Ecuaciones de Fresnel: ¿Qué son? (Derivación y Explicación)

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué son las Ecuaciones de Fresnel?

Las Ecuaciones de Fresnel (también conocidas como los coeficientes de Fresnel) se definen como la relación entre el campo eléctrico de una onda reflejada y transmitida con respecto al campo eléctrico de la onda incidente. Esta relación es compleja y, por lo tanto, describe la amplitud relativa así como los desplazamientos de fase entre las ondas.

Las Ecuaciones de Fresnel (coeficientes de Fresnel) describen la reflexión y transmisión de la luz cuando incide en una interfaz entre dos medios diferentes. Las Ecuaciones de Fresnel fueron introducidas por Augustin-Jean Fresnel. Él fue el primero en comprender que la luz es una onda transversal.

Cuando la luz incide en la superficie de un dieléctrico, se reflejará y refractará en función del ángulo de incidencia. La dirección de la onda reflejada está dada por la "Ley de Reflexión".

El efecto de Fresnel se observa en la vida cotidiana. Puede verse tanto en superficies brillantes como rugosas. Este efecto es muy claro en la superficie del agua. Cuando la luz incide en el agua desde el medio aire, la luz se reflejará según el ángulo de incidencia.

El efecto de Fresnel está en todas partes. Si tratas de mirar a tu alrededor, encontrarás muchos ejemplos. Este efecto depende altamente del ángulo de incidencia.

El ángulo de incidencia es el ángulo entre la línea de visión y la superficie del objeto que estás observando. La figura a continuación muestra el efecto del ángulo de incidencia en la reflexión de Fresnel.

Polarizaciones S y P

El plano que tiene la normal de la superficie y el vector de propagación de la radiación incidente se conoce como el plano de incidencia o plano de incidencia.

El plano de incidencia juega un papel importante en la fuerza de la reflexión de la polarización de la luz incidente. La polarización se define como una propiedad de una onda transversal que especifica la orientación geométrica de la oscilación.

Existen dos tipos de polarización;

Polarización S
Polarización P

Cuando la polarización de la luz es perpendicular al plano de incidencia, la polarización se conoce como polarización S. La palabra 'S' proviene de la palabra alemana senkrecht que significa perpendicular. La polarización S también se conoce como Eléctrica Transversal (TE).

Cuando la polarización de la luz es paralela al plano del incidente o se encuentra en el plano del incidente, este plano se conoce como P-Polarización. La S-polarización también se conoce como Magnético Transversal (TM).

La figura siguiente muestra que la luz incidente se refleja y transmite en S-polarización y P-Polarización.

Ecuaciones de Fresnel Índice Complejo de Refracción

Las Ecuaciones de Fresnel son una ecuación compleja, lo que significa que considera tanto la magnitud como la fase. Las Ecuaciones de Fresnel se representan en términos de la amplitud compleja del campo electromagnético, lo que considera la fase además de la potencia.

Estas ecuaciones son las razones del campo electromagnético y se presentan en varias formas. Los coeficientes de amplitud compleja se representan por r y t.

El coeficiente de reflexión ‘r’ es la razón de la amplitud compleja del campo eléctrico de la onda reflejada a la onda incidente. Y el coeficiente de transmisión ‘t’ es la razón de la amplitud compleja del campo eléctrico de la onda transmitida a la onda incidente.

Como se muestra en la figura anterior, hemos asumido que el ángulo de incidencia es θi, reflejado a un ángulo de θr, y transmitido a un ángulo de θt.

Ni es el índice de refracción del medio de la luz incidente y Nt es el índice de refracción del medio de la luz transmitida.

Por lo tanto, hay cuatro Ecuaciones de Fresnel; dos ecuaciones para el coeficiente de reflexión ‘r’ que son (rp y rs) y dos ecuaciones para el coeficiente de transmisión ‘t’ que son (tp y ts).

Derivación de las Ecuaciones de Fresnel

Supongamos que la luz incidente se refleja como se muestra en la figura anterior. En el primer caso, derivaremos una Ecuación de Fresnel para la S-Polarización.

Para la S-Polarización, la componente paralela E y la componente perpendicular B son continuas a través del límite entre dos medios.

Por lo tanto, a partir de la condición de frontera, podemos escribir ecuaciones para el campo E y el campo B,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Usamos la siguiente relación entre B y E para eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Y de la ley de reflexión,

$\theta_i = \theta_r$

Introducimos este valor en la ec-2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Ahora, para el coeficiente de reflexión t, a partir de la ecuación 1 y la ecuación 4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Estas son las ecuaciones de Fresnel para la luz polarizada perpendicularmente (S-Polarización).

Ahora, deduzcamos las ecuaciones para la luz polarizada paralelamente (P-Polarización).

Para la S-Polarización, las ecuaciones para el campo E y el campo B son:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Utilizamos la siguiente relación entre B y E para eliminar B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Introduzca este valor en la ecuación 15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Ahora, para el coeficiente de reflexión t, a partir de la ec-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Introduzca este valor en la ec-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Resumamos las cuatro ecuaciones de Fresnel,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

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