Рівняння Френеля: Що це таке? (Виведення та пояснення)

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке рівняння Френеля?

Рівняння Френеля (також відомі як коефіцієнти Френеля) визначаються як співвідношення електричного поля відбиваного і пропущеного хвиль до електричного поля падаючої хвилі. Це співвідношення є комплексним, тому воно описує відносну амплітуду, а також зміщення фази між хвилями.

Рівняння Френеля (коефіцієнти Френеля) описують відбивання та проходження світла, коли воно падає на границю між двома різними середовищами. Рівняння Френеля були введено Августен-Жаном Френелем. Він був першим, хто зрозумів, що світло є поперечним хвильовим процесом.

Коли світло падає на поверхню діелектрика, воно буде відбито та пройде через неї в залежності від кута падіння. Напрямок відбитої хвилі визначається «Законом відбивання».

Ефект Френеля можна побачити в повсякденному житті. Його можна помітити на блискучих, а також грубих поверхнях. Цей ефект добре видно на поверхні води. Коли світло падає на воду з повітря, воно відбивається відповідно до кута падіння.

Ефект Френеля є усюди. Якщо ви спробуєте оглянутися навколо, ви знайдете багато прикладів. Цей ефект сильно залежить від кута падіння.

Кут падіння — це кут між лінією зору та поверхнею об'єкта, на який ви дивитесь. Нижче показано ефект кута падіння у відбитті Френеля.

S та P поляризації

Площина, яка має нормаль до поверхні та вектор поширення надходящого випромінювання, відома як площина падіння або плоскість падіння.

Площина падіння грає важливу роль у силах відбиття поляризації падаючого світла. Поляризація визначається як властивість поперечних хвиль, яка вказує геометричне положення коливань.

Існують два типи поляризації;

S-поляризація
P-поляризація

Коли поляризація світла перпендикулярна до площини падіння, поляризація називається S-поляризацією. Слово «S» походить від німецького слова senkrecht, що означає перпендикулярно. S-поляризація також відома як поперечно-електрична (TE).

Коли поляризація світла паралельна площині падіння або знаходиться в площині падіння, цю площину називають P-поляризацією. S-поляризація також відома як Трансверсальний Магнітний (TM).

Нижче показано, що падаюче світло відбивається і пропускається в S-поляризації та P-поляризації.

Рівняння Френеля Комплексний Показник Заломлення

Рівняння Френеля є складними рівняннями, що враховують як величину, так і фазу. Рівняння Френеля представляються через комплексну амплітуду електромагнітного поля, що враховує фазу наряду з потужністю.

Ці рівняння є відношеннями електромагнітного поля і мають різні форми. Комплексні коефіцієнти амплітуди позначаються r і t.

Коефіцієнт відбиття 'r' є відношенням комплексної амплітуди електричного поля відбитого хвилі до падаючого хвилі. А коефіцієнт передачі 't' є відношенням комплексної амплітуди електричного поля пропущеного хвилі до падаючого хвилі.

Як показано на верхньому малюнку, ми припустили, що кут падіння дорівнює θi, відбивається під кутом θr, і проходить під кутом θt.

Ni — це показники заломлення середовища падаючого світла, а Nt — це показники заломлення середовища пропущеного світла.

Таким чином, існує чотири рівняння Френеля; два рівняння для коефіцієнта відбиття 'r', що є (rp і rs), і два рівняння для коефіцієнта передачі 't', що є (tp і ts).

Виведення рівнянь Френеля

Припустимо, що падаюче світло відбивається, як показано на верхньому малюнку. У першому випадку ми виведемо рівняння Френеля для S-поляризації.

Для S-поляризації, паралельна компонента E і перпендикулярна компонента B є неперервними на межі між двома середовищами.

Отже, з умови на межі, можна записати рівняння для E-поля та B-поля,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Ми використовуємо нижче наведене співвідношення між B та E, щоб усунути B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

І згідно з законом відображення,

$\theta_i = \theta_r$

Підставте це значення в рівняння (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Тепер, для коефіцієнту відображення t, з рівнянь (1) та (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Це рівняння Френеля для перпендикулярно поляризованого світла (S-поляризація).

Тепер давайте виведемо рівняння для паралельно поляризованого світла (P-поляризація).

Для S-поляризації, рівняння для Е-поля та В-поля є такими:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Використовуємо нижче зв'язок між B та E для вилучення B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Введіть це значення у рівняння (15),

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Тепер, для коефіцієнта відбиття t, з рівняння-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Підставте це значення у рівняння-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Підсумуємо всі чотири рівняння Френеля,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Повідомлення: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, у разі порушення авторських прав, будь ласка, зверніться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Освітлення

Теорія світла

Про експертів

Electrical4u

China

Рекомендоване

Більше

Які переваги мають світильники з датчиком руху

Розумне сприйняття та зручністьСвітлодіодні лампи з датчиком руху використовують технологію сприйняття для автоматичного виявлення оточення та людської активності, увімкнення при проходженні кимось мимо та вимкнення, коли нікого немає. Ця інтелектуальна функція сприйняття забезпечує велику зручність для користувачів, виключаючи необхідність ручного увімкнення світла, особливо в темряві або при слабкому освітленні. Вони швидко освітлюють простір, сприяючи ходьбі користувачів або іншим видам діяль

Encyclopedia

10/30/2024

Що відрізняє холодний катод від гарячого катода у розрядних лампах?

Основні відмінності між холодним катодом і гарячим катодом у розрядних лампах такі:Принцип світлодавства Холодний катод: Лампи з холодним катодом генерують електрони за допомогою світлового розряду, які бомбардуванням катоду створюють вторинні електрони, що підтримує процес розряду. Струм катода переважно забезпечується додатковими іонами, що призводить до невеликого струму, тому катод залишається на низькій температурі. Гарячий катод: Лампа з гарячим катодом генерує світло шляхом нагріву катода

Encyclopedia

10/30/2024

Які недоліки світлодіодних ламп?

Недоліки світлодіодних лампХоча світлодіодні лампи мають багато переваг, таких як енергоефективність, довгий термін служби та екологічна безпечність, вони також мають кілька недоліків. Ось основні недоліки світлодіодних ламп:1. Висока початкова вартість Ціна: Пochatkovu вартість світлодіодних ламп зазвичай вища, ніж у традиційних ламп (наприклад, ламп накалу або розрядних). Хоча на довгостроковому періоді світлодіодні лампи можуть заощадити гроші на електроенергії та витратах на заміну завдяки с

Encyclopedia

10/29/2024

Чи є якісь заходи безпеки при підключенні компонентів сонячних вуличних ліхтарів

Попередження при підключенні компонентів сонячних вуличних ліхтарівПідключення компонентів системи сонячного вуличного освітлення є важливою задачею. Правильне підключення забезпечує нормальне та безпечне функціонування системи. Ось деякі важливі попередження, які слід дотримуватися при підключенні компонентів сонячних вуличних ліхтарів:1. Безпека на першому місці1.1 Вимкніть живленняПеред роботою: Переконайтеся, що всі джерела живлення системи сонячного вуличного освітлення вимкнуті, щоб уникну

Encyclopedia

10/26/2024