Rovnice Fresnela: Co jsou? (Odvození a vysvětlení)

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co jsou Fresnelovy rovnice?

Fresnelovy rovnice (také známé jako Fresnelovy koeficienty) jsou definovány jako poměr elektrického pole odražené a prošlé vlny k elektrickému poli dopadající vlny. Tento poměr je komplexní a popisuje tedy relativní amplitudu a fázové posuny mezi vlnami.

Fresnelovy rovnice (Fresnelovy koeficienty) popisují odraz a procházení světla, když dopadá na rozhraní mezi dvěma různými prostředky. Fresnelovy rovnice byly zavedeny Augustinem-Jeanem Fresnelem. Byl prvním, kdo pochopil, že světlo je příčná vlna.

Když světlo dopadá na povrch dielektrika, bude odraženo a prošlo v závislosti na úhlu dopadu. Směr odražené vlny je určen "Zákony odrazu".

Fresnelův efekt lze vidět v běžném životě. Je vidět na lesklých i hrubých povrchách. Tento efekt je velmi jasný na povrchu vody. Když světlo dopadá na vodu z vzdušného prostředí, bude se odrazit podle úhlu dopadu.

Fresnelův efekt je všude. Pokud se pokusíte rozhlédnout, najdete mnoho příkladů. Tento efekt značně závisí na úhlu dopadu.

Úhel dopadu je úhel mezi osou pohledu a povrchem objektu, který sledujete. Následující obrázek ukazuje efekt úhlu dopadu v Fresnelově odrazu.

Polarizace S a P

Rovina, která obsahuje normálu k povrchu a vektor šíření přicházejícího záření, se nazývá rovina dopadu nebo rovina dopadu.

Rovina dopadu hraje důležitou roli v síle odrazu polarizace dopadajícího světla. Polarizace je definována jako vlastnost příčné vlny, která specifikuje geometrickou orientaci oscilace.

Existují dva typy polarizace;

Polarizace S
Polarizace P

Když je polarizace světla kolmá k rovině dopadu, polarizace se nazývá polarizace S. Slovo 'S' pochází z německého slova senkrecht, což znamená kolmo. Polarizace S je také známá jako Transverzální Elektrická (TE).

Když je polarizace světla rovnoběžná s rovinou dopadu nebo se nachází v rovině dopadu, tato rovina se nazývá P-polarizace. S-polarizace je také známá jako Transverzální magnetická (TM).

Níže uvedená obrázek ukazuje, že dopadající světlo je odraženo a prošlo v S-polarizaci a P-polarizaci.

Fresnelovy rovnice s komplexním indexem lomu

Fresnelovy rovnice jsou komplexní rovnice, což znamená, že berou v úvahu jak velikost, tak fázi. Fresnelovy rovnice vyjadřují elektromagnetické pole v komplexní amplitudě, která zohledňuje fázi vedle energie.

Tyto rovnice představují poměry elektromagnetického pole a mohou být vyjádřeny v různých formách. Komplexní amplitudové koeficienty jsou reprezentovány písmeny r a t.

Koeficient odrazu 'r' je poměr komplexní amplitudy elektrického pole odražené vlny k dopadající vlně. Koeficient přenosu 't' je poměr komplexní amplitudy elektrického pole prošlé vlny k dopadající vlně.

Jak je znázorněno na níže uvedeném obrázku, předpokládáme, že úhel dopadu je θi, odraženo pod úhlem θr a prošlo pod úhlem θt.

Ni jsou indexy lomu prostředí dopadajícího světla a Nt jsou indexy lomu prostředí prošlého světla.

Existuje tedy čtyři Fresnelovy rovnice; dvě rovnice pro koeficient odrazu 'r' (rp a rs) a dvě rovnice pro koeficient přenosu 't' (tp a ts).

Odvození Fresnelových rovnic

Předpokládejme, že dopadající světlo je odraženo, jak je znázorněno na níže uvedeném obrázku. V prvním případě odvodíme Fresnelovu rovnici pro S-polarizaci.

