معادلات فرنل: آنها چیست؟ (استخراج و توضیح)

فیلد: مقدماتی برق

China

معادلات فریسنل چیست؟

معادلات فریسنل (که به عنوان ضرایب فریسنل نیز شناخته می‌شوند) به نسبت میدان الکتریکی امواج بازتاب شده و عبوری به میدان الکتریکی امواج وارد شده تعریف می‌شوند. این نسبت پیچیده است و بنابراین، آن را به صورت دامنه نسبی و همچنین اختلاف فاز بین امواج توصیف می‌کند.

معادلات فریسنل (ضرایب فریسنل) بازتاب و عبور نور را در زمان برخورد آن با مرز بین دو محیط مختلف توصیف می‌کنند. معادلات فریسنل توسط اوگوستین-ژان فریسنل معرفی شدند. او اولین کسی بود که فهمید نور یک موج عرضی است.

وقتی نور بر روی سطح یک دی الکتریک برخورد می‌کند، به صورت تابعی از زاویه ورود بازتاب و شکست خواهد یافت. جهت امواج بازتاب شده توسط "قانون بازتاب" تعیین می‌شود.

اثر فریسنل در زندگی روزمره مشاهده می‌شود. این اثر می‌تواند در سطوح لمعانی و همچنین سطوح خشن مشاهده شود. این اثر در سطح آب بسیار واضح است. وقتی نور از محیط هوا به آب برخورد می‌کند، نور به صورت تابعی از زاویه ورود بازتاب می‌یابد.

اثر فریسنل همه جا وجود دارد. اگر به دور خود نگاه کنید، مثال‌های زیادی از آن خواهید یافت. این اثر بسیار به زاویه ورود بستگی دارد.

زاویه ورود زاویه بین خط دید و سطح شیء‌ای است که به آن نگاه می‌کنید. شکل زیر اثر زاویه ورود در بازتاب فریسنل را نشان می‌دهد.

قطبیت S و P

صفحه‌ای که شامل نرمال سطح و بردار انتشار تابش وارد شده است، به عنوان صفحه ورود یا صفحه حادث شناخته می‌شود.

صفحه حادث نقش مهمی در قوت بازتاب قطبیت نور حادث دارد. قطبیت به عنوان یک ویژگی موج عرضی که جهت هندسی ارتعاش را مشخص می‌کند، تعریف می‌شود.

دو نوع قطبیت وجود دارد؛

قطبیت S
قطبیت P

وقتی قطبیت نور عمود بر صفحه حادث باشد، قطبیت به عنوان قطبیت S شناخته می‌شود. کلمه 'S' از کلمه آلمانی 'senkrecht' که به معنای عمود است، گرفته شده است. قطبیت S همچنین به عنوان الکتریک عرضی (TE) نیز شناخته می‌شود.

وقتی قطبش نور موازی با صفحه ورود یا در صفحه ورود قرار دارد، این صفحه به عنوان P-قطبش شناخته می‌شود. S-قطبش نیز به عنوان مغناطیسی عرضی (TM) شناخته می‌شود.

در شکل زیر نشان داده شده است که نور ورودی در S-قطبش و P-قطبش منعکس و منتقل می‌شود.

معادلات فرسن با شاخص پراکنش پیچیده

معادلات فرسن معادلات پیچیده‌ای هستند که به معنای آن است که هم مقدار و هم فاز را در نظر می‌گیرند. معادلات فرسن به صورت دامنه پیچیده میدان الکترومغناطیسی بیان می‌شوند که فاز را علاوه بر توان در نظر می‌گیرند.

این معادلات نسبت‌هایی از میدان الکترومغناطیسی هستند و در اشکال مختلفی بیان می‌شوند. ضرایب دامنه پیچیده با r و t نمایش داده می‌شوند.

ضریب انعکاس 'r' نسبت دامنه پیچیده میدان الکتریکی موج انعکاسی به موج ورودی است. و ضریب انتقال 't' نسبت دامنه پیچیده میدان الکتریکی موج منتقل شده به موج ورودی است.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، ما فرض کرده‌ایم که زاویه ورود θi، در زاویه θr انعکاس می‌یابد و در زاویه θt منتقل می‌شود.

Ni شاخص‌های انکسار محیط نور ورودی و Nt شاخص‌های انکسار محیط نور منتقل شده است.

بنابراین، چهار معادله فرسن وجود دارد؛ دو معادله برای ضریب انعکاس 'r' که (rp و rs) و دو معادله برای ضریب انتقال 't' که (tp و ts) هستند.

استخراج معادلات فرسن

فرض کنید که نور ورودی مانند شکل بالا انعکاس می‌یابد. در ابتدا، یک معادله فرسن برای S-قطبش استخراج خواهد شد.

برای S-قطبش، مولفه موازی E و مولفه عمودی B در مرز بین دو محیط پیوسته هستند.

بنابراین از شرایط مرزی، می‌توانیم معادلات را برای میدان الکتریکی و مغناطیسی بنویسیم،

(۱) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

از رابطه زیر بین B و E برای حذف B استفاده می‌کنیم.

