Schrödinger Dalğası Tənliyi: İstiqamətləndirilmə və Izah

Electrical4u

Alan: Əsas Elektrik

China

Schrödinger tənliyi nədir?

Schrödinger tənliyi (həmçinin Schrödinger dalğalı tənliyi kimi tanınır) dalğa funksiyası vasitəsilə kvant mexanik sistemlərin dinamikasını təsvir edən dəqiqliklər tənliyidir. Bu sistemlərin trajektoriyası, mövqeyi və enerjisi Schrödinger tənliyini həll edərək alınır.

Subatomik parçacığ üçün bütün məlumatlar dalga funksiyası içində şifrələnib. Dalga funksiyası Schrödinger tənliyinə uyğun olacaq və onu həll etmək olar. Schrödinger tənliyi, undergraduate fizika kursunda qoyulmuş əsas aksiomlardan biridir. Onun öyrənilməsi elektrik mühəndisliyi proqramlarında da artan şəkildə yayılmaktadır, çünki o poluprovodniklara tətbiq olunur.

Təəssüf ki, hər iki halda belə, bu tənlik sadəcə postulat kimi göstərilir və heç bir anlama gəlməz şəkildə çıxarılıb deyil. Bu, undergraduate kvant fizikada öyrənilən hər şeyin bu əsas üzərində qurulduğu baxımından çox sönük bir şeydir. Bu məqalədə, biz tənliyi sıfırdan çıxaracağıq və mümkün qədər hər addımı göstərməyə çalışacağam.

Maraqlı kimi, etdiyimiz arqumentlər Schrödingerin özü etdiyi arqumentlərlə eynidir, beləliklə, onun zamanında bir böyükün düşünüşünü görə bilərsiniz. Xatırlatmaq olaraq, burada 3 ölçülü (relativistik olmayan parçacık) zamana asılı Schrödinger tənliyi bütün güzəlliyi ilə:

Kvant Fiziki və Dalğalar

Hər kəs klassik fizikanı söyləməkdən zövq alır - amma bu bizim üçün bir müddət yaxşı xidmət etdi (Newton mexanikasını, Maksvel tənliklərini və xüsusi nisbiyyəti düşünün).

Amma, əvvəlki məqalələrimizdə göstərdiyimiz kimi, qədim fizikaya nisbətən, qərəzin sonundaki təcrübə nəticələri çox böyük bir fərq yaratmamışdı. Bizim iki dəllək təcrübəsi və bəzi dərəcədə fotoelektrik effekt haqqında məqalələrimiz, o vaxtdakı bilinən anlayışla yaxşı uyğunlaşmayan təcrübə nəticələridir.

Amma niyə? Sadəcə deyək, klassik fizikada iki varlıq mövcuddur, parçacıklar və dalğalar. Bu iki varlığın xüsusiyyətləri aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:

Parçacıklar: enerji və momentumun lokallaşmış bündülləri və kütləsi olan $m$ .

Dalğalar: zamanla hərəkət edən mekan üzərində yayılmış sarsıntılar. Onlar dalğa funksiyası ilə təsvir edilə bilərlər $\psi(\vec{r}, t)$ bu dalga funksiyası onları mekan və zamanda təsvir edir.

Bu da bizə Fotoelektrik Emissiya məqaləsində tapılan ümid keçirən nəticələrə gətirir. Elektronun bu iki xüsusiyyəti eyni anda göstərdiyini aşkar etdik. Bu, o vaxtdakı bilinən anlayışa tamamilə ziddi olaraq, iki varlığın bir-biri ilə müxtəlif sayıldığından.

Daha çox, bu vaxtda fizikanın bir neçə ciddi şəxsliyyətləri bilikdəki bu boşluqdan xəbər alaraq, Louis de Broglie parçacığın impulsunu (parçacık üçün) dalğanın dalğa uzunluğuna (dalğalar üçün) birləşdirərkən böyük bir atılış oldu

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ayrıca, Fotoelektrik Emisyon dan bilirik ki, fotonların (hala dənizik ya da dalga olduğuna qarşı şübhəliyik) enerjisi absorbsiyadan və emisyondan asılı olaraq təyin edilir

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Burada $\hbar = h/2\pi$ və $\omega=2\pi f$ . İndi biz Schrödingerin məşhur tənliyini çıxarmaqdan əvvəl olduğu eyni mərhələdəyik. Amma nərədən başlamaq lazımdır? Elə bilirik ki, elektronlar və fotonlar dalga və zərrəçələr kimi davranırlar. Bütün dalğaların ita etməli olduğu ümumi bir tənliklə başlamaq və sonra zərrə fizikasını üstə qoşmaq heç bir səhv olmaz.

