Schrödinger Golfvergelijking: Afleiding & Uitleg

Electrical4u

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is de Schrödingervergelijking?

De Schrödingervergelijking (ook bekend als Schrödingers golfvergelijking) is een partiële differentiaalvergelijking die de dynamiek van kwantummechanische systemen beschrijft via de golfvergelijking. De baan, de positie en de energie van deze systemen kunnen worden bepaald door de Schrödingervergelijking op te lossen.

Alle informatie over een subatomair deeltje is gecodeerd in een golfvergelijking. De golfvergelijking voldoet aan en kan worden opgelost met behulp van de Schrödingervergelijking. De Schrödingervergelijking is een van de fundamentele axioma's die in het onderwijs van natuurkunde aan universiteiten worden geïntroduceerd. Het wordt ook steeds meer gebruikelijk om de Schrödingervergelijking in het elektronicasyllabus van universiteiten te introduceren, omdat deze van toepassing is op halfgeleiders.

Helaas wordt het alleen als een postulaat gesteld in beide gevallen en nooit op een zinvolle manier afgeleid. Dit is nogal onbevredigend, omdat bijna alles wat in de undergraduate kwantumnatuurkunde wordt onderwezen, gebaseerd is op deze grondslag. In dit artikel zullen we de vergelijking vanaf het begin afleiden en ik zal mijn best doen om elke stap te laten zien.

Interessant genoeg zijn de argumenten die we zullen maken dezelfde als die van Schrödinger zelf, zodat je de gedachtegang van een reus in zijn tijd kunt zien. Als herinnering, hier is de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking in drie dimensies (voor een niet-relativistisch deeltje) in al haar schoonheid:

Kwantumfysica en golven

Iedereen houdt ervan klassieke fysica af te branden – maar het heeft ons vrij goed gediend voor een hele tijd (denk aan Newtoniaanse mechanica, Maxwells vergelijkingen en speciale relativiteitstheorie).

Echter, zoals in onze vorige artikelen is getoond, waren de experimentele resultaten aan het begin van de eeuw niet zo indrukwekkend vergeleken met de bekende fysica van die tijd. Onze artikelen over het dubbele-spleetexperiment en tot op zekere hoogte het foto-elektrisch effect zijn experimentele resultaten die niet goed overeenkwamen met de bekende begrip van die tijd.

Maar waarom? Om het eenvoudig te zeggen, in de klassieke fysica bestaan er twee entiteiten, deeltjes en golven. De eigenschappen van deze entiteiten kunnen als volgt worden beschreven:

Deeltjes: geconcentreerde bundels energie en impuls met massa $m$ .

Golven: verstoringen verspreid over ruimte en tijd. Ze kunnen worden beschreven met een golf-functie $\psi(\vec{r}, t)$ die de golf over ruimte en tijd beschrijft.

Dit brengt ons naar de verrassende resultaten gevonden in ons Foto-elektrische emissie artikel. We vonden dat het elektron beide van deze eigenschappen toont. Dit staat volledig haaks op de bekende begrip van die tijd, omdat de twee entiteiten als wederzijds uitsluitend werden beschouwd.

Krankzinnig, toch? Op dit moment begonnen enkele zeer invloedrijke figuren in de fysica zich te realiseren dat er een kennisgat was, en een grote doorbraak kwam toen Louis de Broglie een impuls (voor een deeltje) associeerde met een golflengte (voor golven), gegeven door

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ook weten we van Photoelectric Emission dat de energieabsorptie en -emissie van fotonen (nog steeds onzeker of het een deeltje of een golf is) wordt gegeven door

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Waarbij $\hbar = h/2\pi$ en $\omega=2\pi f$ . We staan nu op precies dezelfde plek als Schrödinger voordat hij zijn beroemde vergelijking afleidde. Maar waar beginnen we? Wel, we weten dat elektronen en fotonen zowel golf- als deeltjesgedrag vertonen. Er zou niets mis zijn met beginnen met een universele vergelijking die alle golven moeten gehoorzamen en vervolgens deeltjesfysica toevoegen om te zien of er een resultaat is.

