Fresnel-Gleichungen: Was sind sie? (Herleitung & Erklärung)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was sind die Fresnel-Gleichungen?

Die Fresnel-Gleichungen (auch als Fresnel-Koeffizienten bekannt) sind definiert als das Verhältnis des elektrischen Feldes einer reflektierten und transmittierten Welle zum elektrischen Feld der einfallenden Welle. Dieses Verhältnis ist komplex und beschreibt daher sowohl die relative Amplitude als auch die Phasenverschiebungen zwischen den Wellen.

Die Fresnel-Gleichungen (Fresnel-Koeffizienten) beschreiben die Reflexion und Transmission von Licht, wenn es auf eine Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien trifft. Die Fresnel-Gleichungen wurden von Augustin-Jean Fresnel eingeführt. Er war der erste, der verstand, dass Licht eine transversale Welle ist.

Wenn Licht auf die Oberfläche eines Dielektrikums trifft, wird es als Funktion des Einfallswinkels reflektiert und gebrochen. Die Richtung der reflektierten Welle wird durch das „Gesetz der Reflexion“ bestimmt.

Der Fresnel-Effekt ist im täglichen Leben zu beobachten. Er kann sowohl auf glatten als auch auf rauen Oberflächen gesehen werden. Dieser Effekt ist besonders deutlich an der Wasseroberfläche zu erkennen. Wenn Licht vom Luftmedium auf Wasser fällt, wird es gemäß dem Einfallswinkel reflektiert.

Der Fresnel-Effekt ist allgegenwärtig. Wenn Sie sich umsehen, finden Sie viele Beispiele. Dieser Effekt hängt stark vom Einfallswinkel ab.

Der Einfallswinkel ist der Winkel zwischen der Sichtlinie und der Oberfläche des Objekts, das Sie betrachten. Die folgende Abbildung zeigt die Auswirkung des Einfallswinkels auf die Fresnel-Reflexion.

S- und P-Polarisation

Die Ebene, die die Normale der Oberfläche und den Propagationsvektor der einfallenden Strahlung enthält, wird als Einfallsebene oder Inzidenzebene bezeichnet.

Die Einfallsebene spielt eine wichtige Rolle bei der Stärke der Reflexion der polarisierten einfallenden Lichtstrahlung. Die Polarisation ist definiert als eine Eigenschaft einer transversalen Welle, die die geometrische Ausrichtung der Schwingung spezifiziert.

Es gibt zwei Arten der Polarisation;

S-Polarisation
P-Polarisation

Wenn die Polarisation des Lichts senkrecht zur Einfallsebene steht, wird die Polarisation als S-Polarisation bezeichnet. Das Wort „S“ stammt aus dem deutschen Wort senkrecht, was senkrecht bedeutet. S-Polarisation wird auch als Transversale Elektrische (TE) bezeichnet.

Wenn die Polarisation des Lichts parallel zur Ebene des einfallenden oder in der Ebene des einfallenden Lichts liegt, wird diese Ebene als P-Polarisation bezeichnet. S-Polarisation wird auch als Transversale Magnetische (TM) bezeichnet.

Die folgende Abbildung zeigt, dass das einfallende Licht in S-Polarisation und P-Polarisation reflektiert und übertragen wird.

Fresnel-Gleichungen Komplexer Brechungsindex

Die Fresnel-Gleichungen sind komplexe Gleichungen, die sowohl die Amplitude als auch die Phase berücksichtigen. Die Fresnel-Gleichungen werden in Form der komplexen Amplitude des elektromagnetischen Feldes dargestellt, die neben der Leistung auch die Phase berücksichtigt.

Diese Gleichungen sind Verhältnisse des elektromagnetischen Feldes und können in verschiedenen Formen dargestellt werden. Die komplexen Amplitudenkoeffizienten werden durch r und t dargestellt.

Der Reflexionskoeffizient 'r' ist das Verhältnis der komplexen Amplitude des elektrischen Feldes der reflektierten Welle zur einfallenden Welle. Der Transmissionskoeffizient 't' ist das Verhältnis der komplexen Amplitude des elektrischen Feldes der übertragenen Welle zur einfallenden Welle.

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, haben wir angenommen, dass der Einfallswinkel θi ist, reflektiert wird unter einem Winkel von θr und übertragen wird unter einem Winkel von θt.

Ni ist der Brechungsindex des Mediums des einfallenden Lichts und Nt ist der Brechungsindex des Mediums des übertragenen Lichts.

Es gibt also vier Fresnel-Gleichungen; zwei Gleichungen für den Reflexionskoeffizienten 'r', nämlich rp und rs, und zwei Gleichungen für den Transmissionskoeffizienten 't', nämlich tp und ts.

Ableitung der Fresnel-Gleichungen

Nehmen wir an, dass das einfallende Licht wie in der obigen Abbildung reflektiert wird. Im ersten Fall leiten wir eine Fresnel-Gleichung für die S-Polarisation ab.

Für die S-Polarisation sind die parallele Komponente E und die senkrechte Komponente B stetig über die Grenze zwischen zwei Medien hinweg.

Daher können wir aus der Randbedingung Gleichungen für das E-Feld und das B-Feld aufstellen,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Wir verwenden die folgende Beziehung zwischen B und E, um B zu eliminieren.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Und aus dem Reflexionsgesetz,

$\theta_i = \theta_r$

Setzen Sie diesen Wert in Gl. (2) ein,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Nun, für den Reflexionskoeffizienten t, aus Gl. 1 und Gl. 4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Dies sind die Fresnel-Gleichungen für senkrecht polarisiertes Licht (S-Polarisation).

Nun leiten wir Gleichungen für parallel polarisiertes Licht (P-Polarisation) ab.

Für S-Polarisation lauten die Gleichungen für das E-Feld und das B-Feld wie folgt:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Wir verwenden die folgende Beziehung zwischen B und E, um B zu eliminieren.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Setzen Sie diesen Wert in Gleichung (15) ein,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Nun, für den Reflexionskoeffizienten t, aus Gl-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Setzen Sie diesen Wert in Gl-15 ein

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Zusammenfassung aller vier Fresnelschen Gleichungen,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

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