Dalğa Tənliyini Çıxarmaq

Deyişiklik $\psi(\vec{r}, t)$ dalğa tənliyinə ita edir. Xatırlayın, elektronlar dalga kimi davranır və elektromaqnit induksiyası var. Bu səbəbdən, indi sadəcə elektromaqnit sahələrinə baxaq. Bu sənarioda, Maksvel tənlikləri tətbiq olunur və burada onlar bütün möhkəmliliklərlə:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Burada $c$ vakumda işığın sürətidir, $\vec{E}$ elektrik sahasıdır və $\vec{B}$ maqnit sahasıdır. Üstündəki ilk tənlik, elektrik generatorları, indüktorlar və transformatorların əsasını təşkil edir və Faraday qanununun gövdesidir.

Ayrıca, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ -dən bir nəticə olaraq, maqnit monopollarının mövcud olmadığını bilirik. Bu tənliklərin çıxarılmasını anlamaq və onların fiziki mənasını bilən inzibatçı tamamilə dairəvi olur. İndi, Tənlik 4-ə curl tətbiq edərək hər bir elektromaqnit dalğası tətbiq etməlidir:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

İndi, çox aşkar (və asanlıqla isbat olunan) vektor identifikasiyasından istifadə edə bilərik: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ burada $T$ bir yer tutucu vektordur. İndi bu tənliyə tətbiq edək:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Bu nəticə 3 boyutlu elektromaqnit dalğaların tənliyidir. Bu tənlik yalnız elektromaqnit dalgalarında deyil, lakin akustikada, sismik dalgalarında, səs dalgalarında, su dalgalarında və sıvı dinamiğində də göstərilmişdir.

Schrödinger tənliyinin necə çıxarılacağını öyrənmək

Dalğa tənliyinə düzbucaq dalga həllləri

1 boyutlu dalğa tənliyindən başlayaraq (sonra 3 boyuta genişləndirmək çox asandır, məntiq bütün $x, y$ , və $z$ boyutlarda da qüvvət qəbul edəcəkdir):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Bu, hakikiyyətən, ikinci mertebedən bir qismi diferensial tənliyidir və düzbucaq dalga həlllərlə ödənilir:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (özünüz üçün yoxlayın!). } \end{equation*}$

Normal dalğaların mexanikasından bildiyimiz kimi $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ və $\omega = 2 \pi f$ . İndi, Einstein və Compton-un işlərindən istifadə edərək, fotonun enerjisinin $\mathsf{E} = \hbar \omega$ kimi verilən faktı daxil edək və de-Broglie-dən $p = h / \lambda = \hbar k$ olduğunu nəzərə alaq. Düz dalğalı həllimizi daha da inkişaf etdirə bilərik:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Bu, fotonu təsvir edən düz dalğa tənliyidir. Bu tənliyi dalga tənliyimizə daxil edərək nə tapacağımıza baxaq!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Bəsə, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ bu, xüsusi nisbiyyət nəzəriyyəsinə görə, maddəsi olan nisbiyyətçi parçacığın ümumi enerjisi ilə əlaqəli olduğu üçün çox yaxşıdır:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Bu qədər fotonla (maddəsi olmayan) işləmişik $(m=0)$ ! İndi anlayışımızı genişləndirək və elektron kimi maddəsi olan parçacığın ümumi nisbiyyətçi enerjisini tətbiq edək. Tənliyimizin adını dəyişək $\Psi$ çünki biz balerlarıyıq.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

İndi bu tənlik fotonun düz xətti dalğası tənliyinin dalğa tənliyinə yerləşdirilməsindən alındı. Amma indi maddəsi olan parçacığın ümumi nisbiyyətçi enerjisini həll etmək istəyirik, beləliklə dalğa tənliyini bir az dəyişməliyik. Bu, çünki dalğa tənliyi yeni $\Psi$ -ə tamamilə uyğun deyil. İndi, yuxarıdakı tənliyə gəlmək üçün operatoru geri həll edə bilərik və bu tənlik şövələrir:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Dalğalı Tənlikdə Kütləli Zərrələr üçün Həll

İndi, impulsa və kütləyə malik zərrə üçün $\mathsf{E}$ tənliyi üzərində bir neçə yaxınlaşma etmək istəyirik. Tənliyi bir az yenidən quraraq, bəzi yaxınlaşmaları istifadə edə bilək.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Bu manipulyasiyanın məqsədi, tənliyi $\sqrt{1 + x}$ formasına gətirməkdir, çünki bu tənliyin Taylor sırasını götürsək, aşağıdakı kimi alırıq:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Küçük olduğunda, Taylor açılımında kalan tek hissə $O(1)$ haddidir. Enerji formulumuzda, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . İstifadə edə bilərik ki, $p = mv \ll mc$ ən sürəti işıq sərbəst olan heç bir şey (əgər taparsanız mənimlə əlaqə saxlayın)! Bu həddi sadələşdirərkən alırıq:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Bu yerə qədər

