프레넬 방정식: 무엇인가? (도출 및 설명)

필드: 기본 전기학

China

프레넬 방정식이란 무엇인가요?

프레넬 방정식(또는 프레넬 계수)은 반사파와 투과파의 전기장과 입사파의 전기장 사이의 비율로 정의됩니다. 이 비율은 복소수이므로, 파동들 간의 상대 진폭뿐만 아니라 위상 이동도 설명합니다.

프레넬 방정식(프레넬 계수)은 두 가지 다른 매질의 경계면에서 빛이 입사했을 때의 반사와 투과를 설명합니다. 프레넬 방정식은 오귀스탱-장 프레넬에 의해 도입되었습니다. 그는 빛이 횡파임을 처음으로 이해한 사람입니다.

빛이 유전체 표면에 입사하면, 입사각에 따라 반사되고 굴절됩니다. 반사파의 방향은 "반사 법칙"에 의해 주어집니다.

프레넬 효과는 일상 생활에서도 볼 수 있습니다. 광택있는 표면이나 거친 표면에서도 볼 수 있으며, 물 표면에서는 특히 명확하게 나타납니다. 공기 매질에서 물로 빛이 입사할 때, 빛은 입사각에 따라 반사됩니다.

프레넬 효과는 어디서나 볼 수 있습니다. 주변을 살펴보면 많은 예시를 찾을 수 있습니다. 이 효과는 입사각에 크게 의존합니다.

입사각은 시선과 보고 있는 물체의 표면 사이의 각도입니다. 아래 그림은 프레넬 반사에서 입사각의 영향을 보여줍니다.

S 및 P 극화

표면 법선과 입사하는 빛의 전파 벡터가 있는 평면을 입사 평면이라고 합니다.

입사 평면은 입사 빛의 극화에 따른 반사 강도에 중요한 역할을 합니다. 극화는 횡파의 기하학적 진동 방향을 지정하는 특성을 말합니다.

극화는 두 가지 유형이 있습니다;

S-극화
P-극화

빛의 극화가 입사 평면에 수직일 때, 이를 S-극화라고 합니다. 'S'는 독일어 단어 senkrecht에서 유래되었으며, 수직을 의미합니다. S-극화는 또한 횡전기(TE)라고도 합니다.

빛의 편광이 입사면에 평행하거나 입사면 내에 있을 때, 이 평면은 P-편광으로 알려져 있습니다. S-편광은 횡자기(TM)라고도 알려져 있습니다.

아래 그림은 입사광이 S-편광과 P-편광에서 반사되고 투과되는 것을 보여줍니다.

프레넬 방정식 복소굴절률

프레넬 방정식은 크기와 위상 모두를 고려하는 복잡한 방정식입니다. 프레넬 방정식은 전자기장의 복소진폭을 나타내며, 이를 통해 위상을 포함한 전력이 고려됩니다.

이 방정식들은 전자기장의 비율로 표현되며 다양한 형태로 제시됩니다. 복소진폭 계수는 r과 t로 표시됩니다.

반사 계수 'r'은 반사파의 전기장 복소진폭과 입사파의 전기장 복소진폭의 비율입니다. 그리고 반사 계수 't'는 투과파의 전기장 복소진폭과 입사파의 전기장 복소진폭의 비율입니다.

위 그림에서 보듯이, 우리는 입사각이 θi, 반사각이 θr, 투과각이 θt라고 가정했습니다.

Ni는 입사광 매체의 굴절률이고, Nt는 투과광 매체의 굴절률입니다.

따라서, 프레넬 방정식은 네 가지가 있으며, 두 개의 반사 계수 'r' (rp와 rs)와 두 개의 투과 계수 't' (tp와 ts)로 구성됩니다.

프레넬 방정식 유도

입사광이 위 그림에서 보이는 대로 반사된다고 가정해봅시다. 첫 번째 경우, S-편광에 대한 프레넬 방정식을 유도하겠습니다.

S-편광의 경우, 평행 성분 E와 수직 성분 B는 두 매체 경계에서 연속적입니다.

따라서 경계 조건에서 E-필드와 B-필드에 대한 방정식을 작성할 수 있습니다

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

B와 E 사이의 아래 관계를 사용하여 B를 제거합니다.

$B = \frac{nE}{c_0}$

반사 법칙에서,

$\theta_i = \theta_r$

이 값을 eq-2에 대입합니다

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

이제, 반사 계수 t에 대해 eq-1과 eq-4에서,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

이들은 수직으로 편광된 빛(S-편광)에 대한 프레넬 방정식입니다.

이제, 평행 편광된 빛(P-편광)에 대한 방정식을 도출해 보겠습니다.

S-편광의 경우, 전기장(E-field)과 자기장(B-field)의 방정식은 다음과 같습니다.

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

다음 B와 E 사이의 관계를 사용하여 B를 제거합니다.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

이 값을 식 (15)에 대입합니다,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

이제, 반사 계수 t에 대해 eq-17에서

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

이 값을 eq-15에 대입합니다

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

네 가지 프레넬 방정식을 요약하면 다음과 같습니다,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

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주제:

조명공학

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