Pangkat na mga Ekwasyon ni Fresnel: Ano ito? (Deribasyon at Paliwanag)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang mga Ekwasyon ni Fresnel?

Ang mga Ekwasyon ni Fresnel (kilala rin bilang mga koepisyenteng Fresnel) ay inilalarawan bilang ang ratio ng electric field ng isang na-reflected at na-transmitted na wave sa electric field ng incident wave. Ang ratio na ito ay komplikado at kaya, naglalarawan ito ng relative amplitude pati na rin ang phase shifts sa pagitan ng mga wave.

Ang mga Ekwasyon ni Fresnel (mga koepisyenteng Fresnel) ay naglalarawan ng reflection at transmission ng liwanag kapag ito ay incident sa interface sa pagitan ng dalawang iba't ibang medium. Ang mga Ekwasyon ni Fresnel ay ipinakilala ni Augustin-Jean Fresnel. Siya ang unang taong naintindihan na ang liwanag ay isang transverse wave.

Kapag ang liwanag ay incident sa ibabaw ng isang dielectric, ito ay magiging reflected at refracted bilang isang function ng angle of incidence. Ang direksyon ng reflected wave ay ibinibigay ng "Law of Reflection".

Nararanasan ang epekto ni Fresnel sa regular na buhay. Nakikita ito sa shiny at rough na surfaces din. Malinaw ang epekto na ito sa ibabaw ng tubig. Kapag ang liwanag ay incident sa tubig mula sa air medium, ang liwanag ay magrereflect ayon sa angle of incidence.

Naroroon ang epekto ni Fresnel sa lahat ng lugar. Kung subukan mong tumingin sa paligid, makikita mo maraming halimbawa. Ang epekto na ito ay malaki ang depende sa angle of incidence.

Ang angle of incidence ay ang angle sa pagitan ng line of sight at ibabaw ng bagay na inaasikaso mo. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng epekto ng angle of an incident sa Fresnel reflection.

S at P Polarizations

Ang plane na may surface normal at propagation vector ng incoming radiation ay kilala bilang plane of incidence o incidence plane.

Nararapat ang plane of incidence sa lakas ng reflection ng polarized na incident light. Inilalarawan ang polarization bilang isang katangian ng isang transverse wave na nagsasaad ng geometrical orientation ng oscillation.

Mayroong dalawang uri ng polarization;

S-Polarization
P-Polarization

Kapag ang polarization ng liwanag ay perpendicular sa plane ng incident, ang polarization ay kilala bilang S-polarization. Ang salitang 'S' ay galing sa German word senkrecht na nangangahulugang perpendicular. Kilala rin ang S-polarization bilang Transverse Electric (TE).

Kapag ang polarisasyon ng liwanag ay paralelo sa plano ng isang insidente o nasa plano ng isang insidente, ang plano ay kilala bilang P-Polarization. Ang S-polarization ay kilala rin bilang Transverse Magnetic (TM).

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita na ang insidenteng liwanag ay inireflect at ipinadala sa S-polarization at P-Polarization.

Equation ng Fresnel Complex Index of Refraction

Ang Equation ng Fresnel ay isang komplikadong equation na nangangahulugan na ito ay kinokonsidera ang magnitude at phase parehong. Ang Equation ng Fresnel ay inirerepresenta sa termino ng complex amplitude ng electromagnetic field na kinokonsidera ang phase bukod sa power.

Ang mga equation na ito ay ang ratio ng electromagnetic field at ginagawa sa iba't ibang anyo. Ang complex amplitude coefficients ay inirerepresenta ng r at t.

Ang reflection coefficient ‘r’ ay ang ratio ng complex amplitude ng electric field ng reflected wave sa incident wave. At ang transmission coefficient ‘t’ ay ang ratio ng complex amplitude ng electric field ng transmitted wave sa incident wave.

Bukod dito, inasumosyon namin na ang angle of incidence ay θi, na inireflect sa isang angle ng θr, at naipadala sa isang angle ng θt.

Ni ay ang refractive indices ng medium ng insidenteng liwanag at Nt ay ang refractive indices ng medium ng naipadalang liwanag.

Dahil dito, may apat na Equation ng Fresnel; dalawang equation para sa reflection coefficient ‘r’ na (rp at rs) at dalawang equation para sa transmission coefficient ‘t’ na (tp at ts).

Deribasyon ng Equation ng Fresnel

Ipagpalagay natin na ang insidenteng liwanag ay inireflect tulad ng ipinapakita sa itaas. Sa unang kaso, deribuhin natin ang Equation ng Fresnel para sa S-Polarization.

Para sa S-Polarization, ang parallel component E at perpendicular component B ay continuous sa pagitan ng boundary ng dalawang media.

Kaya mula sa kondisyon ng hangganan, maaari nating isulat ang mga ekwasyon para sa E-field at B-field,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Ginagamit natin ang relasyon sa ibaba sa pagitan ng B at E upang alisin ang B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

At mula sa batas ng pag-refleksyon,

$\theta_i = \theta_r$

Ilagay natin ang halaga na ito sa eq-2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Ngayon, para sa koepisyenteng pagsasalamin t, mula sa ekwasyon-1 at ekwasyon-4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Ito ang mga Fresnel Equation para sa perpendikular na polarized light (S-Polarization).

Ngayon, derived natin ang mga equation para sa parallel polarized light (P-Polarization).

Para sa S-Polarization, ang mga equation para sa E-field at B-field ay;

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Ginagamit namin ang sumusunod na relasyon sa pagitan ng B at E upang alisin ang B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Ilagay ang halagang ito sa eq-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Ngayon, para sa reflection coefficient t, mula sa eq-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Ilagay ang halagang ito sa eq-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Bilang resumo sa apat na ekwasyon ni Fresnel,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Pahayag: Igalang ang orihinal na mga artikulo na may halaga at karapat-dapat ibahagi, kung mayroong pagsasamantalang ipinapahayag mangyari lamang makipag-ugnayan upang ito ay maalis.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Inhenyerong Pagsilbing Liwanag

Teorya ng Liwanag

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607