Fresnel-ligninger: Hvad er de? (Afvledning & Forklaring)

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

Hvad er Fresnels ligninger?

Fresnels ligninger (også kendt som Fresnel koefficienter) defineres som forholdet mellem elektrisk felt af en reflekteret og transmitteret bølge til elektrisk feltet af den indgående bølge. Dette forhold er komplekst og beskriver derfor både relativ amplitude samt faseskift mellem bølgerne.

Fresnels ligninger (Fresnel koefficienter) beskriver refleksion og transmission af lys, når det rammer grænsen mellem to forskellige materialer. Fresnels ligninger blev introduceret af Augustin-Jean Fresnel. Han var den første, der forstod, at lys er en tvær bølge.

Når lys rammer overfladen af et dielektrisk materiale, vil det blive reflekteret og refrakteret som en funktion af incidensvinklen. Retningen af den reflekterede bølge er givet ved "Refleksionsloven".

Fresnel-effekten ses i dagligdagen. Den kan ses på både glatte og rå overflader. Effekten er meget tydelig på vands overflade. Når lys fra luften rammer vand, vil lyset blive reflekteret i henhold til incidensvinklen.

Fresnel-effekten findes overalt. Hvis du ser dig omkring, vil du finde mange eksempler. Denne effekt afhænger stærkt af incidensvinklen.

Incidensvinklen er vinklen mellem sigtekilden og overfladen af det objekt, du ser på. Figuren nedenfor viser effekten af incidensvinklen i Fresnel-refleksion.

S- og P-polarisation

Planet, der har overfladenormalen og propagationsvektoren for det indgående stråling, kaldes for incidensplanet eller incidensplanen.

Incidensplanet spiller en vigtig rolle i styrken af refleksion af polariseret lys. Polarisation defineres som en egenskab af en tvær bølge, der specificerer den geometriske orientering af oscillationen.

Der findes to typer polarisation;

S-polarisation
P-polarisation

Når polarisationen af lyset er vinkelret på incidensplanet, kaldes polarisationen S-polarisation. 'S' kommer fra det tyske ord senkrecht, der betyder vinkelret. S-polarisation er også kendt som Transversal Elektrisk (TE).

Når polarisationen af lyset er parallel med hændelsesplanen eller ligger i hændelsesplanen, kaldes denne plan for P-polarisation. S-polarisation er også kendt som Transverse Magnetisk (TM).

Følgende figur viser, at det indgående lys reflekteres og transmitteres i S-polarisation og P-polarisation.

Fresnel-ligninger kompleks brydningsindex

Fresnel-ligninger er komplekse ligninger, hvilket betyder, at de tager både størrelse og fase i betragtning. Fresnel-ligninger repræsenteres ved hjælp af den komplekse amplitud af elektromagnetiske felt, der tager fase i betragtning ud over effekt.

Disse ligninger er forholdet mellem et elektromagnetisk felt, og de opstilles i forskellige former. De komplekse amplitudskoefficienter repræsenteres af r og t.

Refleksionskoefficienten 'r' er forholdet mellem den komplekse amplitud af det reflekterede bølgefelt til det indgående bølgefelt. Og transmissionskoefficienten 't' er forholdet mellem den komplekse amplitud af det transmitterede bølgefelt til det indgående bølgefelt.

Som vist på figuren ovenfor, har vi antaget, at indfaldsvinklen er θi, reflekteret ved en vinkel θr, og transmitteret ved en vinkel θt.

Ni er brydningsindeksen for mediumet for det indgående lys, og Nt er brydningsindeksen for mediumet for det transmitterede lys.

Der findes fire Fresnel-ligninger; to ligninger for refleksionskoefficienten 'r', nemlig (rp og rs), og to ligninger for transmissionskoefficienten 't', nemlig (tp og ts).

Afledning af Fresnel-ligninger

Lad os antage, at det indgående lys reflekteres, som vist på figuren ovenfor. I det første tilfælde vil vi aflede en Fresnel-ligning for S-polarisation.