Pro S-polarizaci jsou rovnoběžná složka E a kolmá složka B spojitá napříč hranicí mezi dvěma prostředími.

Z podmínky hranice můžeme napsat rovnice pro E-pole a B-pole,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Použijeme níže uvedený vztah mezi B a E k vyřazení B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

A z zákona odrazu,

$\theta_i = \theta_r$

Tuto hodnotu dosadíme do rovnice (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Nyní, pro koeficient odrazu t z rovnic (1) a (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Toto jsou Fresnelovy rovnice pro světlo kolmo polarizované (S-Polarizace).

Nyní odvodíme rovnice pro paralelně polarizované světlo (P-Polarizace).

Pro S-Polarizaci jsou rovnice pro elektrické pole a magnetické pole:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Používáme níže uvedený vztah mezi B a E k vyřazení B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Vložte tuto hodnotu do rovnice (15),

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Nyní pro koeficient odrazu t z rovnice 17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Dosazením této hodnoty do rovnice 15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Zhrňme všechny čtyři Fresnelovy rovnice,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Prohlášení: Respektujte originál, dobré články stojí za sdílení, pokud dojde k porušení autorských práv, obraťte se na nás pro odstranění.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Osvětlovací inženýrství

Teorie světla

O odbornících

Electrical4u

China

Doporučeno

Více

Jaké jsou výhody pohybového čidlo světel?

Chytré čidlo a pohodlíPohybové čidlo využívá čidelovou technologii k automatickému detekování okolí a lidské aktivity. Světlo se zapne, když někdo prochází, a vypne, když nikdo není přítomen. Tato inteligentní funkce nabízí uživatelům velké pohodlí, protože eliminuje nutnost ručního zapínání světel, zejména ve tmavých nebo šerých prostředích. Rychle osvětlí prostor a usnadní uživatelům chůzi nebo jiné aktivity.Úspora energie a ochrana životního prostředíPohybové čidlo automaticky vypne, když nik

Encyclopedia

10/30/2024

Jaký je rozdíl mezi chladnou katodou a horkou katodou v výbojkových žárovek?

Hlavní rozdíly mezi chladnou katodou a horkou katodou v výbojkových žárovek jsou následující:Princip záření Chladná katoda: Chladné katodové žárovky generují elektrony prostřednictvím světelného výboje, které bombardují katodu a produkuje sekundární elektrony, což udržuje výbojový proces. Proud katody je převážně zajišťován kladnými ionty, což vede k malému proudu, takže katoda zůstává na nízké teplotě. Horká katoda: Horká katodová žárovka vyzařuje světlo tím, že katodu (obvykle wolframový drát)

Encyclopedia

10/30/2024

Jaké jsou nevýhody LED čaroven?

Nevýhody LED světelI když mají LED světla mnoho výhod, jako je energetická účinnost, dlouhá životnost a environmentální přátelství, mají také několik nevýhod. Zde jsou hlavní nedostatky LED světel:1. Vysoké počáteční náklady Cena: Počáteční nákupní cena LED světel je obvykle vyšší než u tradičních žárovek (jako jsou žárovky nebo fluorescenční žárovky). Ačkoli v dlouhodobém horizontu mohou LED světla ušetřit peníze na elektrinu a náhradních nákladech díky nízkému spotřebě energie a dlouhé životno

Encyclopedia

10/29/2024

Jsou nějaká opatření, která je třeba dodržovat při připojování komponent solárních uličních světel?

Předpoklady pro připojení komponent solárních uličních světelPřipojení komponent systému solárních uličních světel je klíčovou úlohou. Správné připojení zajišťuje, že systém funguje správně a bezpečně. Zde jsou některé důležité předpoklady, které byste měli dodržovat při připojování komponent solárních uličních světel:1. Bezpečnost na prvním místě1.1 Vypněte proudPřed operací: Ujistěte se, že všechny zdroje energie systému solárních uličních světel jsou vypnuté, aby se zabránilo elektrickým šoků

Encyclopedia

10/26/2024