$B = \frac{nE}{c_0}$

و از قانون بازتاب،

$\theta_i = \theta_r$

این مقدار را در معادله ۲ جایگزین می‌کنیم،

(۳)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۴)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۵)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۶)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۷)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(۸)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

(۹

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

اکنون، برای ضریب بازتاب t، از معادلات (۱) و (۴)،

(۱۰

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۱)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۲)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۳)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۴

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

این معادلات فرنسوئل برای نور با قطبش عمودی (S-قطبی) هستند.

حالا، معادلات را برای نور با قطبش موازی (P-قطبی) استخراج می‌کنیم.

برای قطبش S، معادلات میدان الکتریکی و مغناطیسی به شرح زیر است:

(۱۵)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۱۶)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

از رابطه زیر بین B و E برای حذف B استفاده می‌کنیم.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(۱۷)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

این مقدار را در معادله ۱۵ قرار دهید،

(۱۸)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۱۹)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۲۰)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۲۱)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۲۲)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(۲۳)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(۲۴)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

اکنون، برای ضریب بازتاب t، از معادله ۱۷

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

این مقدار را در معادله ۱۵ قرار دهید

(۲۵)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۲۶)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۲۷)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۲۸)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۲۹)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(۳۰

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

بیایید تمام چهار معادله فرنهل را خلاصه کنیم،

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

بیانیه: احترام به متن اصلی، مقالات خوبی که شایسته به اشتراک گذاری هستند، در صورت تخلف لطفاً برای حذف تماس بگیرید.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

مهندسی روشنایی

نظریه نور

درباره متخصصان

Electrical4u

China

توصیه شده

بیشتر

چه مزایایی برای چراغ های حسگر حرکت وجود دارد

حساسیت هوشمندانه و راحتیچراغ‌های حسگر حرکت از فناوری حسگر برای شناسایی خودکار محیط اطراف و فعالیت‌های انسانی استفاده می‌کنند، به گونه‌ای که هنگام عبور افراد روشن می‌شوند و در غیاب افراد خاموش می‌گردند. این ویژگی حسگری هوشمند راحتی بسیاری برای کاربران ایجاد می‌کند، با حذف نیاز به روشن کردن دستی چراغ‌ها، به ویژه در محیط‌های تاریک یا کم‌نور. این چراغ‌ها سریعاً فضا را روشن می‌کنند و راه‌رفتن یا انجام دیگر فعالیت‌ها را برای کاربران تسهیل می‌کنند.صرفه‌جویی در انرژی و حفاظت از محیط زیستچراغ‌های حسگر حر

Encyclopedia

10/30/2024

چه تفاوتی بین کاتد سرد و کاتد گرم در لامپ‌های دسنتگی وجود دارد

تفاوت‌های اصلی بین کاتد سرد و کاتد گرم در لامپ‌های دسنتروژن به شرح زیر است:اصول تابش نور کاتد سرد: لامپ‌های کاتد سرد الکترون‌ها را از طریق دسنتروژن متألّق تولید می‌کنند که با برخورد به کاتد الکترون‌های ثانویه را تولید می‌کنند و در نتیجه فرآیند دسنتروژن را حفظ می‌کنند. جریان کاتد عمدتاً توسط یون‌های مثبت ایجاد می‌شود که منجر به جریان کمتر و در نتیجه کاتد در دمای پایین باقی می‌ماند. کاتد گرم: لامپ‌های کاتد گرم با گرم کردن کاتد (معمولاً سیم تنگستن) به دمای بالا، الکترون‌های روی سطح کاتد را به دلیل

Encyclopedia

10/30/2024

چه محدودیت‌هایی برای چراغ‌های LED وجود دارد

محدودیت‌های لامپ‌های LEDدر حالی که لامپ‌های LED دارای مزایای زیادی مانند کارایی انرژی، طول عمر طولانی و دوستدار محیط زیست هستند، اما نقص‌هایی نیز دارند. در اینجا نقص‌های اصلی لامپ‌های LED آورده شده است:1. هزینه اولیه بالا قیمت: هزینه خرید اولیه لامپ‌های LED معمولاً بالاتر از لامپ‌های سنتی (مانند لامپ‌های کهربایی یا فلورسنت) است. با این حال، در بلندمدت، لامپ‌های LED می‌توانند با توجه به مصرف انرژی پایین و طول عمر طولانی، هزینه‌های برق و تعویض را کاهش دهند، اما سرمایه‌گذاری اولیه بالاتر است.2. مشک

Encyclopedia

10/29/2024

آیا هنگام اتصال مولفه‌های چراغ خیابانی خورشیدی احتیاط‌هایی وجود دارد

دقت‌های مربوط به کابل‌کشی اجزای چراغ خیابانی خورشیدیکابل‌کشی اجزای سیستم چراغ خیابانی خورشیدی یک وظیفه حیاتی است. کابل‌کشی صحیح اطمینان می‌دهد که سیستم به طور عادی و ایمن عمل می‌کند. در ادامه برخی از دقت‌های مهم را که باید هنگام کابل‌کشی اجزای چراغ خیابانی خورشیدی رعایت شود، آورده‌ایم:1. ایمنی به عنوان اولویت اول1.1 قطع برققبل از عملیات: مطمئن شوید که تمام منابع تغذیه سیستم چراغ خیابانی خورشیدی خاموش شده‌اند تا از حوادث شوک الکتریکی پرهیز شود.1.2 استفاده از ابزارهای عایق‌دارابزارها: از ابزارهای

Encyclopedia

10/26/2024