For S-polarisation er den parallelle komponent E og den vinkelrette komponent B kontinuerlige over grænsen mellem de to medier.

Derfor kan vi skrive ligninger for E-feltet og B-feltet ud fra randbetingelsen,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Vi bruger følgende relation mellem B og E for at eliminere B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Og ifølge refleksionsloven,

$\theta_i = \theta_r$

Indsæt denne værdi i ligning 2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Nu, for refleksionskoefficienten t, fra ligning 1 og ligning 4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Dette er Fresnels ligninger for vinkelret polariseret lys (S-Polarisation).

Lad os nu udlede ligninger for parallelpolariseret lys (P-Polarisation).

For S-Polarisation er ligningerne for E-felt og B-felt følgende:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Vi bruger nedenstående relation mellem B og E for at eliminere B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Indsæt denne værdi i ligning-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Nu, for refleksionskoefficient t, fra ligning-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Indsæt denne værdi i ligning-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Lad os opsummere alle fire Fresnels ligninger,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Erklæring: Respektér den originale, gode artikler er værd at dele, hvis der er overtrædelse, kontakt venligst for sletning.

Giv en gave og opmuntre forfatteren

Emner:

Belysningsteknik

Lys Teori

Om eksperter

Electrical4u

China

Anbefalet

Mere

Hvad er fordelene ved bevægelsessensorlys?

Smart Sensing og BevægelighedBevægelsessensorlygte bruger sensor teknologi til automatisk at registrere omgivelserne og menneskelig aktivitet, tændes når nogen passerer forbi og slukkes når ingen er til stede. Denne intelligente sensorfunktion giver stor bekvemmelighed for brugere, idet det undgår behovet for manuelt at tænde lyset, især i mørke eller dårligt oplyste miljøer. Det lysner hurtigt rummet, hvilket gør det lettere for brugerne at gå rundt eller udføre andre aktiviteter.Energibesparel

Encyclopedia

10/30/2024

Hvad er forskellen mellem en kold katode og en varm katode i udslipslamper?

De vigtigste forskelle mellem kolde katoder og varme katoder i udløsningslamper er som følger:Lysprincip Kold Katode: Kolde katodelamper genererer elektroner gennem glødning, hvilket bombarderer katoden for at producere sekundære elektroner, og således opretholder udløsningen. Katodestrømmen bidrager hovedsageligt med positive ioner, hvilket resulterer i en lille strøm, så katoden forbliver ved en lav temperatur. Varm Katode: En varm katodelampe genererer lys ved at opvarme katoden (typisk en wo

Encyclopedia

10/30/2024

Hvad er ulemperne ved LED-lyser?

Ulemper ved LED-lyserSelvom LED-lyser har mange fordele, som energieffektivitet, lang levetid og miljøvenlighed, har de også flere ulemper. Her er de hovedtræk af LED-lysets ulemper:1. Høj initial omkostning Pris: Den initielle købspris for LED-lyser er typisk højere end traditionelle pærer (som glødende eller fluorescerende pærer). Selvom LED-lyser på lang sigt kan spare penge på el- og udskiftelsesomkostninger på grund af deres lave energiforbrug og lange levetid, er den initielle investering

Encyclopedia

10/29/2024

Er der nogle forholdsregler, når man kobler solgadedækningkomponenter sammen?

Foranstaltninger ved Opkobling af Komponenter til SolgadebelysningOpkoblingen af komponenterne i et solgadebelysningsystem er en vigtig opgave. Korrekt opkobling sikrer, at systemet fungerer normalt og sikkert. Her er nogle vigtige foranstaltninger, der skal følges, når du kobler solgadebelysningskomponenter sammen:1. Sikkerhed først1.1 Sluk for StrømmenFør Operation: Sørg for, at alle strømkilder i solgadebelysningsystemet er slukket for at undgå elektriske stød.1.2 Brug Isolerede VærktøjerVærk

Encyclopedia

10/26/2024