Ecuacións de Fresnel: Que son? (Derivación e Explicación)

Campo: Electrónica Básica

China

Que son as ecuacións de Fresnel?

As ecuacións de Fresnel (tamén coñecidas como os coeficientes de Fresnel) defínense como a relación do campo eléctrico dunha onda refletida e transmitida ao campo eléctrico da onda incidente. Esta relación é complexa e, polo tanto, describe a amplitud relativa así como os desprazamentos de fase entre as ondas.

As ecuacións de Fresnel (coeficientes de Fresnel) describen a reflexión e transmisión da luz cando incide nunha interface entre dous medios diferentes. As ecuacións de Fresnel foron introducidas por Augustin-Jean Fresnel. Foi o primeiro que entendeu que a luz é unha onda transversal.

Cando a luz incide na superficie dun dieléctrico, será refletida e refractada en función do ángulo de incidencia. A dirección da onda refletida dáse pola "Lei da Reflexión".

O efecto de Fresnel observase na vida cotiá. Pódese ver en superficies brillantes así como en superficies rugosas. Este efecto é moi claro na superficie da auga. Cando a luz incide na auga desde o medio aire, a luz reflicta segundo o ángulo de incidencia.

O efecto de Fresnel está en todas partes. Se tentas mirar ao teu redor, atoparás moitos exemplos. Este efecto depende altamente do ángulo de incidencia.

O ángulo de incidencia é o ángulo entre a liña de visión e a superficie do obxecto no que estás a mirar. A figura inferior mostra o efecto do ángulo de incidencia na reflexión de Fresnel.

Polarizacións S e P

O plano que ten a normal da superficie e o vector de propagación da radiación incidente coñécese como o plano de incidencia ou plano de incidencia.

O plano de incidencia xoga un papel importante na forza da reflexión da polarización da luz incidente. A polarización defineuse como unha propiedade dunha onda transversal que especifica a orientación xeométrica da oscilación.

Hai dous tipos de polarización;

Polarización S
Polarización P

Cando a polarización da luz é perpendicular ao plano de incidencia, a polarización coñécese como polarización S. A palabra 'S' provén do termo alemán senkrecht que significa perpendicular. A polarización S tamén coñécese como Eléctrica Transversal (TE).

Cando a polarización da luz é paralela ao plano do incidente ou está no plano do incidente, o plano coñécese como P-Polarización. A S-polarización tamén se coñece como Magnético Transversal (TM).

A figura inferior mostra que a luz incidente reflicte e transmite en S-polarización e P-Polarización.

Ecuacións de Fresnel Índice de Refracción Complexo

As Ecuacións de Fresnel son unha ecuación complexa, o que significa que consideran tanto a magnitude como a fase. As Ecuacións de Fresnel representanse en termos da amplitud complexa do campo electromagnético, que ten en conta a fase ademais da potencia.

Estas ecuacións son as razóns dun campo electromagnético e formúlanse de varias formas. Os coeficientes de amplitud complexa representáronse por r e t.

O coeficiente de reflexión 'r' é a razón da amplitud complexa do campo eléctrico da onda reflicta á onda incidente. E o coeficiente de transmisión 't' é a razón da amplitud complexa do campo eléctrico da onda transmitida á onda incidente.

Como se mostra na figura superior, asumimos que o ángulo de incidencia é θi, reflicte nun ángulo de θr e transmite nun ángulo de θt.

Ni son os índices de refracción do medio da luz incidente e Nt son os índices de refracción do medio da luz transmitida.

Por tanto, hai catro Ecuacións de Fresnel; dúas ecuacións para o coeficiente de reflexión 'r' que son (rp e rs) e dúas ecuacións para o coeficiente de transmisión 't' que son (tp e ts).

Dedución das Ecuacións de Fresnel

Supoñamos que a luz incidente reflicte como se mostra na figura superior. No primeiro caso, deduciremos unha Ecuación de Fresnel para a S-Polarización.

Para a S-Polarización, o compoñente paralelo E e o compoñente perpendicular B son continuos a través da fronteira entre dous medios.

Polo tanto, a partir da condición de contorno, podemos escribir ecuacións para o campo E e o campo B,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Usamos a seguinte relación entre B e E para eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

E pola lei da reflexión,

$\theta_i = \theta_r$

Poña este valor na ecuación-2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Agora, para o coeficiente de reflexión t, dende a ec-1 e a ec-4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Estas son as ecuacións de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente (Polarización S).

Agora, derivemos as ecuacións para luz polarizada paralelamente (Polarización P).

Para a Polarización S, as ecuacións para o campo E e o campo B son:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Usamos a seguinte relación entre B e E para eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Introduza este valor na ec-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Agora, para o coeficiente de reflexión t, a partir da ec-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Introduza este valor na ec-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Resumamos as catro ecuacións de Fresnel,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Declaración: Respeita o orixinal, artigos bons merecen ser compartidos, se hai unha infracción, contacte para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Inxeño de iluminación

Teoría da luz

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607

Recomendado

Máis

Que beneficios ofrecen as luces con sensor de movemento

Sensorización inteligente e comodidadeAs luces de detección de movemento utilizan tecnoloxía de sensorización para detectar automaticamente o entorno circundante e a actividade humana encendéndose cando alguén pasa e apagándose cando ninguén está presente. Esta función de sensorización intelixente ofrece gran comodidade aos usuarios eliminando a necesidade de cambiar manualmente as luces especialmente en ambientes escuros ou con pouca luz. Ilumina rapidamente o espazo facilitando a camiñada ou o

Encyclopedia

10/30/2024

Que é a diferenza entre un cátodo frío e un cátodo quente nas lámpragas de descarga

As principais diferenzas entre o catodo frío e o catodo quente nas lámpanas de descarga son as seguintes:Principio de luminiscencia Catodo Frío: As lámpanas de catodo frío xeran electróns a través da descarga por resplandor, que bombardean o catodo para producir electróns secundarios, mantendo así o proceso de descarga. A corrente do catodo provén principalmente de íons positivos, resultando en unha corrente pequena, polo que o catodo permanece a unha baixa temperatura. Catodo Quente: Unha lámpa

Encyclopedia

10/30/2024

Que son as desvantaxes das lúmines LED

Desvantaxes das Luminarias LEDAínda que as luminarias LED teñan moitas vantaxes, como a eficiencia enerxética, a longa duración e o respeto ao medio ambiente, tamén teñen varias desvantaxes. Aquí están os principais inconvenentes das luminarias LED:1. Alto Custo Inicial Prezo: O custo inicial de compra das luminarias LED é xeralmente maior que o das bombillas tradicionais (como as incandescentes ou fluorescentes). Aínda que a longo prazo, as luminarias LED poidan ahorrar dinhero en electricidade

Encyclopedia

10/29/2024

Existe algúna precaución ao conectar os compoñentes dunha farola solar

Precaucións para o cableado dos componentes das luzes de rúa solaresO cableado dos componentes dun sistema de luz de rúa solar é unha tarefa crucial. Un cableado correcto asegura que o sistema funcione de xeito normal e seguro. Aquí teñen algúns aspectos importantes que debes ter en conta ao cablear os componentes dunha luz de rúa solar:1. Seguridade Primeiro1.1 Desactiva a Corrente EléctricaAntes da Operación: Asegúrate de que todas as fuentes de enerxía do sistema de luz de rúa solar están des

Encyclopedia

10/26/2024