Schrödingerjeva valovna enačba: Izpeljava & Razlaga

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Kaj je Schrödingerjeva enačba?

Schrödingerjeva enačba (znana tudi kot valovna enačba Schrödingera) je parcialna diferencialna enačba, ki opisuje dinamiko kvantnega sistema preko valovne funkcije. Trajektorija, postavitev in energija teh sistemov se lahko izračuna z reševanjem Schrödingerjeve enačbe.

Vse informacije o subatomskega delca so zakodirane v valovni funkciji. Valovna funkcija zadošča in se lahko reši s pomočjo Schrödingerjeve enačbe. Schrödingerjeva enačba je eden od osnovnih aksiomov, ki se predstavljajo v fiziki na univerzitetni stopnji. Vse bolj pogosto se Schrödingerjeva enačba uvede tudi v elektrotehniškem študiju na univerzah, saj se uporablja za polprevodnike.

Na žalost je v obeh primerih le navedena kot postulat in nikoli ni smiselno izpeljana. To je zelo nerodoljubno, ker je skoraj vse ostalo, kar se uči v kvantni fiziki na univerzitetni stopnji, zgrajeno na tej osnovi. V tem članku bomo enačbo izpeljali od samega začetka in poskušal bom pokazati vsak korak, ki smo ga naredili.

Zanimivo je, da so argumenti, ki jih bomo uporabili, isti kot tisti, ki jih je uporabil sam Schrödinger, zato lahko vidite premisleke, ki jih je imel velikan v svojem času. Kot opomnik, tu je časovno odvisna Schrödingerjeva enačba v 3-dimenzijah (za ne-relativistični delce) v vsej svoji lepoti:

Kvantna fizika in valovi

Vsak radi kritizirati klasično fiziko – toda ta nas je dobro storila za dolgo časa (misli na newtonsko mehaniko, Maxwellove enačbe in specialno relativnost).

Vendar, kot je pokazano v naših prejšnjih člankih, so eksperimentalni rezultati na začetku tisočletja niso bili tako zaznamujoci, ko jih primerjamo z znanim fizikom tedaj. Naši članki o dvodirnem poskusu in v nekaterih primerih fotoelektričnega učinka so eksperimentalni rezultati, ki se niso dobro ujemali s področjem razumevanja tedaj.

Ale zakaj? Da bi to preprosto pojasnili, v klasični fiziki obstajata dve entiteti, delci in valovi. Značilnosti teh dveh entitet lahko opišemo naslednje:

Delci: lokalizirani svežnji energije in gibalne količine z maso $m$ .

Valovi: motnje, ki so razširjene v prostoru in se gibljejo skozi čas. Jih lahko opišemo z valovno funkcijo $\psi(\vec{r}, t)$ ki opisuje valove v prostoru in času.

To nas pripelje do presenetljivih rezultatov, ki smo jih našli v našem članku o fotoelektričnem emitiranju. Ugotovili smo, da elektron kaže obe te značilnosti. To popolnoma nasprotuje znanimu razumevanju tedaj, saj sta obe entiteti smatrani za medsebojno izključivi.

Nevzdržno, ne? Tako je, okoli tega časa so nekateri zelo vplivni ljudje v fiziki začeli ugotavljati, da je bil praznik v znanju, in velik napredek je prišel, ko je Louis de Broglie povezal gibalno količino (za delce) z valovno dolžino (za valove), ki je dana z

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Tudi iz Fotonega Emisija vemo, da absorpcija in emisija fotonov (še vedno nejasno ali so delce ali valovi) imajo energijo, podano z

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kjer je $\hbar = h/2\pi$ in $\omega=2\pi f$ . Tukaj smo na isti stopnji kot je bil Schrödinger pred izpeljavo svoje slavne enačbe. Kje pa začnemo? Vemo, da elektroni in fotoni prikazujeta valovito in delcevito obnašanje. Ni nič narobe, če začnemo s splošno enačbo, ki jo morajo vse valovi spoštovati, in nato dodamo fiziko delcev, da vidimo, če dobimo rezultat.

