Fresnelove jednadžbe: Što su to? (Izvođenje i objašnjenje)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što su Fresnelove jednadžbe?

Fresnelove jednadžbe (poznate i kao Fresnelovi koeficijenti) definirane su kao omjer električnog polja odbijene i proširene valne dobre u odnosu na električno polje incidentnog vala. Taj omjer je kompleksan i stoga opisuje relativnu amplitudu te fazne pomake između valova.

Fresnelove jednadžbe (Fresnelovi koeficijenti) opisuju odbijanje i proširenje svjetlosti kada pada na granicu između dva različita sredstva. Fresnelove jednadžbe uveli su Augustin-Jean Fresnel. On je prvi shvatio da je svjetlost transverzalni val.

Kada svjetlost pada na površinu dielektrika, ona će se odbiti i lomiti kao funkcija kuta pada. Smjer odbijenog vala daje "Zakon odbijanja".

Fresnelov efekt vidljiv je u svakodnevnom životu. Može se vidjeti na sjajnim kao i na grubim površinama. Taj efekt jasno je vidljiv na površini vode. Kada svjetlost pada na vodu iz zračnog sredstva, svjetlost će se odbiti prema kutu pada.

Fresnelov efekt je svuda. Ako pokušate pogledati oko sebe, pronaći ćete mnoge primjere. Taj efekt značajno ovisi o kutu pada.

Kut pada je kut između linije vida i površine objekta koji promatrajete. Sljedeća slika pokazuje učinak kuta pada u Fresnelovom odbijanju.

S i P polarizacija

Ravnina koja sadrži normalu površine i vektor širenja dolazeće radijacije poznata je kao ravnina pada ili ravnina pada.

Ravnina pada igra važnu ulogu u jačini odbijanja polarizacije incidentne svjetlosti. Polarizacija definirana je kao svojstvo transverzalnog vala koje specificira geometrijsku orijentaciju oscilacije.

Postoje dvije vrste polarizacije;

S-polarizacija
P-polarizacija

Kada je polarizacija svjetlosti okomita na ravninu pada, polarizacija se naziva S-polarizacija. Riječ 'S' potječe od njemačke riječi senkrecht što znači okomit. S-polarizacija poznata je i kao Transverzalni Električni (TE).

Kada je polarizacija svjetlosti paralelna ravnini pada ili se nalazi u ravnini pada, ta ravnina se naziva P-polarizacija. S-polarizacija također se zove Transverzalni magnetni (TM).

Sljedeća slika pokazuje da se padaška svjetlost odbija i prolaže u S-polarizaciji i P-polarizaciji.

Fresnelove jednadžbe kompleksni indeks loma

Fresnelove jednadžbe su kompleksne jednadžbe, što znači da uzimaju u obzir i magnitudu i fazu. Fresnelove jednadžbe predstavljaju elektromagnetsko polje kompleksnom amplitudom, uzimajući u obzir fazu osim snage.

Ove jednadžbe predstavljaju omjere elektromagnetskog polja i dolaze u različitim formama. Kompleksne amplitudne koeficijente predstavljaju r i t.

Koeficijent odbijanja 'r' je omjer kompleksne amplitudne vrijednosti električnog polja odbijenog vala na padaški val. A koeficijent odbijanja 't' je omjer kompleksne amplitudne vrijednosti električnog polja prolažnog vala na padaški val.

Kao što je prikazano na gornjoj slici, pretpostavili smo da je kut pada θi, odbijen pod kutom θr i prolažen pod kutom θt.

Ni su lomni indeksi medija padaške svjetlosti, a Nt su lomni indeksi medija prolažne svjetlosti.

Stoga, postoji četiri Fresnelove jednadžbe; dvije jednadžbe za koeficijent odbijanja 'r' to jest (rp i rs) i dvije jednadžbe za koeficijent odbijanja 't' to jest (tp i ts).

Izvođenje Fresnelovih jednadžbi

Pretpostavimo da padaška svjetlost odbija kao što je prikazano na gornjoj slici. U prvom slučaju, izvest ćemo Fresnelovu jednadžbu za S-polarizaciju.

