معادلات فرنل: چیستند؟ (اشتقاق و توضیح)

ميدان: Electrical Basics

China

معادلات فرسنال چیست؟

معادلات فرسنال (که به عنوان ضرایب فرسنال نیز شناخته می‌شوند) به نسبت میدان الکتریکی امواج بازتاب شده و عبوری به میدان الکتریکی امواج وارد شده تعریف می‌شود. این نسبت پیچیده است و بنابراین، دامنه نسبی و همچنین اختلاف فاز بین امواج را توصیف می‌کند.

معادلات فرسنال (ضرایب فرسنال) انعکاس و عبور نور را در زمان ورود آن به مرز بین دو محیط مختلف توصیف می‌کنند. معادلات فرسنال توسط اوگوستین-ژان فرسنال معرفی شدند. او اولین کسی بود که فهمید نور یک موج عرضی است.

وقتی نور بر روی سطح یک دی الکتریک وارد می‌شود، به تابع زاویه ورود بازتاب و تغییر مسیر می‌یابد. جهت امواج بازتاب شده توسط "قانون بازتاب" تعیین می‌شود.

اثر فرسنال در زندگی روزمره مشاهده می‌شود. این اثر در سطوح لمعانی و خشن نیز دیده می‌شود. این اثر در سطح آب بسیار واضح است. وقتی نور از محیط هوا به آب وارد می‌شود، نور به تابع زاویه ورود بازتاب می‌یابد.

اثر فرسنال در همه جا وجود دارد. اگر به دور خود نگاه کنید، مثال‌های زیادی از آن پیدا خواهید کرد. این اثر بسیار به زاویه ورود بستگی دارد.

زاویه ورود زاویه بین خط دید و سطح شیء‌ای است که به آن نگاه می‌کنید. شکل زیر اثر زاویه ورود در بازتاب فرسنال را نشان می‌دهد.

قطبیت S و P

صفحه‌ای که شامل نرمال سطح و بردار انتشار تابش وارد شده است به عنوان صفحه ورود یا صفحه حادثه شناخته می‌شود.

صفحه حادثه نقش مهمی در قدرت بازتاب قطبیت نور وارد شده دارد. قطبیت به عنوان ویژگی یک موج عرضی تعریف می‌شود که موقعیت هندسی نوسان را مشخص می‌کند.

دو نوع قطبیت وجود دارد؛

قطبیت S
قطبیت P

وقتی قطبیت نور عمود بر صفحه حادثه باشد، قطبیت به عنوان قطبیت S شناخته می‌شود. کلمه 'S' از کلمه آلمانی senkrecht که به معنای عمود است گرفته شده است. قطبیت S همچنین به عنوان الکتریک عرضی (TE) شناخته می‌شود.

هنگامی که قطبش نور موازی با صفحه حادثه یا در صفحه حادثه قرار دارد، این صفحه به عنوان P-قطبش شناخته می‌شود. S-قطبش نیز به عنوان مغناطیسی ترانسورس (TM) شناخته می‌شود.

شکل زیر نشان می‌دهد که نور وارد شده در S-قطبش و P-قطبش منعکس و منتقل می‌شود.

معادلات فرنسوئل با شاخص انکسار پیچیده

معادلات فرنسوئل معادلات پیچیده‌ای هستند که به معنای در نظر گرفتن هم مقدار و هم فاز هستند. معادلات فرنسوئل به صورت دامنه پیچیده میدان الکترومغناطیسی بیان می‌شوند که علاوه بر توان، فاز را نیز در نظر می‌گیرند.

این معادلات نسبت‌هایی از میدان الکترومغناطیسی هستند و در فرم‌های مختلفی بیان می‌شوند. ضرایب دامنه پیچیده با r و t نمایش داده می‌شوند.

ضریب بازتاب 'r' نسبت دامنه پیچیده میدان الکتریکی موج بازتاب شده به موج وارد شده است. و ضریب انتقال 't' نسبت دامنه پیچیده میدان الکتریکی موج منتقل شده به موج وارد شده است.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، فرض کرده‌ایم که زاویه ورود θi است، بازتاب شده در زاویه θr و منتقل شده در زاویه θt.

Ni شاخص انکسار محیط نور وارد شده و Nt شاخص انکسار محیط نور منتقل شده است.

بنابراین، چهار معادله فرنسوئل وجود دارد؛ دو معادله برای ضریب بازتاب 'r' که (rp و rs) و دو معادله برای ضریب انتقال 't' که (tp و ts).

استخراج معادلات فرنسوئل

فرض کنید که نور وارد شده مانند آنچه در شکل بالا نشان داده شده است بازتاب می‌شود. در ابتدا، یک معادله فرنسوئل برای S-قطبش استخراج خواهد شد.

برای S-قطبش، مولفه موازی E و مولفه عمودی B در مرز بین دو محیط پیوسته هستند.

بنابراین از شرایط مرزی، می‌توانیم معادلات را برای میدان الکتریکی و مغناطیسی بنویسیم،

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

از رابطه زیر بین B و E استفاده می‌کنیم تا B را حذف کنیم.

