फ्रेस्नेल समीकरण: वे क्या हैं? (प्राप्ति और स्पष्टीकरण)

फील्ड: बुनियादी विद्युत

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फ्रेस्नल समीकरण क्या हैं?

फ्रेस्नल समीकरण (जिन्हें फ्रेस्नल गुणांक भी कहा जाता है) परावर्तित और प्रसारित तरंगों के विद्युत क्षेत्र के आपतन तरंग के विद्युत क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किए गए हैं। यह अनुपात जटिल है और इसलिए, यह तरंगों के बीच सापेक्ष आयाम और ध्रुवीय विस्थापन दोनों का वर्णन करता है।

फ्रेस्नल समीकरण (फ्रेस्नल गुणांक) दो अलग-अलग माध्यमों के बीच के इंटरफ़ेस पर प्रकाश के परावर्तन और प्रसारण का वर्णन करते हैं। फ्रेस्नल समीकरण ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नल द्वारा पेश किए गए थे। वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने समझा कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है।

जब प्रकाश डाइइलेक्ट्रिक की सतह पर आपतित होता है, तो यह आपतन कोण के फलस्वरूप परावर्तित और अपवर्तित होता है। परावर्तित तरंग की दिशा "परावर्तन का नियम" द्वारा दी जाती है।

फ्रेस्नल प्रभाव नियमित जीवन में देखा जाता है। यह चमकदार और रुखी-सुखी सतहों पर भी देखा जा सकता है। यह प्रभाव जल सतह पर बहुत स्पष्ट होता है। जब प्रकाश वायु माध्यम से जल पर आपतित होता है, तो प्रकाश आपतन कोण के अनुसार परावर्तित होता है।

फ्रेस्नल प्रभाव हर जगह है। अगर आप चारों ओर देखने का प्रयास करें, तो आप कई उदाहरण पाएंगे। यह प्रभाव बहुत अधिक आपतन कोण पर निर्भर करता है।

आपतन कोण दृश्य रेखा और वस्तु की सतह के बीच का कोण होता है जिसे आप देख रहे हैं। नीचे दिए गए चित्र में फ्रेस्नल परावर्तन में आपतन कोण का प्रभाव दिखाया गया है।

S और P ध्रुवीयकरण

उस तल को आपतन तल या आपतन तल कहा जाता है जिसमें सतह के लंबवत और आने वाली विकिरण का प्रसारण सदिश होता है।

आपतन तल आपतित प्रकाश ध्रुवीयकरण के परावर्तन की ताकत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ध्रुवीयकरण को एक अनुप्रस्थ तरंग की वह गुणवत्ता के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दोलन की ज्यामितीय संरचना को निर्दिष्ट करती है।

दो प्रकार के ध्रुवीयकरण होते हैं;

S-ध्रुवीयकरण
P-ध्रुवीयकरण

जब प्रकाश का ध्रुवीयकरण आपतन तल के लंबवत होता है, तो इसे S-ध्रुवीयकरण कहा जाता है। 'S' शब्द जर्मन शब्द senkrecht से आता है, जिसका अर्थ है लंबवत। S-ध्रुवीयकरण को ट्रांसवर्स इलेक्ट्रिक (TE) भी कहा जाता है।

जब प्रकाश का ध्रुवीकरण घटनात्मक तल के समानांतर होता है या घटनात्मक तल में स्थित होता है। इस तल को P-ध्रुवीकरण कहा जाता है। S-ध्रुवीकरण को ट्रांसवर्स मैग्नेटिक (TM) भी कहा जाता है।

नीचे दिए गए आंकड़े दिखाते हैं कि घटनात्मक प्रकाश S-ध्रुवीकरण और P-ध्रुवीकरण में परावर्तित और प्रसारित होता है।

फ्रेस्नेल समीकरण सम्मिश्र अपवर्तनांक

फ्रेस्नेल समीकरण एक जटिल समीकरण है जिसका अर्थ है कि यह विस्तार और चरण दोनों को ध्यान में रखता है। फ्रेस्नेल समीकरण विद्युत चुंबकीय क्षेत्र के जटिल आयाम के पदों में व्यक्त किए जाते हैं जो शक्ति के अलावा चरण को भी ध्यान में रखते हैं।

ये समीकरण विद्युत चुंबकीय क्षेत्र के अनुपात हैं और ये विभिन्न रूपों में बनाए जाते हैं। जटिल आयाम गुणांक r और t द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

प्रतिबिंब गुणांक 'r' प्रतिबिंबित तरंग के विद्युत क्षेत्र के जटिल आयाम और घटनात्मक तरंग के अनुपात है। और प्रतिबिंब गुणांक 't' प्रसारित तरंग के विद्युत क्षेत्र के जटिल आयाम और घटनात्मक तरंग के अनुपात है।

ऊपर दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है, हमने माना कि घटनात्मक कोण θ_i, प्रतिबिंबित कोण θ_r, और प्रसारित कोण θ_t है।

N_i घटनात्मक प्रकाश के माध्यम का अपवर्तनांक है और N_t प्रसारित प्रकाश के माध्यम का अपवर्तनांक है।

इस प्रकार, चार फ्रेस्नेल समीकरण हैं; दो समीकरण प्रतिबिंब गुणांक 'r' के लिए जो (r_p और r_s) हैं और दो समीकरण प्रतिबिंब गुणांक 't' के लिए जो (t_p और t_s) हैं।

फ्रेस्नेल समीकरणों का व्युत्पन्न

मान लीजिए कि घटनात्मक प्रकाश ऊपर दिए गए आंकड़े के अनुसार प्रतिबिंबित होता है। पहले मामले में, हम S-ध्रुवीकरण के लिए एक फ्रेस्नेल समीकरण व्युत्पन्न करेंगे।

S-ध्रुवीकरण के लिए, समानांतर घटक E और लंबवत घटक B दो माध्यमों के बीच की सीमा पर निरंतर होते हैं।

इस प्रकार सीमा परिस्थिति से, हम E-फील्ड और B-फील्ड के लिए समीकरण लिख सकते हैं,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

हम B और E के बीच निम्न संबंध का उपयोग B को निकालने के लिए करते हैं।

$B = \frac{nE}{c_0}$

और प्रतिबिंब के नियम से,

$\theta_i = \theta_r$

इस मान को eq-2 में रखें,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

अब, प्रतिबिंब गुणांक t के लिए, eq-1 और eq-4 से,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

ये लम्बवत ध्रुवित प्रकाश (S-ध्रुवण) के लिए फ्रेस्नल समीकरण हैं।

अब, समानांतर ध्रुवित प्रकाश (P-ध्रुवण) के लिए समीकरणों को विकसित करते हैं।

S-ध्रुवण के लिए, E-फील्ड और B-फील्ड के समीकरण हैं;

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

हम B और E के बीच निम्न संबंध का उपयोग B को हटाने के लिए करते हैं।

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

इस मान को समीकरण-15 में रखें,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

अब, प्रतिबिंबन गुणांक t के लिए, समीकरण-17 से

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

इस मान को समीकरण-15 में रखें

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

आइए सभी चार फ्रेस्नल के समीकरणों का सारांश दें,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

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