Aequatio Ondarum Schrödinger: Derivatio et Explicatio

Electrical4u

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est Aequatio Schrödingeri?

Aequatio Schrödingeri (etiam cognita ut aequatio undarum Schrödingeri) est aequatio partialis differentialis quae describit dynamica systematum mechanicorum quantum per functionem undarum. Traiectus, positio, et energia horum systematum possunt elicere ex solutione aequationis Schrödingeri.

Omnia informationes particulae subatomicae codificantur intra functionem undarum. Functio undarum satisfaciet et potest solvi per aequationem Schrödingeri. Aequatio Schrödingeri est unum ex axiomatis fundamentalibus quae introducuntur in physica undergraduate. Etiam crebrius fit ut aequatio Schrödingeri introducatur in syllabo ingeniaria electrica universitatum, quia applicatur ad semiconductores.

Infeliciter, tantum statuitur ut postulatum in utroque casu et numquam derivatur in modo significativo. Hoc est valde dissatisfaciens, quia fere omnia alia docentur in physica quantum undergraduate super hoc fundamentum. In hoc articulo, derivabimus aequationem ab initio et faciam meum optimum ut ostendam omnem gradum assumptum.

Interessante satis, argumenta quae faciemus sunt eadem quae accepta a Schrödinger ipso, sic ut videas rationes cogitationis gigantis in suo tempore. Ut memento, hic est aequatio Schrödingeri dependens temporis in tribus dimensionibus (pro particula non-relativistica) in tota sua pulchritudine:

Physica Quantum et Undae

Omnes amant vituperare physicam classicam – sed bene nos servivit pro diuturno (cogita mechanica Newtoniana, aequationes Maxwellianae, et relativitas specialis).

Tamen, ut in nostris articulis prioribus demonstratum est, experimenta saeculi novi non erant tam mirabilia cum physica tunc notata comparata. Nostri articuli de experimento duarum fessurarum et ad quoddam gradum effectu photoelectrico sunt resultata experimentalia quae non bene conveniebant cum intellectu tunc notato.

Sed cur? Ut simpliciter dicatur, in physica classica existunt duae entitates, particulae et undae. Characteres utriusque harum entitatum describi possunt ut sequitur:

Particulae: fasciculi localizati energiae et momenti cum massa $m$ .

Undae: perturbationes diffusae per spatium-tempus. Describi possunt per functionem undarum $\psi(\vec{r}, t)$ quae describit undam per spatium et tempus.

Hoc nos ducit ad resultata mirabilia inventa in nostro articulo de Emissione Photoelectrica. Invenimus quod electron ostendit utrumque harum proprietatum. Hoc totaliter contradicit intellectum tunc notatum, cum duae entitates considerarentur mutuo exclusivae.

Insanum vero? Circa hoc tempus, quidam influentes figurae in physica coeperunt intellegere esse lacunam in scientia, et magnus progressus factus est quando Louis de Broglie associavit momentum (pro particula) ad longitudinem undae (pro undis) datam per

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Item, ex Emissione Photoelectrica scimus quod absorptio et emissio photorum (adhuc incertum an particula sit vel unda) habeant energiam datam per

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Ubi $\hbar = h/2\pi$ et $\omega=2\pi f$ . Nunc ad eundem statum pervenimus quo Schrödinger ante derivavit suam celebrem aequationem. Sed ubi incipimus? Scimus enim electronas et photones exhibere comportamentum undarum et particularum. Nihil malum erit si incepimus ab aequatione universalis quam omnes undae debent observare et deinde introduximus physicam particulas super ut videamus si resultat.

Quomodo Aequationem Undarum Derivare

Perturbatio $\psi(\vec{r}, t)$ obtemperat aequationi undarum. Memento, electron ostendit comportamentum undarum et habet chargem electromagneticum. Ergo, pro nunc, respiciamus ad campos electromagneticos. In hac situazione, aequationes Maxwell applicantur et hic sunt in tota gloria sua:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Ubi $c$ est celeritas lucis in vacuo, $\vec{E}$ est campum electricum et $\vec{B}$ est campum magneticum. Prima aequatio supra est basis generatorum electricorum, inductorum, et transformatorum et est corporalis lex Faraday.

Item, unum ex implicationibus a $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ est quod non existunt monopoli magnetici. Intellegendo derivationem harum aequationum et significationem physicam earum, efficitur ingeniosus perfectus. Nunc, deducamus aequationem quam omnis unda electromagnetica debet observare applicando rotationem ad Aequationem 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nunc possumus uti identitate vectoriali familiarissima (et facile demonstrata): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ubi $T$ est quidam vector substitutivus. Applicando ad nostram aequationem nunc:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Hic habemus aequationem undarum electromagneticarum in tribus dimensionibus. Haec aequatio non solum in unda electromagnetic apparuit sed etiam in acustica, undis seismicis, sonoris, aquae, et mechanica fluidorum.

