалуйста, найдите меня, если вы найдете что-то, что этому не удовлетворяет)! Таким образом, этот член на самом деле сводится к:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Где

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Это обычная кинетическая энергия, которую мы видим в школьной физике. Теперь вернемся к волновой функции, давайте теперь введем эту новую информацию и посмотрим, что у нас получится:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Причина, по которой мы теперь разделили эти два термина, заключается в том, что первый термин $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (опять-таки, основанный на скорости света) будет значительно более колебательным, чем второй термин, и не обязательно описывает частицу-волну, которую мы ищем. Поэтому, чтобы укрепить это различие, давайте установим, что:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Где мы теперь определили:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Теперь возьмем первую и вторую частные производные от $\Psi(\vec{r},t)$ и посмотрим, что получится. Первая:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

и вторая:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Мы должны помнить, что последний член с второй частной производной довольно мал из-за отсутствия члена, несущего порядок величины, и, следовательно, приближенно, фактическая вторая производная выражается как:

$c^2$ $\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Скрытая причина, по которой мы взяли эти две частные производные, заключалась в том, чтобы подставить их в это уравнение, описывающее волновую функцию ранее:

Но прежде чем мы это сделаем, давайте переставим формулу, и в итоге получим уравнение, называемое уравнением Клейна-Гордона:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Теперь мы можем легко обобщить это на трех измерений, превратив это уравнение в векторное уравнение (все шаги, которые мы предприняли для вывода этой формулы, применимы для всех $x,y$ , и $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Это уравнение известно как уравнение Клейна-Гордона для свободной частицы. Это уравнение релятивистское, так как его энергетический член не делает предположений, которые мы сделали с помощью малого $\sqrt{1+x}$ разложения Тейлора.

Теперь упростим уравнение Клейна-Гордона (вернувшись к одному измерению и применив нашу новую формулу энергии), и мы придем к долгожданному уравнению Шрёдингера:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Подставим нашу новую волновую функцию, заданную $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , где мы знаем, как выглядят первая и вторая производные по времени:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Теперь нам нужно просто переставить элементы, чтобы получить уравнение Шрёдингера в трех измерениях (обратите внимание, что $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Можно сделать вывод, отметив сходство классического гамильтониана, что правая часть уравнения описывает полную энергию волновой функции.

В нашем выводе мы предположили, что $V(\vec{r},t)$ равно 0, и учитывалась только кинетическая энергия. Мы знаем, что потенциал является чисто аддитивным относительно его пространственных вариаций, поэтому полное уравнение Шрёдингера в трех измерениях с потенциалом записывается следующим образом:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

На этом все! В этой статье мы вывели полное уравнение Шрёдингера для нерелятивистской частицы в трех измерениях. Если вам понравилась эта статья и вы хотите видеть больше подобных, пожалуйста, напишите нам об этом.

Ссылки

Gasiorowicz, S. (2019). Квантовая физика. 2-е изд. Канада: Hamilton Printing, с. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Квантовая физика. 3-е изд. Издательство университета, Кембридж: Cambridge University Press.
Ward, D. и Volkmer, S. (2019). Как выводить уравнение Шрёдингера. [онлайн] arXiv.org. Доступно по ссылке: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Дата доступа: 29 мая 2019 г.].
Shankar, R. (1980).Основы квантовой механики. 1-е изд. Нью-Йорк: Springer Science, с. 1-40.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы их разделяли, если имеется нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Статьи по физике

Квантовая теория

О специалистах

Electrical4u

China

Область экспертизы

Basic Electrical

Профессиональная статья

607