Fresnels ekvationer: Vad är de? (Derivering & Förklaring)

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är Fresnels ekvationer?

Fresnels ekvationer (även kända som Fresnelkoefficienter) definieras som förhållandet mellan elektriska fältet av en reflekterad och transmitterad våg till elektriska fältet av den inkommande vågen. Detta förhållande är komplexa och beskriver därför relativ amplitud samt fasförskjutningar mellan vågorna.

Fresnels ekvationer (Fresnelkoefficienter) beskriver reflektionen och transmissionen av ljus när det träffar ett gränssnitt mellan två olika medier. Fresnels ekvationer introducerades av Augustin-Jean Fresnel. Han var den förste som förstod att ljus är en transversal våg.

När ljuset träffar ytan av en dieletrik kommer det att reflekteras och refraktas beroende på inkomstvinkeln. Riktningen för den reflekterade vågen ges av "Lagen om reflektion".

Fresneleffekten ses i vardagslivet. Den kan ses på både blanka och röra ytor. Denna effekt är mycket tydlig på vattenytan. När ljus träffar vatten från luftmediet, kommer ljuset att reflekteras beroende på inkomstvinkeln.

Fresneleffekten finns överallt. Om du försöker se runt dig, kommer du att hitta många exempel. Denna effekt beror starkt på inkomstvinkeln.

Inkomstvinkeln är vinkeln mellan synlinjen och ytan av det objekt du tittar på. Följande figur visar effekten av inkomstvinkeln i Fresnelreflektion.

S- och P-polarisering

Planet som har normalen till ytan och propagationsvektorn för det inkommande strålningen kallas för incidensplanet eller incidensplanet.

Incidensplanet spelar en viktig roll i styrkan av reflektionen av den polariserade inkommande ljusstrålen. Polarisation definieras som en egenskap hos en transversal våg som specificerar den geometriska orienteringen av svängningen.

Det finns två typer av polarisering;

S-polarisering
P-polarisering

När polariseringen av ljus är vinkelrät mot incidensplanet kallas polariseringen för S-polarisering. Ordet 'S' kommer från det tyska ordet senkrecht som betyder vinkelrätt. S-polarisering är också känd som Transverse Electric (TE).

När polarisationen av ljus är parallell med det inkommande planet eller ligger i det inkommande planet kallas detta P-polarisation. S-polarisation kallas också för transversal magnetisk (TM).

Följande figur visar att det inkommande ljuset reflekteras och överförs i S-polarisation och P-polarisation.

Fresnels ekvationer komplex refraktionsindex

Fresnels ekvationer är en komplex ekvation, vilket betyder att de tar hänsyn till både magnitud och fas. Fresnels ekvationer representeras i termer av den elektromagnetiska fältets komplexa amplitud som tar hänsyn till fasen utöver effekten.

Dessa ekvationer är förhållandet mellan ett elektromagnetiskt fält och de formuleras på olika sätt. De komplexa amplitudkoefficienterna representeras av r och t.

Reflektionskoefficienten 'r' är förhållandet mellan det komplexa amplitudvärdet av det reflekterade vågfrontens elektriska fält och det inkommande vågfrontens elektriska fält. Och reflektionskoefficienten 't' är förhållandet mellan det komplexa amplitudvärdet av det överförda vågfrontens elektriska fält och det inkommande vågfrontens elektriska fält.

Som visas i figuren ovan har vi antagit att inkomstvinkeln är θi, reflekterad vid en vinkel av θr och överförd vid en vinkel av θt.

Ni är brekningsexponenten för mediumet för det inkommande ljuset och Nt är brekningsexponenten för mediumet för det överförda ljuset.

Det finns därför fyra Fresnels ekvationer; två ekvationer för reflektionskoefficienten 'r' (rp och rs) och två ekvationer för reflektionskoefficienten 't' (tp och ts).

Fresnels ekvationers härledning

Låt oss anta att det inkommande ljuset reflekteras som visas i figuren ovan. I det första fallet kommer vi att härleda en Fresnels ekvation för S-polarisation.