Kako izpeljati Valovno Enačbo

Motnja $\psi(\vec{r}, t)$ spoštuje valovno enačbo. Spomnimo se, elektron prikazuje valovito obnašanje in ima elektromagnetni naboj. Zato si zdaj pogledajmo le elektromagnetna polja. V tem primeru veljajo Maxwellove enačbe in tu so v vsej svoji lepoti:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kjer je $c$ hitrost svetlobe v vakuumu, $\vec{E}$ električno polje in $\vec{B}$ magnetno polje. Prva zgornja enačba je osnova električnih generatorjev, induktorjev in transformatorjev in je uveljavitev Faradayevih zakonov.

Tudi eden od posledic $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ je, da ne obstajajo magnetni monopoli. Razumevanje izpeljave teh enačb in fizikalne pomeni za njih naredi dobro obvladane inženirje. Sedaj bomo izpeljali enačbo, ki jo mora zadoščati vsaka elektromagnetska valovanja, tako da uporabimo rotor na enačbi 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Zdaj lahko uporabimo zelo znano (in enostavno dokazano) vektorsko identiteto: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kjer je $T$ neki vektor. Uporaba te identitete na našo enačbo:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Rezultat, ki ga imamo tu, je valovna enačba elektromagnetnih valov v 3-dimenzijah. Ta enačba se manifestira ne le v elektromagnetnih valih, ampak se je tudi pojavila v akustiki, sejsmičnih valih, zvokovnih valih, vodnih valih in dinamiki tekočin.

Kako izpeljati Schrödingerjevo enačbo

Ravninske valovne rešitve valovne enačbe

Začnemo s valovno enačbo za 1-dimensijo (je zelo enostavno posplošiti na 3 dimenzije nato, saj bo logika veljala v vseh $x, y$ , in $z$ dimenzijah.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

To je v resnici parcialna diferencialna enačba drugega reda in jo zadostujejo ravninske valovne rešitve:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (preverite to sami!). } \end{equation*}$

Iz navadne valovne mehanike vemo, da je $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ in $\omega = 2 \pi f$ . Sedaj uporabimo delo Einsteina in Comptona ter vstavimo dejstvo, da je energija fotona podana z $\mathsf{E} = \hbar \omega$ in iz de-Broglie, da je $p = h / \lambda = \hbar k$ . Nadalje lahko našo rešitev ravninskega vala spremenimo v:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

To je enačba ravninskega vala, ki opisuje foton. Vstavimo to enačbo v našo valovno enačbo in poglejmo, kaj odkrijemo!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Z drugimi besedami, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ kar je odlično, ker vemo iz posebne relativnosti, da je skupna energija za relativistični delce s maso $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

In do zdaj smo se ukvarjali samo z fotonom, ki nima mase $(m=0)$ ! Torej razširimo naše razumevanje in uporabimo skupno relativistično energijo za delce s maso (na primer elektron) in spremenimo ime naše enačbe v $\Psi$ , ker smo kolesarji.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ta enačba je neposredno nastala z vstavljanjem enačbe ravninske valovne funkcije za foton v valovno enačbo. Vendar, ker želimo sedaj rešiti skupno relativistično energijo za delce s maso, moramo malo spremeniti valovno enačbo. To je zato, ker valovna enačba ne bi v celoti veljala za naš nov $\Psi$ , ki opisuje delce in valove. Sedaj lahko obrnemo za operator, da dobimo zgornjo enačbo, in ta je dana z:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Reševanje za delce z maso v valovni enačbi

Zdaj želimo narediti nekaj približkov na celotni energiji, ki smo jo pravkar opisali s $\mathsf{E}$ za delce z gibalno količino in maso. Nastavimo formulo le malo drugače, da lahko uporabimo nekatere približke.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Cilj te manipulacije je, da dobimo enačbo v obliki $\sqrt{1 + x}$ ker, če vzamemo Taylorjevo vrsto te enačbe, dobimo:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Ko je $x$ majhen, ostane v Taylorjevem razvoju le člen $O(1)$ . V naši energijski formuli je $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Lahko izkoristimo dejstvo, da je $p = mv \ll mc$ za vse, kar se ne premika z hitrostjo svetlobe (prosim, najdite me, če najdete kaj, kar tega ne ustreza)! Torej se ta člen faktično zmanjša na:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kjer

