Уравнения на Френел: Какво са те? (Изивод и обяснение)

Поле: Основни електротехника

China

Какви са уравненията на Френел?

Уравненията на Френел (също известни като коефициенти на Френел) се дефинират като отношението между електричното поле на отразената и пропуснатата вълна спрямо електричното поле на падащата вълна. Това отношение е комплексно и описва относителната амплитуда, както и фазовите сдвижения между вълните.

Уравненията на Френел (коефициенти на Френел) описват отражението и пропускането на светлината, когато тя пада върху интерфейса между две различни среди. Уравненията на Френел бяха въведени от Огюстен-Жан Френел. Той беше първият, който разбра, че светлината е трансверсална вълна.

Когато светлината пада върху повърхността на диелектрик, тя ще бъде отразена и пречупена в зависимост от ъгъла на падане. Построяването на отразената вълна се дава от „Закон за отражението“.

Ефектът на Френел се наблюдава в ежедневния живот. Той може да се види както на гладки, така и на шероховати повърхности. Този ефект е особено ясно изразен върху водната повърхност. Когато светлината пада върху водата от въздушната среда, тя се отразява в зависимост от ъгъла на падане.

Ефектът на Френел е навсякъде. Ако опитате да се огледате, ще намерите много примери. Този ефект силно зависи от ъгъла на падане.

Ъгълът на падане е ъгълът между линията на зрението и повърхността на обекта, който наблюдавате. Нисходящата фигура показва ефекта на ъгъла на падане при отражението на Френел.

S и P поляризации

Плоскостта, която има нормалата на повърхността и вектора на разпространение на входящата радиация, се нарича плоскост на падане или плоскост на падане.

Плоскостта на падане играе важна роля в силата на отражението на поляризацията на падащата светлина. Поляризацията се дефинира като свойство на трансверсалната вълна, което определя геометричната ориентация на осцилацията.

Има два типа поляризации;

S-поляризация
P-поляризация

Когато поляризацията на светлината е перпендикулярна на плоскостта на падане, тя се нарича S-поляризация. Думата 'S' произлиза от немския термин senkrecht, което означава перпендикулярно. S-поляризацията също се нарича Трансверсално Електричество (TE).

Когато поляризацията на светлината е успоредна на равнината на падане или се намира в равнината на падане. Равнината се нарича P-поляризация. S-поляризацията е известна още като Трансверсално магнитно (TM).

По-долният чертеж показва, че падащата светлина се отразява и пренася при S-поляризация и P-поляризация.

Уравненията на Френел с комплексен показател на пречупване

Уравненията на Френел са сложни уравнения, които взимат предвид както големината, така и фазата. Уравненията на Френел се представят чрез комплексната амплитуда на електромагнитното поле, което взима предвид фазата освен мощността.

Тези уравнения са отношения между електромагнитното поле и се извършват в различни форми. Комплексните коефициенти на амплитуда се представят с r и t.

Коефициентът на отражение 'r' е отношението на комплексната амплитуда на електрическото поле на отразената вълна към падащата вълна. А коефициентът на пренасяне 't' е отношението на комплексната амплитуда на електрическото поле на пренесената вълна към падащата вълна.

Както е показано на горния чертеж, допускаме, че ъгълът на падане е θi, отразен под ъгъл θr, и пренесен под ъгъл θt.

Ni е показателят на пречупване на средата на падащата светлина, а Nt е показателят на пречупване на средата на пренесената светлина.

Следователно, има четири уравнения на Френел; две уравнения за коефициента на отражение 'r', които са (rp и rs) и две уравнения за коефициента на пренасяне 't', които са (tp и ts).

Изивод на уравненията на Френел

Допускаме, че падащата светлина се отразява, както е показано на горния чертеж. В първия случай ще изведем уравнение на Френел за S-поляризация.

За S-поляризация, успоредната компонента E и перпендикулярната компонента B са непрекъснати през границата между двете среди.

От граничните условия можем да запишем уравненията за E-поле и B-поле,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Използваме следната връзка между B и E, за да елиминираме B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

И от законите на рефлексията,

$\theta_i = \theta_r$

Поставяме тази стойност в уравнение (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Сега, за коефициента на рефлекция t, от ур-вието (1) и (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Това са уравненията на Френел за перпендикулярно поляризирана светлина (S-поляризация).

Сега, нека изведем уравненията за успоредно поляризирана светлина (P-поляризация).

За S-поляризацията, уравненията за Е-полето и B-полето са:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Използваме следната връзка между B и E, за да елиминираме B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Поставете тази стойност в ур-15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Сега, за коефициента на рефлекция t, от ур-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Поставете тази стойност в ур-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Нека обобщим всички четири уравнения на Френел,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Заявление: Уважавайте оригинала, статии от високо качество заслужават да се споделят, ако има нарушение на авторските права, моля, свържете се за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Осветителна инженерия

Теория на светлината

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607

Препоръчано

Повече

Какви са ползите от датчици за движение в осветлението?

Умно усещане и удобствоОсветителните тела с датчици за движение използват технология за усещане, за да автоматично детектират околната среда и човешката дейност, включвайки се, когато някой премине, и изключвайки се, когато никой не е наоколо. Тази интелигентна функция за усещане предлага голямо удобство за потребителите, като елиминира необходимостта от ръчно включване на осветлението, особено в тъмни или слабо осветени условия. Бързо осветява пространството, облекчавайки ходенето или други дей

Encyclopedia

10/30/2024

Каква е разликата между студен катод и горещ катод в разрядните лампи?

Основните разлики между студен катод и горещ катод в разрядните лампи са следните:Принцип на излъчване Студен катод: Лампите със студен катод генериращи електрони чрез святане, които бомбардират катода, за да произведат вторични електрони, по този начин поддържайки процеса на разряд. Токът на катода предимно се дължи на положителни иони, което води до малък ток, така че катодът остава при ниска температура. Горещ катод: Лампата с горещ катод генерира светлина, като нагрява катода (обикновено вол

Encyclopedia

10/30/2024

Какви са недостатъците на LED лампите?

Недостатъци на LED лампитеВъпреки че LED лампите имат много предимства, като енергийна ефективност, дълъг срок на използване и екологичност, те също имат няколко недостатъка. Ето основните недостатъци на LED лампите:1. Висока първоначална цена Цена: Първоначалната закупна цена на LED лампите обикновено е по-висока от тази на традиционните крушки (като инкандесцентни или флуоресцентни крушки). Въпреки че в дългосрочен план LED лампите могат да спестят пари за електричество и замяна благодарение н

Encyclopedia

10/29/2024

Има ли предпазни мерки при монтажа на компонентите на слънчеви улични светлини?

Предпазни мерки при монтажа на компонентите на слънчевата улична светлинаМонтажът на компонентите на системата за слънчева улична светлина е важна задача. Правилният монтаж осигурява нормална и безопасна работа на системата. Ето някои важни предпазни мерки, които трябва да спазвате при монтажа на компонентите на слънчевата улична светлина:1. Безопасността пръв1.1 Изключете токаПреди операцията: Уверете се, че всички източници на ток в системата за слънчева улична светлина са изключени, за да се

Encyclopedia

10/26/2024