Quomodo derivetur aequatio Schrödinger

Solutio undarum planarum ad aequationem undarum

Incepimus ab aequatione undarum pro una dimensione (facile est generalizare ad tres dimensiones postea, quia logica applicabitur in omnibus $x, y$ , et $z$ dimensionibus.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Haec est, in re, aequatio differentialis partialis secundi ordinis et solvitur per solutiones undarum planarum:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (per te ipsum proba!). } \end{equation*}$

Cum scimus ex mechanica undarum normali quod $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ et $\omega = 2 \pi f$ . Nunc, utamur opere ab Einstein et Compton et substituamus factum quod energia photonis datur per $\mathsf{E} = \hbar \omega$ et ab de-Broglie quod $p = h / \lambda = \hbar k$ . Possumus ulterius manipulare nostram solutionem undae planae ad:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Haec est aequatio undae planae describens photon. Substituamus hanc aequationem in nostram aequationem undae et videamus quid inveniamus!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

In aliis verbis, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ quod est magnificum, quia scimus ex speciali relativitate quod energia totalis pro particula relativistica cum massa $m$ est:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Et hactenus tantum de photone agitavimus, qui nullam massam habet $(m=0)$ ! Nunc ergo amplifaciamus nostram intelligentiam et applicemus energiam relativisticam totalem pro particula cum massa (sicut electron exempli gratia) et mutemus nomen aequationis ad $\Psi$ , quia sumus ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Haec aequatio directe provenit ex substitutione aequationis undarum planarum pro photone in aequationem undarum. Tamen, quoniam nunc volumus ut energia solvat energiam relativisticam totalem pro particula cum massa, debemus leviter mutare aequationem undarum. Hoc est, quia aequatio undarum non debet plene ad nostrum novum $\Psi$ , quod describit particulas et undas. Nunc possumus retro solvere pro operatore ut habeamus aequationem supra, et datur per:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Quaestio de Particulis cum Masse in Aequatione Ondarum

Nunc volumus paucas approximationes facere super totam energiam, quam modo descripsimus per $\mathsf{E}$ pro particula cum momento et massa. Solum formulae dispositionem mutemus ut quasdam approximationes possimus adhibere.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Totum huius manipulationis scopum est, ut aequatio in forma habeatur $\sqrt{1 + x}$ quia si hanc aequationem expansionem Taylori sumamus, obtinemus:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Cum $x$ parvus est, sola pars quae in expansione Taylor remanet est $O(1)$ terminus. In nostra formula energiae, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Possumus uti facto quod $p = mv \ll mc$ pro omni re quae non movetur ad velocitatem lucis (quaeso me inveni si aliquid invenies quod hoc non satisfaciat)! Itaque hic terminus reducitur ad:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Ubi

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Est normalis energia cinetica quam videmus ex physica liceali. Nunc revertamur ad functionem undarum a priore, inseramus hanc novam informationem et videamus quid obtinemus:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Causa quae nos nunc duas partes dividimus est quod prior terminus $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (iterum basatum super velocitate luminis) multo magis oscillatorium erit quam posterior terminus et non necessario describit particulo-undam quam quaerimus. Itaque ut hanc differentiam confirmemus, statuamus nunc quod:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Ubi nunc definivimus:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Nunc capiamus primas et secundas derivatas parciales de $\Psi(\vec{r},t)$ et videamus quid finem habemus. Prima:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

et secunda:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Debemus memento habere quod ultimum terminus cum secundo derivativo parziali est valde parvus ob rem non esse $c^2$ terminus portans magnitudinis ordinem, et ideo per approximationem, actualis secundus derivativus datur per:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Huiusmodi duo derivativa parzialia sumpsimus ut eos in hanc aequationem describentem functionem undarum imputaremus:

Sed priusquam id faciamus, formam hanc rearrangeamus et aequationem dicentem Klein-Gordon obtinebimus:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nunc facile hoc in tria dimensio generalizare possumus, hanc aequationem in vectorem aequationem (omnes gradus quos ad hanc formulam deducendam sumpsimus, ad omnia $x,y$ , et $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Haec aequatio cognoscitur ut aequatio Klein-Gordon pro particula libera. Haec aequatio est relativistica, quia terminus eius energiae non facit assumptiones quas fecimus cum parvo $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Nunc, simplicemus aequationem Klein-Gordon (revertentes ad unum dimensionem et applicantes novam formam energiae) et perveniemus ad longe expectatam aequationem Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ponamus novam functionem undarum datam per $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ubi scimus quid primae et secundae derivativae respectu temporis sint:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nunc omnia quae facere debemus est simpliciter ordinare ut Schrödinger Equationem in tribus dimensionibus obtineamus (nota quod $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Ubi argumentum fieri potest notando similitudinem Hamiltonianae classicae, quod terminus in dextera parte aequationis describit energiam totalem functionis undarum.

In nostra deductione, praesumimus quod $V(\vec{r},t)$ sit 0 et quod solum energia cinetica fuerit accepta. Scimus quod potentia pura additiva est secundum variationes spatiales suae, et ideo, plena Schrödinger Aequatio in tribus dimensionibus cum potentia datur per:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Hoc est! Hic habemus, huius articuli deductam plenam Schrödinger Aequationem pro particula non-relativistica in tribus dimensionibus. Si hanc postulationem probaveris et videris alia similiter, scribe nobis ut sciamus.

Citationes

Gasiorowicz, S. (2019). Physica Quantica. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Physica Quantica. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. et Volkmer, S. (2019). Quomodo Aequatio Schrödingeri derivetur. [online] arXiv.org. Disponibilis in: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessus 29 Maii 2019].
Shankar, R. (1980).Principia Mechanicae Quanticae. 1st ed. Novum Eboracum: Springer Science, pp.1-40.

Declaratio: Respecta originalis, boni articulos valent communiciandi, si infringatur contingat contactum deletionis.

Donum da et auctorem hortare

Thematibus:

Articuli Physici

Theoria Quantica

De expertis

Electrical4u

China

Area Expertiae

Basic Electrical

Articulus professionalis

607