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Orta məktəbdə fizikadan tanış olunan normal kinetik enerjidir. İndi özümüzün əvvəldən nəzərdə tutduğumuz dalğalı funksiyaya baxaq və bu yeni məlumatı daxil edək, nə alacağımızı görelim:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

İki terimi ayırmağımızın səbəbi, birinci terimin (yaxud dərindən işıq sürətinə görə) ikinci terimə nisbətən daha çox titrəməli olmasıdır və bu, aradığımız parçacık-dalga varlığını təsvir etmir. Bu fərqin müəyyən edilməsi üçün belə qəbul edək:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

İndi aşağıdakı kimi təyin ediblərəm:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

İndi $\Psi(\vec{r},t)$ -nin birinci və ikinci kismi türevlərinə baxaq və nə alacağımıza baxaq. Birinci:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

və ikinci:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Əhatə etməliyik ki, ikinci qismi türevin son terimi çox kiçikdir, cümləvi, $c^2$ dərəcəsinin sıfır olduğu üçün, bu səbəbdən təxminən ikinci törəvinqi həqiqi olaraq aşağıdakı kimi verilir:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Bu iki qismi törəvinqi aldıqdan sonra onları daha əvvəl dalg funksiyasını təsvir edən bərabərlikdə istifadə etmək üçün imput etdik:

Amma bunu etməzdən əvvəl, bu formulayı yenidən təşkil edək və nəticədə Klein-Gordon bərabərliyi adlanan bir bərabərlik alacağaq:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

İndi bunu 3 boyuta asanlıqla ümumiləşdirmək olar vektor tənliyinə çevirməklə (bu tənliyi çıxarmaq üçün aparılan bütün addımlar $x,y$ və $z$ üçün də gələcək.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Bu tənlik müstəqil parçacığın Klein-Gordon tənliyi kimi tanınıb. Bu tənlik nisbiyyətlidir, çünki onun enerji termini kiçik Taylor genişlənməsi ilə etdiyimiz ehtimalda olduğu kimi fərz edilmir.

İndi, Klein-Gordon tənliyini sadələşdirək (1-D-ə qayıdıb və yeni enerji formulamızı tətbiq edərək) və gözlənilən Schrödinger Tənliyinə çatacaq:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Yeni dalğa funksiyamızı $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ şəklində verək, burada zamanın birinci və ikinci türevlərinin nə kimi olduğunu bilirik:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

İndi sadece sadə bir yenidən qurulma lazımdır üç ölçülü Schrödinger Tənliyini alabilmək üçün (qeyd edək ki, $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Tənliyin sağ tərəfindəki terminin dalğalı funksiyada cəmi enerjiyi təsvir etdiyini göstərmək üçün klassik Hamiltonianın oxşarlığını nəzərə ala bilərik.

Qurulumuzda $V(\vec{r},t)$ 0 olduğunu və yalnız kinetik enerjinin nəzərə alınması gerektiğini fərz etdik. Bilirik ki, potensial təbii olaraq mekan dəyişikliklərinə görə additivdir və beləliklə, potensial ilə birlikdə olan tam Schrödinger Tənliyi üç ölçülərdə aşağıdakı kimi verilir:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Bu hamısı! Bu məqalədə üç ölçülü, relativistik olmayan zərrəçənin tam Schrödinger tənliyini elde etdik. Bu yazıdan bəyandıq və belə başqa yazılar istəyirsinizsə, lütfən bizə email yazaraq bildirin.

Mənbələr

Gasiorowicz, S. (2019). Kvant mexanikası. 2-ci nəşr. Kanada: Hamilton Printing, ss.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvant mexanikası. 3-cü nəşr. Universitet Nəşriyyatı, Cambridge: Cambridge Universiteti Nəşriyyatı.
Ward, D. və Volkmer, S. (2019). Necə Şrödinger tənliyini almalıyıq. [onlayn] arXiv.org. Mühitə uyğun: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Müraciət edildi 29 may 2019].
Shankar, R. (1980).Kvant mexanikasının prinsipləri. 1-ci nəşr. New York: Springer Elmi, ss.1-40.

Beyan: Orijinalə həvəs qoyun, paylaşılmağa layiq yaxşı məqalələr, əgər hüquqları pozulmuşsa lütfən silinməsi barədə əlaqə saxlayın.

Müəllifə mükafat verin və təşviq edin

Mövzular:

Fizika məqalələri

Kvant Teorisi

Ekspertlər haqqında

Electrical4u

China