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

To je običajna kinetična energija, ki jo vidimo v srednješolski fiziki. Sedaj se vrnejo na valovno funkcijo iz prej, vnesimo to novo informacijo in vidimo, kaj dobimo:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Razlog, zakaj smo zdaj ločili te dve izrazi, je v tem, da bo prvi izraz $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (opet samo na osnovi hitrosti svetlobe) zelo oscilatoren v primerjavi s drugim izrazom in ne nujno opisuje častico-val, ki jo iščemo. Torej, da utrdimo to razliko, določimo sedaj, da velja:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kjer smo zdaj definirali:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Najprej vzemimo prvi in drugi parcialni odvod $\Psi(\vec{r},t)$ in vidimo, kaj dobimo. Prvi:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

in drugi:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Moramo upoštevati, da je zadnji člen z drugim parcialnim odvodom zelo majhen, ker ni $c^2$ člena, ki bi nosil red velikosti, in zato po aproksimaciji je dejanski drugi odvod dan z:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Skrita razloga, zakaj smo vzeli ta dva parcialna odvoda, je bila ta, da bi jih lahko vstavili v to enačbo, ki opisuje valovno funkcijo:

Vendar preden to storimo, najprej preuredimo to formulo in pridemo do enačbe, ki se imenuje Klein-Gordonova enačba:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Zdaj lahko enostavno posplošimo to na 3 dimenzije, tako da enačbo spremenimo v vektorsko enačbo (vsi koraki, ki smo jih izvedli za izpeljavo te formule, se uporabljajo za vse $x,y$ in $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ta enačba je znana kot Klein-Gordonova enačba za svobodno delce. Ta enačba je relativistična, ker njeni energijski člen ne naredi predpostavk, ki smo jih storili z majhnim $\sqrt{1+x}$ Taylorjevim razvojem.

Naj bo zdaj poenostavljena Klein-Gordonova enačba (vrnjena nazaj v 1-D in uporabljena nova energetska formula) in prispel bomo do dolgo pričakovane Schrödingerjeve enačbe:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Vstavimo našo novo valovno funkcijo, podano s $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ kjer vemo, kako izgledajo prvi in drugi odvodi glede na čas:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Vsi, kar moramo narediti, je enostavno preureditev, da bi dobili Schrödingerjevo enačbo v treh dimenzijah (opomba, da je $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Argument se lahko postavi z opazovanjem podobnosti klasičnega Hamiltonovega operatorja, ki kaže, da term na desni strani enačbe opiše celotno energijo valovne funkcije.

V našem izpeljavi smo predpostavili, da je $V(\vec{r},t)$ enak 0 in da je upoštevali le kinetično energijo. Vemo, da je potencial popolnoma aditiven glede na svoje prostorske variacije, zato je polna Schrödingerjeva enačba v treh dimenzijah s potencialom dana z:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

To je vse! Tukaj imamo celotno Schrödingerjevo enačbo za ne-relativistično delce v treh dimenzijah. Če je ta prispevek bil v vašem interesu in bi želeli videti več takega, nas prosimo pošljite e-pošto, da nam to sporočite.

Citati

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantna fizika. 2. izd. Kanada: Hamilton Printing, str. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantna fizika. 3. izd. Univerzitetna tiskarna, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. in Volkmer, S. (2019). Kako izpeljati Schrödingerjevo enačbo. [spletno] arXiv.org. Na voljo na: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Dostopano 29. maja 2019].
Shankar, R. (1980).Načela kvantne mehanike. 1. izd. New York: Springer Science, str. 1-40.

Izjava: Spoštujte izvirnik, dobre članke je vredno deliti, če gre za kršitev avtorskih pravic se obvestite za brisanje.

Podari in ohrani avtorja!

Teme:

Fizični članki

Kvantna teorija

O strokovnjakih

Electrical4u

China

Področje strokovnosti

Basic Electrical

Stranski članek

607