$B = \frac{nE}{c_0}$

و از قانون بازتاب،

$\theta_i = \theta_r$

این مقدار را در معادله (2) قرار دهید،

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۴)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۵)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۶)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۷)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

حالا، برای ضریب بازتاب t، از معادلات (1) و (4)،

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۲)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۳)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۱۴

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

این معادلات فرنسوئل برای نور با قطبش عمودی (S-قطبی) هستند.

حالا، بیایید معادلات را برای نور با قطبش موازی (P-قطبی) استخراج کنیم.

برای S-قطبی، معادلات میدان الکتریکی و مغناطیسی عبارتند از:

(۱۵)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۱۶)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

از رابطه‌ی زیر بین B و E برای حذف B استفاده می‌کنیم.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(۱۷)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

این مقدار را در معادله (15) قرار دهید،

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(۲۱)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(۲۲)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(۲۳)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(۲۴)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

حالا، برای ضریب بازتاب t، از معادله ۱۷

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

این مقدار را در معادله ۱۵ قرار دهید

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

بیایید تمام چهار معادله فرنهل را خلاصه کنیم،

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

بیانیه: احترام به متن اصلی، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک‌گذاری دارند، در صورت نقض حق تکثیر لطفاً تماس بگیرید و حذف کنید.

نوروغ و مصنف ته هڅودئ!

موضوعات:

مهندسی روشنایی

Теория света

دربارې متخصصان

Electrical4u

China

پیشنهاد شده

بیشتر

چه مزایایی برای چراغ های حسگر حرکت وجود دارد

هوشمندی و راحتیچراغ‌های حسگر حرکت از فناوری حسگر برای تشخیص خودکار محیط اطراف و فعالیت‌های انسانی استفاده می‌کنند، به طوری که هنگام عبور افراد روشن می‌شوند و در غیاب افراد خاموش می‌شوند. این ویژگی هوشمند حسگر، راحتی بسیاری برای کاربران فراهم می‌کند، بدون نیاز به روشن کردن دستی چراغ‌ها، به ویژه در محیط‌های تاریک یا کم نور. این چراغ‌ها سریعاً فضا را روشن می‌کنند و راه‌رویی یا انجام سایر فعالیت‌ها را برای کاربران تسهیل می‌کنند.صرفه‌جویی در انرژی و حفاظت از محیط زیستچراغ‌های حسگر حرکت به صورت خودکار

Encyclopedia

10/30/2024

چه تفاوتی بین کاتد سرد و کاتد گرم در لامپ‌های رهاش وجود دارد

لامپ‌های رهاشی دارای تفاوت‌های اصلی بین کاتد سرد و کاتد گرم به شرح زیر هستند:اصل تابیدگی کاتد سرد: لامپ‌های کاتد سرد الکترون‌ها را از طریق رهاش نورانی تولید می‌کنند که با برخورد به کاتد الکترون‌های ثانویه را تولید می‌کنند و در نتیجه فرآیند رهاش حفظ می‌شود. جریان کاتد عمدتاً توسط یون‌های مثبت ایجاد می‌شود که منجر به جریان کمتر و در نتیجه دما پایین‌تر کاتد می‌شود. کاتد گرم: لامپ‌های کاتد گرم با گرم کردن کاتد (معمولاً سیم تنگستن) به دمای بالا، الکترون‌های روی سطح کاتد را به دلیل انرژی حرارتی آزاد م

Encyclopedia

10/30/2024

چه مواردی از نقص های چراغ های LED است

LED چراغانو د نارواستونهد LED چراغانو ډېره مزایا لري، مثلاً کم طاقت، لوی عمر او پاک زیاتوالی، خو د هغې څخه ډېره نارواستونه هم شتون لري. د LED چراغانو د اساسي نارواستونه په پام کې نیول:1. لوړه اولیه قیمت قیمت: د LED چراغانو اولیه خریدارۍ قیمت معمولاً د سنتي چراغانو (مثلاً ویشنل یا فلوئورسنت چراغان) تر لوړ دي. که څه هم د لوی مدت له لارې، د کم طاقت او لوی عمر له خاطر، LED چراغانو د برق او تعویض د قیمتونو په توګه پیسو وکړي، خو د اولیه سرمایه لومړۍ لوړه دی.2. گرمی ټولنې مسئلې گرمی ټولنه: LED چراغانو

Encyclopedia

10/29/2024

هیچ احتیاطاتی در زمان کابل کشی اجزای چراغ خیابانی خورشیدی وجود دارد؟

پیشگیری‌های مربوط به اتصال اجزای چراغ خیابانی خورشیدیاتصال اجزای سیستم چراغ خیابانی خورشیدی وظیفه‌ای مهم است. اتصال صحیح مطمئن می‌کند که سیستم به طور عادی و ایمن عمل می‌کند. در زیر برخی از پیشگیری‌های مهم را در هنگام اتصال اجزای چراغ خیابانی خورشیدی آورده شده است:1. اولویت ایمنی1.1 قطع برققبل از عمل: مطمئن شوید که تمام منابع برق سیستم چراغ خیابانی خورشیدی قطع شده تا از حوادث الکتریسیته جلوگیری شود.1.2 استفاده از ابزارهای عایق شدهابزارها: از ابزارهای عایق شده برای اتصال استفاده کنید و مطمئن شوید

Encyclopedia

10/26/2024