Уравнения на Френел: Какво са те? (Изивод и обяснение)

Поле: Основни електротехника

China

Какви са уравненията на Френел?

Уравненията на Френел (също известни като коефициенти на Френел) се дефинират като отношението между електричното поле на отразената и пропуснатата вълна спрямо електричното поле на падащата вълна. Това отношение е комплексно и описва относителната амплитуда, както и фазовите сдвижения между вълните.

Уравненията на Френел (коефициенти на Френел) описват отражението и пропускането на светлината, когато тя пада върху интерфейса между две различни среди. Уравненията на Френел бяха въведени от Огюстен-Жан Френел. Той беше първият, който разбра, че светлината е трансверсална вълна.

Когато светлината пада върху повърхността на диелектрик, тя ще бъде отразена и пречупена в зависимост от ъгъла на падане. Построяването на отразената вълна се дава от „Закон за отражението“.

Ефектът на Френел се наблюдава в ежедневния живот. Той може да се види както на гладки, така и на шероховати повърхности. Този ефект е особено ясно изразен върху водната повърхност. Когато светлината пада върху водата от въздушната среда, тя се отразява в зависимост от ъгъла на падане.

Ефектът на Френел е навсякъде. Ако опитате да се огледате, ще намерите много примери. Този ефект силно зависи от ъгъла на падане.

Ъгълът на падане е ъгълът между линията на зрението и повърхността на обекта, който наблюдавате. Нисходящата фигура показва ефекта на ъгъла на падане при отражението на Френел.

S и P поляризации

Плоскостта, която има нормалата на повърхността и вектора на разпространение на входящата радиация, се нарича плоскост на падане или плоскост на падане.

Плоскостта на падане играе важна роля в силата на отражението на поляризацията на падащата светлина. Поляризацията се дефинира като свойство на трансверсалната вълна, което определя геометричната ориентация на осцилацията.

Има два типа поляризации;

S-поляризация
P-поляризация

Когато поляризацията на светлината е перпендикулярна на плоскостта на падане, тя се нарича S-поляризация. Думата 'S' произлиза от немския термин senkrecht, което означава перпендикулярно. S-поляризацията също се нарича Трансверсално Електричество (TE).

Когато поляризацията на светлината е успоредна на равнината на падане или се намира в равнината на падане. Равнината се нарича P-поляризация. S-поляризацията е известна още като Трансверсално магнитно (TM).

По-долният чертеж показва, че падащата светлина се отразява и пренася при S-поляризация и P-поляризация.

Уравненията на Френел с комплексен показател на пречупване

Уравненията на Френел са сложни уравнения, които взимат предвид както големината, така и фазата. Уравненията на Френел се представят чрез комплексната амплитуда на електромагнитното поле, което взима предвид фазата освен мощността.

Тези уравнения са отношения между електромагнитното поле и се извършват в различни форми. Комплексните коефициенти на амплитуда се представят с r и t.

Коефициентът на отражение 'r' е отношението на комплексната амплитуда на електрическото поле на отразената вълна към падащата вълна. А коефициентът на пренасяне 't' е отношението на комплексната амплитуда на електрическото поле на пренесената вълна към падащата вълна.

Както е показано на горния чертеж, допускаме, че ъгълът на падане е θi, отразен под ъгъл θr, и пренесен под ъгъл θt.

Ni е показателят на пречупване на средата на падащата светлина, а Nt е показателят на пречупване на средата на пренесената светлина.

Следователно, има четири уравнения на Френел; две уравнения за коефициента на отражение 'r', които са (rp и rs) и две уравнения за коефициента на пренасяне 't', които са (tp и ts).

Изивод на уравненията на Френел

Допускаме, че падащата светлина се отразява, както е показано на горния чертеж. В първия случай ще изведем уравнение на Френел за S-поляризация.

За S-поляризация, успоредната компонента E и перпендикулярната компонента B са непрекъснати през границата между двете среди.

От граничните условия можем да запишем уравненията за E-поле и B-поле,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Използваме следната връзка между B и E, за да елиминираме B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

И от законите на рефлексията,

$\theta_i = \theta_r$

Поставяме тази стойност в уравнение (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Сега, за коефициента на рефлекция t, от ур-вието (1) и (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Това са уравненията на Френел за перпендикулярно поляризирана светлина (S-поляризация).

Сега, нека изведем уравненията за успоредно поляризирана светлина (P-поляризация).

За S-поляризацията, уравненията за Е-полето и B-полето са:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Използваме следната връзка между B и E, за да елиминираме B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Поставете тази стойност в ур-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Сега, за коефициента на рефлекция t, от ур-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Поставете тази стойност в ур-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Нека обобщим всички четири уравнения на Френел,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Заявление: Уважавайте оригинала, статии от високо качество заслужават да се споделят, ако има нарушение на авторските права, моля, свържете се за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Осветителна инженерия

Теория на светлината

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607