Hoe de Golffunctievergelijking afleiden

De verstoring $\psi(\vec{r}, t)$ voldoet aan de golffunctievergelijking. Onthoud, het elektron toont golfachtig gedrag en heeft een elektromagnetische lading. Laten we dus voorlopig alleen kijken naar elektromagnetische velden. In dit scenario gelden Maxwells vergelijkingen, en hier zijn ze in al hun glorie:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Waarbij $c$ de snelheid van het licht in vacuüm is, $\vec{E}$ het elektrisch veld is en $\vec{B}$ het magnetisch veld is. De eerste bovenstaande vergelijking is de basis van elektrische generatoren, spoelen en transformatoren en is de uitbeelding van de wet van Faraday.

Ook volgt uit $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ dat er geen magnetische monopolen bestaan. Het begrijpen van de afleiding van deze vergelijkingen en de fysica die erachter zit, maakt een goed gevormde ingenieur. Laten we nu de vergelijking afleiden die elke elektromagnetische golf moet gehoorzamen door een rotatie toe te passen op vergelijking 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nu kunnen we gebruikmaken van een zeer bekende (en gemakkelijk te bewijzen) vectoridentiteit: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ waarbij $T$ een willekeurige vector is. Toepassen op onze kleine vergelijking nu:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Het resultaat dat we hier hebben is de elektromagnetische golfvergelijking in drie dimensies. Deze vergelijking manifesteert zich niet alleen in een elektromagnetische golf, maar is ook te zien in akoestiek, seismische golven, geluidsgolven, watergolven en vloeistofdynamica.

Hoe de Schrödinger-vergelijking afleiden

Planegolfoplossingen voor de golfvergelijking

Beginnend met de golfvergelijking voor één dimensie (het is echt gemakkelijk om dit daarna te generaliseren naar drie dimensies, omdat de logica in alle richtingen van toepassing zal zijn): $x, y$ , en $z$ dimensies.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Dit is in werkelijkheid een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde en wordt voldaan door planegolfoplossingen:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (controleer dit zelf!). } \end{equation*}$

Waar we uit de normale golfmechanica weten dat $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ en $\omega = 2 \pi f$ . Laten we nu gebruik maken van het werk van Einstein en Compton en substitueren dat de energie van een foton wordt gegeven door $\mathsf{E} = \hbar \omega$ en volgens de-Broglie dat $p = h / \lambda = \hbar k$ . We kunnen onze vlakke goloplossing verder aanpassen tot:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Dit is de vlakke golvergelijking die een foton beschrijft. Laten we deze vergelijking in onze golfvergelijking substitueren en kijken wat we vinden!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Met andere woorden, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ wat geweldig is omdat we uit de speciale relativiteitstheorie weten dat de totale energie voor een relativistisch deeltje met massa $m$ is:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

En we hebben tot nu toe alleen met het foton te maken gehad, dat geen massa heeft $(m=0)$ ! Laten we onze kennis uitbreiden en de totale relativistische energie toepassen voor een deeltje met massa (zoals bijvoorbeeld het elektron) en de naam van onze vergelijking veranderen naar $\Psi$ omdat we ballers zijn.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Deze vergelijking kwam rechtstreeks voort uit het substitueren van de vlakke golfvergelijking voor een foton in de golfvergelijking. Echter, aangezien we nu de energie willen oplossen voor de totale relativistische energie voor een deeltje met massa, moeten we de golfvergelijking iets aanpassen. Dit is omdat de golfvergelijking niet volledig van toepassing zou moeten zijn op ons nieuwe $\Psi$ dat deeltjes en golven beschrijft. We kunnen nu terugrekenen voor een operator om de bovenstaande vergelijking te krijgen, en deze wordt gegeven door:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Oplossen voor deeltjes met massa in de golfvergelijking

We willen nu enkele benaderingen maken op de volledige energie die we zojuist hebben beschreven door $\mathsf{E}$ voor een deeltje met impuls en massa. Laten we de formule licht herschikken zodat we enkele benaderingen kunnen gebruiken.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Het doel van deze manipulatie is om de vergelijking in de vorm te krijgen $\sqrt{1 + x}$ omdat als we een Taylorreeksontwikkeling van deze vergelijking nemen, we krijgen:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Wanneer $x$ klein is, blijft in de Taylor-reeks alleen het $O(1)$ -deel over. In onze energieformule, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . We kunnen gebruik maken van het feit dat $p = mv \ll mc$ voor alles wat niet met lichtsnelheid reist (laat het me weten als je iets vindt dat dit niet voldoet)! Dus deze term reduceert eigenlijk tot:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Waar