Za S-polarizaciju, paralelni komponent E i okomit komponent B su kontinuirani preko granice između dva medija.

Stoga, iz granicnih uvjeta, možemo napisati jednadžbe za E-polje i B-polje,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Koristimo sljedeću relaciju između B i E kako bismo eliminirali B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

I iz zakona odbijanja,

$\theta_i = \theta_r$

Uvrstimo ovu vrijednost u jednadžbu (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Sada, za koeficijent refleksije t, iz jed. 1 i jed. 4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

To su Fresnelove jednadžbe za okomito polarinizirano svjetlo (S-polarizacija).

Sada, izvedimo jednadžbe za paralelno polarinizirano svjetlo (P-polarizacija).

Za S-polarizaciju, jednadžbe za E-polje i B-polje su:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Koristimo sljedeću relaciju između B i E kako bismo eliminirali B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Umetnite ovu vrijednost u jednadžbu-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Sada, za koeficijent odraženja t, iz jednadžbe-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Uvrstite ovu vrijednost u jednadžbu-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Sažmimo sve četiri Fresnelove jednadžbe,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijedi dijeliti, ako je došlo do povrede autorskih prava, obratite se za brisanje.

Daj nagradu i ohrabri autora

Teme:

Inženjerstvo osvjetljenja

Teorija svjetlosti

O stručnjacima

Electrical4u

China

Preporučeno

Više

Koji su prednosti osjetilačkih svjetala?

Pametno očitavanje i ugodnostSenzorska svjetla koje reagiraju na pokret koriste tehnologiju očitavanja kako bi automatski prepoznala okruženje i ljudske aktivnosti, upaljuju se kada netko prođe pored njih i gasnu kada niko nije prisutan. Ova pametna značajka pruža veliku ugodnost korisnicima, eliminirajući potrebu za ručnim upaljivanjem svjetala, posebno u tamnim ili slabo osvijetljenim okruženjima. Brzo osvijetljava prostor, omogućujući korisnicima lakše hodanje ili bavljenje drugim aktivnostim

Encyclopedia

10/30/2024

Koja je razlika između hladnog katoda i vrućeg katoda u razrješavajućim svjetiljkama

Glavne razlike između hladnog i toplinskog katoda u razrjevnim lampama su sljedeće:Princip svjetljenja Hladni katod: Lampske s hladnim katodom generiraju elektrone putem svjetlosti raspršenja, koja bombardiraju katod te stvaraju sekundarne elektrone, čime se održava proces raspršenja. Struja katoda uglavnom dolazi od pozitivnih iona, što rezultira manjom strujom, tako da katod ostaje na niskoj temperaturi. Topli katod: Lampa s toplim katodom generira svjetlo zagrijavanjem katoda (obično wolframs

Encyclopedia

10/30/2024

Koje su nedostatke svjetiljki LED?

Nedostaci LED svjetlikaIako LED svjetlika imaju mnogo prednosti, poput učinkovitosti, dugog vijeka trajanja i prijateljskog odnosa prema okolišu, imaju i nekoliko nedostataka. Evo glavnih nedostataka LED svjetlika:1. Visoka početna cijena Cijena: Početna kupovna cijena LED svjetlika je obično viša od tradicionalnih žarulja (poput štapićnih ili fluorescentnih). Iako LED svjetlika na dugi rok mogu uštedjeti novac na strujanju i troškovima zamjene zbog niske potrošnje energije i dugog vijeka trajan

Encyclopedia

10/29/2024

Postoje li neke oprezne mjere prilikom povezivanja komponenti solarnih uličnih svjetila

Preventivne mjere prilikom spajanja komponenti solarnih uličnih svjetilaSpajanje komponenti sustava solarnih uličnih svjetila je ključna zadaća. Ispravno spajanje osigurava normalnu i sigurnu radnju sustava. Evo nekoliko važnih preventivnih mjera koje treba slijediti prilikom spajanja komponenti solarnih uličnih svjetila:1. Sigurnost na prvom mjestu1.1 Isključite strujuPrije rada: Osigurajte da su svi izvori struje sustava solarnih uličnih svjetila isključeni kako biste spriječili nesreće usljed

Encyclopedia

10/26/2024