För S-polarisation är parallellkomponenten E och vinkelrät komponenten B kontinuerlig över gränsen mellan de två medierna.

Därför kan vi skriva ekvationer för E-fältet och B-fältet utifrån randvillkoren,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Vi använder följande relation mellan B och E för att eliminera B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Och enligt reflektionslagen,

$\theta_i = \theta_r$

Sätt in detta värde i ekv-2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Nu, för reflektionskoefficienten t, från ekv-1 och ekv-4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Dessa är Fresnels ekvationer för perpendikulärt polariserat ljus (S-polarisering).

Låt oss nu härleda ekvationer för parallellt polariserat ljus (P-polarisering).

För S-polarisering gäller följande ekvationer för E-fältet och B-fältet:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Vi använder följande relation mellan B och E för att eliminera B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Sätt detta värde i ekv. 15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Nu, för reflektionskoefficienten t, från ekv-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Sätt in detta värde i ekv-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Låt oss sammanfatta alla fyra Fresnels ekvationer,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Uttalesning: Respektera originaltexten, bra artiklar är värda att dela, om det finns upphovsrättsskyddade material kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Belysningsingenjörskonst

Ljusets teori

Om experter

Electrical4u

China

Rekommenderad

Mer

Vilka är fördelarna med rörelsesensorbelysning?

Smart Sensing och BekvämlighetRörelsedetekterande ljus använder sensor teknologi för att automatiskt detektera omgivningen och mänsklig aktivitet, tänds när någon passerar och släcks när ingen är närvarande. Denna intelligenta sensorfunktion erbjuder stort bekvämlighet för användare genom att eliminera behovet av manuellt att slå på ljuset, särskilt i mörka eller svagt upplysta miljöer. Det belyser snabbt utrymmet, vilket underlättar användarnas gång eller andra aktiviteter.Energisparing och Mil

Encyclopedia

10/30/2024

Vad är skillnaden mellan en kall katod och en varm katod i gasutsläcktslampor?

Huvuddragen mellan kall katod och varm katod i gasutsläcktslampor är följande:Ljusprincip Kall Katod: Kall katodlamper genererar elektroner genom glödladdning, vilka bombarderar katoden för att producera sekundära elektroner, vilket håller laddningsprocessen vid liv. Strömmen i katoden bidrar huvudsakligen av positiva jonerna, vilket resulterar i ett litet ström, så katoden förblir vid en låg temperatur. Varm Katod: En varm katodlampa producerar ljus genom att värma upp katoden (vanligtvis en wo

Encyclopedia

10/30/2024

Vilka är nackdelarna med LED-belysning?

Nackdelar med LED-lamporÄven om LED-lampor har många fördelar, såsom energieffektivitet, lång livslängd och miljövänlighet, har de också flera nackdelar. Här är de huvudsakliga bristerna med LED-lampor:1. Högt initiala kostnader Pris: Den inledande inköpskostnaden för LED-lampor är vanligtvis högre än för traditionella glödlampor (som glödlampor eller fluorescentlampor). Även om LED-lampor på lång sikt kan spara pengar på el och ersättningskostnader tack vare sin låga energiförbrukning och långa

Encyclopedia

10/29/2024

Finns det några försiktighetsåtgärder vid kablage av solgatlyskomponenter

Försiktighetsåtgärder vid kablage av solgatlyssystemkomponenterKablage av komponenter i ett solgatlyssystem är en viktig uppgift. Rätt kablage säkerställer att systemet fungerar normalt och säkert. Här följer några viktiga försiktighetsåtgärder som ska följas vid kablage av solgatlyssystemkomponenter:1. Säkerhet först1.1 Stäng av strömmenInnan operation: Se till att alla strömkällor i solgatlyssystemet är avstängda för att undvika elektriska olyckor.1.2 Använd isolerade verktygVerktyg: Använd is

Encyclopedia

10/26/2024