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

is de normale kinetische energie die we zien in de middelbare schoolfysica. Laten we nu teruggaan naar de golfvergelijking van eerder en deze nieuwe informatie invoeren om te zien waarmee we eindigen:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

De reden dat we nu de twee termen gesplitst hebben, is dat de eerste term $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (alleen gebaseerd op de lichtsnelheid) veel oscillerender zal zijn dan die van de tweede term en niet per se de deeltjesgolf-entiteit beschrijft waar wij naar op zoek zijn. Om dit verschil te verduidelijken, stellen we nu vast dat:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Waarbij we nu gedefinieerd hebben:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Laten we nu de eerste en tweede partiële afgeleiden van $\Psi(\vec{r},t)$ nemen en kijken wat we krijgen. De eerste:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

en de tweede:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

We moeten in gedachten houden dat de laatste term met de tweede partiële afgeleide vrij klein is vanwege het feit dat er geen $c^2$ term is die een orde van grootte draagt, en daarom is de werkelijke tweede afgeleide bij benadering gegeven door:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

De slinkse reden waarom we deze twee partiële afgeleiden namen, was om ze te kunnen invoeren in deze vergelijking die eerder de golfvergelijking beschrijft:

Maar voordat we dat kunnen doen, laten we deze formule herschikken en we zullen uiteindelijk met een vergelijking eindigen die de Klein-Gordon-vergelijking wordt genoemd:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nu kunnen we dit gemakkelijk generaliseren naar drie dimensies door deze vergelijking om te zetten in een vectorvergelijking (alle stappen die we hebben genomen om deze formule af te leiden, gelden voor alle $x,y$ , en $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Deze vergelijking staat bekend als de Klein-Gordon-vergelijking voor een vrije deeltjes. Deze vergelijking is relativistisch, omdat de energiterm geen van de aannames maakt die we deden met de kleine $\sqrt{1+x}$ Taylor-uitbreiding.

Laten we nu de Klein-Gordon-vergelijking vereenvoudigen (terug naar 1-D gaan en onze nieuwe energieformule toepassen) en we komen aan bij de lang verwachte Schrödinger-vergelijking:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Laten we onze nieuwe golf-functie invoeren gegeven door $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ waarbij we weten hoe de eerste en tweede afgeleiden ten opzichte van de tijd eruitzien:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nu moeten we alleen nog een eenvoudige herordenen uitvoeren om de Schrödingervergelijking in drie dimensies te verkrijgen (let op dat $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Het kan worden gesteld door de gelijkenis van de klassieke Hamiltoniaan te noteren dat de term aan de rechterkant van de vergelijking de totale energie van de golfvergelijking beschrijft.

In onze afleiding hebben we aangenomen dat $V(\vec{r},t)$ gelijk is aan 0 en dat alleen de kinetische energie in aanmerking werd genomen. We weten dat het potentieel puur additief is met betrekking tot zijn spatiale variaties en daarom wordt de volledige Schrödingervergelijking in drie dimensies met potentieel gegeven door:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Dat is het! Hier hebben we de volledige Schrödingervergelijking voor een niet-relativistisch deeltje in drie dimensies afgeleid. Als je dit bericht leuk vond en meer van dit soort artikelen wilt zien, stuur ons dan een e-mail om dat te laten weten.

Citaten

Gasiorowicz, S. (2019). Quantum Physics. 2e druk. Canada: Hamilton Printing, blz.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantum Physics. 3e druk. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. en Volkmer, S. (2019). How to Derive the Schrodinger Equation. [online] arXiv.org. Beschikbaar op: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Geraadpleegd op 29 mei 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1e druk. New York: Springer Science, blz.1-40.

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de elkaar waard om te delen, bij inbreuk neem contact op voor verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Fysica Artikelen

Kwantumtheorie

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607