Fresnel vienādojumi: Kas tie ir? (Izvēršana & Paskaidrojums)

Lauks: Pamata elektrotehnika

China

Kas ir Freznela vienādojumi?

Freznela vienādojumi (arī pazīstami kā Freznela koeficienti) tiek definēti kā attiecība starp elektriskā lauka atstarota un caur ceļojošā viļņa elektriskajiem laukiem pret īsto viļņa elektrisko lauku. Šī attiecība ir sarežģīta un tādēļ apraksta gan relatīvo amplitūdu, gan arī fāzes nobīdes starp viļņiem.

Freznela vienādojumi (Freznela koeficienti) apraksta gaismas atstarojumu un caur ceļošanu, kad tas ienāk uz divu dažādu vidu robežu. Freznela vienādojumus ieviesa Augustin-Jean Freznelis. Viņš bija pirmais, kas saprata, ka gaisma ir transversālais viļnis.

Ja gaisma ienāk dielektrika virsmitē, tā tiks atstarota un šķērsotāta atkarībā no ienākošā leņķa. Atstaroto viļņa virzienu nosaka “Atstarošanas likums”.

Freznela efekts redzams ikdienas dzīvē. To var novērot gan gludās, gan arī nerudzošās virsmās. Šis efekts ir ļoti skaidrs ūdens virsmitē. Ja gaisma ienāk ūdenī no gaisa, tā tiks atstarota atkarībā no ienākošā leņķa.

Freznela efekts ir visur. Ja mēģināt aplūkot apkārt, jūs atradīsiet daudz piemēru. Šis efekts lielā mērā atkarīgs no ienākošā leņķa.

Ienākošais leņķis ir leņķis starp redzamās līnijas un objekta virsmas, ko jūs meklējat. Zemāk esošajā zīmējumā parādīts ienākošā leņķa efekts Freznela atstarojumā.

S un P polārizācija

Plakne, kas satur virsmas normāli un ienākošās radiācijas izplatības vektoru, pazīstama kā ienākošā plakne vai ienākošās plaknes.

Ienākošā plakne spēlo svarīgu lomu ienākošā gaisma polārizācijas atstarošanas stiprumā. Polārizācija ir definēta kā transversālā viļņa īpašība, kas norāda svārstību ģeometriskā orientāciju.

Ir divi polārizācijas veidi;

S-polārizācija
P-polārizācija

Ja gaismas polārizācija ir perpendikulāra ienākošās plaknei, polārizācija pazīstama kā S-polārizācija. Vārds 'S' nāk no vārda senkrecht, kas nozīmē perpendikulāri. S-polārizācija ir arī pazīstama kā Transversālais Elektrisks (TE).

Ja gājiena polarizācija ir paralēla līdzināšanās plaknei vai tā atrodas līdzināšanās plaknē, šo plakni sauc par P-polarizāciju. S-polarizācija arī ir zināma kā Transversālais magnētiskais (TM).

Apakšējā attēlā tiek parādīts, ka ieplūstais gaiss ir atstarota un pārnesta S-polarizācijā un P-polarizācijā.

Fresnela vienādojumi Komplekss refrakcijas indekss

Fresnela vienādojumi ir sarežģīti vienādojumi, kas ņem vērā gan lielumu, gan fāzi. Fresnela vienādojumi izsaka elektromagnētiskā lauka kompleksos amplitūdu, ņemot vērā fāzi, ne tikai jaudu.

Šie vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka attiecības un tie ir dažādos formātos. Kompleksos amplitūdas koeficientus apzīmē ar r un t.

Atspoguļojuma koeficients 'r' ir atspoguļotā gājiena elektromagnētiskā lauka kompleksā amplitūdes attiecība pret ieplūsto gājienu. Un caurietojuma koeficients 't' ir pārnestā gājiena elektromagnētiskā lauka kompleksā amplitūdes attiecība pret ieplūsto gājienu.

Kā redzams augšējā attēlā, mēs esam pieņēmuši, ka ieplūšanas leņķis ir θi, atspoguļots leņķī θr un pārnests leņķī θt.

Ni ir ieplūsto gaismu vidus refrakcijas indekss un Nt ir pārnesto gaismu vidus refrakcijas indekss.

Tātad, ir četri Fresnela vienādojumi; divi vienādojumi atspoguļojuma koeficientam 'r' (rp un rs) un divi vienādojumi caurietojuma koeficientam 't' (tp un ts).

Fresnela vienādojumu izcelsme

Pieņemsim, ka ieplūstais gaiss atspoguļojas, kā tas ir parādīts augšējā attēlā. Pirmajā gadījumā mēs izveidosim Fresnela vienādojumu S-polarizācijai.

S-polarizācijai, paralēlā komponente E un perpendikulārā komponente B ir nepārtrauktas robežā starp divām vidēm.

Tātad no robežvērtībām mēs varam uzrakstīt vienādojumus E laukam un B laukam,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Mēs izmantojam zemāk norādīto attiecību starp B un E, lai izslēgtu B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Un no atstarošanās likuma,

$\theta_i = \theta_r$

Ievadiet šo vērtību vienādojumā 2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Tagad, atrodot refleksijas koeficientu t, no vienādojumiem (1) un (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Šīs ir Fresnela vienādojumi perpendikulāri polarizētam gaismam (S-polarizācija).

Tagad izveidosim vienādojumus paralēli polarizētam gaismam (P-polarizācija).

S-polarizācijai E-lauka un B-lauka vienādojumi ir šādi;

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Lietojam zemāk norādīto attiecību starp B un E, lai izslēgtu B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Ievadiet šo vērtību vienādojumā (15),

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Tagad, atspoguļojuma koeficientam t, no vienādojuma-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Ievadiet šo vērtību vienādojumā-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Apskopojot visus četrus Fresnela vienādojumus,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Paziņojums: Cienīt originālo, labas rakstītas publikācijas ir vērtīgas koplietošanai, ja notiek autortiesību pārkāpums, lūdzu, sazinieties, lai to dzēstu.

Dodot padomu un iedrošināt autoru

Tēmas:

Apdrošināšanas inženierija

Gājis gaisma teorija

Par ekspertiem

Electrical4u

China