Equacions de Fresnel: Què són? (Derivació i explicació)

Camp: Electricitat bàsica

China

Què són les Equacions de Fresnel?

Les Equacions de Fresnel (també conegudes com els coeficients de Fresnel) es defineixen com la raó entre el camp elèctric d'una ona reflectida i transmesa respecte al camp elèctric de l'ona incident. Aquesta raó és complexa i, per tant, descriu l'amplitud relativa així com els desplaçaments de fase entre les ones.

Les Equacions de Fresnel (coeficients de Fresnel) descriuen la reflexió i la transmissió de la llum quan aquesta incideix en una interfície entre dos mitjans diferents. Les Equacions de Fresnel van ser introduïdes per Augustin-Jean Fresnel. Va ser el primer qui va entendre que la llum és una ona transversal.

Quan la llum incideix en la superfície d'un dielèctric, es reflectirà i refractarà en funció de l'angle d'incidència. La direcció de l'ona reflectida es dóna pel "Llei de la Reflexió".

L'efecte de Fresnel es veu en la vida quotidiana. Es pot observar en superfícies brillants així com en superfícies rugoses. Aquest efecte és molt clar en la superfície de l'aigua. Quan la llum incideix en l'aigua des del medi aire, la llum es reflectirà segons l'angle d'incidència.

L'efecte de Fresnel està en tot arreu. Si intentes mirar al voltant, trobaràs molts exemples. Aquest efecte depèn molt de l'angle d'incidència.

L'angle d'incidència és l'angle entre la línia de visió i la superfície de l'objecte que estàs mirant. La figura següent mostra l'efecte de l'angle d'incidència en la reflexió de Fresnel.

Polarització S i P

El pla que té la normal a la superfície i el vector de propagació de la radiació incident es coneix com el pla d'incidència o pla d'incidència.

El pla d'incidència joca un paper important en la forta reflexió de la polarització de la llum incident. La polarització es defineix com una propietat d'una ona transversal que especifica l'orientació geomètrica de l'oscil·lació.

Hi ha dos tipus de polarització;

Polarització S
Polarització P

Quan la polarització de la llum és perpendicular al pla d'incidència, la polarització es coneix com a polarització S. La paraula 'S' prové de la paraula alemanya senkrecht que significa perpendicular. La polarització S també es coneix com a Elèctric Transversal (ET).

Quan la polarització de la llum és paral·lela al pla de l'incident o es troba en el pla de l'incident, aquest pla es coneix com a P-Polarització. La S-polarització també es coneix com a Magnètic Transversal (TM).

La figura següent mostra que la llum incident es reflecteix i transmet en S-polarització i P-Polarització.

Equacions de Fresnel Índex de Refracció Complex

Les Equacions de Fresnel són una equació complexa, és a dir, que considera tant la magnitud com la fase. Les Equacions de Fresnel es representen en termes d'amplitud complexa del camp electromagnètic, que considera la fase a més de la potència.

Aquestes equacions són les raons d'un camp electromagnètic i es presenten en diverses formes. Els coeficients d'amplitud complexa es representen amb r i t.

El coeficient de reflexió 'r' és la raó de l'amplitud complexa del camp elèctric de l'ona reflectida a l'ona incident. I el coeficient de transmissió 't' és la raó de l'amplitud complexa del camp elèctric de l'ona transmesa a l'ona incident.

Com es mostra en la figura anterior, hem assumit que l'angle d'incidència és θi, reflectit a un angle de θr, i transmès a un angle de θt.

Ni són els índexs de refracció del mitjà de la llum incident i Nt són els índexs de refracció del mitjà de la llum transmesa.

Per tant, hi ha quatre Equacions de Fresnel; dues equacions per al coeficient de reflexió 'r' que són (rp i rs) i dues equacions per al coeficient de transmissió 't' que són (tp i ts).

Derivació de les Equacions de Fresnel

Suposem que la llum incident es reflecteix com es mostra en la figura anterior. En el primer cas, derivarem una Equació de Fresnel per a la S-Polarització.

Per a la S-Polarització, la component paral·lela E i la component perpendicular B són contínues a través de la frontera entre dos mitjans.

Així, a partir de la condició de frontera, podem escriure equacions per al camp E i el camp B,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Utilitzem la relació següent entre B i E per eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

I a partir de la llei de reflexió,

$\theta_i = \theta_r$

Substituïm aquest valor a l'eq-2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Ara, pel coeficient de reflexió t, a partir de l'eq-1 i l'eq-4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Aquestes són les Equacions de Fresnel per a la llum polaritzada perpendicularment (S-Polarització).

Ara, derivem les equacions per a la llum polaritzada paral·lelament (P-Polarització).

Per a la S-Polarització, les equacions del camp E i B són:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Utilitzem la relació següent entre B i E per eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Substitueu aquest valor a l'eq-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Ara, per al coeficient de reflexió t, de l'eq-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Substitueix aquest valor a l'eq-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Resumint les quatre equacions de Fresnel,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles mereixen ser compartits, si hi ha infracció contacteu per eliminar.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Enginyeria de l'il·luminació

Teoria de la llum

Sobre experts

Electrical4u

China

Recomanat

Més

Quins són els beneficis de les llums amb sensor de moviment?

Sensorització intel·ligent i comoditatLes llums amb sensor de moviment utilitzen tecnologia de detecció per detectar automàticament l'entorn i l'activitat humana, encenent-se quan algú passa i apagant-se quan no hi ha ningú. Aquesta característica de sensorització intel·ligent ofereix gran comoditat als usuaris, eliminant la necessitat de canviar manualment les llums, especialment en entorns foscos o mal il·luminats. Il·lumina ràpidament l'espai, facilitant la caminada dels usuaris o altres acti

Encyclopedia

10/30/2024

Quina és la diferència entre una catarina freda i una catarina calenta en les llums de descàrrega?

Les principals diferències entre els catòds fred i calent en les llums de descàrrega són les següents:Principi de lluminiscència Catòd Fred: Les llàmpades de catòd fred generen electrons a través de la descàrrega de brill, que bombardegen el catòd per produir electrons secundaris, així mantenint el procés de descàrrega. La corrent del catòd es produeix principalment pels ions positius, resultant en una corrent petita, per tant, el catòd roman a una temperatura baixa. Catòd Calent: Una llàmpada d

Encyclopedia

10/30/2024

Quins són els inconvenients de les llums LED?

Desavantatges de les llums LEDEncara que les llums LED tenen molts avantatges, com l'eficiència energètica, la llarga durada i la respectuositat amb l'ambient, també tenen diversos desavantatges. Aquí s'enumeren els principals inconvenients de les llums LED:1. Cost inicial alt Preu: El cost inicial d'adquisició de les llums LED és típicament més elevat que el de les bombilles tradicionals (com les incandescent o les fluorescent). Encara que a llarg termini, les llums LED poden estalviar en el co

Encyclopedia

10/29/2024

Hi ha alguna precaució en connectar els components de les llums solars de carrer?

Precaucions per a la connexió dels components de l'enllumenat solar de carrerLa connexió dels components d'un sistema d'enllumenat solar de carrer és una tasca crucial. Una connexió correcta assegura que el sistema funcioni de manera normal i segura. Aquí tens algunes precaucions importants a seguir quan connectis els components d'un enllumenat solar de carrer:1. Seguretat Primer1.1 Apaga la corrent elèctricaAbans de l'operació: Assegura't que totes les fonts d'energia del sistema d'enllumenat s

Encyclopedia

10/26/2024