Уравнения Френеля: Что это такое? (Вывод и объяснение)

Поле: Основы электротехники

China

Что такое уравнения Френеля?

Уравнения Френеля (также известные как коэффициенты Френеля) определяются как отношение электрического поля отраженной и прошедшей волны к электрическому полю падающей волны. Это отношение является комплексным и, следовательно, описывает относительную амплитуду, а также фазовые сдвиги между волнами.

Уравнения Френеля (коэффициенты Френеля) описывают отражение и пропускание света при его падении на границу между двумя различными средами. Уравнения Френеля были введены Огюстеном-Жаном Френелем. Он был первым, кто понял, что свет является поперечной волной.

Когда свет падает на поверхность диэлектрика, он будет отражаться и преломляться в зависимости от угла падения. Направление отраженной волны определяется "Законом отражения".

Эффект Френеля можно наблюдать в повседневной жизни. Его можно увидеть на блестящих, а также на шероховатых поверхностях. Этот эффект особенно заметен на поверхности воды. Когда свет падает на воду из воздушной среды, он отражается в зависимости от угла падения.

Эффект Френеля встречается повсюду. Если вы попробуете посмотреть вокруг, вы найдете множество примеров. Этот эффект сильно зависит от угла падения.

Угол падения — это угол между линией зрения и поверхностью объекта, который вы рассматриваете. На рисунке ниже показано влияние угла падения на отражение Френеля.

S и P поляризации

Плоскость, содержащая нормаль к поверхности и вектор распространения падающего излучения, называется плоскостью падения или плоскостью инцидентного луча.

Плоскость падения играет важную роль в силе отражения падающего света. Поляризация определяется как свойство поперечной волны, которое указывает геометрическую ориентацию колебаний.

Существует два типа поляризации;

S-поляризация
P-поляризация

Когда поляризация света перпендикулярна плоскости падения, она называется S-поляризацией. Слово "S" происходит от немецкого слова senkrecht, что означает перпендикулярно. S-поляризация также известна как Трансверсальное Электрическое (TE).

Когда поляризация света параллельна плоскости падения или лежит в плоскости падения, эта плоскость называется P-поляризацией. S-поляризация также известна как поперечное магнитное (TM).

На следующем рисунке показано, что падающий свет отражается и пропускается в S-поляризации и P-поляризации.

Уравнения Френеля комплексный показатель преломления

Уравнения Френеля — это сложные уравнения, которые учитывают как величину, так и фазу. Уравнения Френеля выражаются через комплексную амплитуду электромагнитного поля, которая учитывает фазу, помимо мощности.

Эти уравнения представляют собой соотношения электромагнитного поля и могут быть представлены в различных формах. Комплексные амплитудные коэффициенты обозначаются r и t.

Коэффициент отражения 'r' является отношением комплексной амплитуды электрического поля отраженной волны к падающей волне. Коэффициент пропускания 't' является отношением комплексной амплитуды электрического поля прошедшей волны к падающей волне.

Как показано на приведенном выше рисунке, мы предполагаем, что угол падения равен θi, отражение происходит под углом θr, а пропускание происходит под углом θt.

Ni — это показатели преломления среды падающего света, а Nt — это показатели преломления среды прошедшего света.

Таким образом, существует четыре уравнения Френеля: два уравнения для коэффициента отражения 'r' (rp и rs) и два уравнения для коэффициента пропускания 't' (tp и ts).

Вывод уравнений Френеля

Предположим, что падающий свет отражается, как показано на приведенном выше рисунке. В первом случае мы выведем уравнение Френеля для S-поляризации.

Для S-поляризации параллельная компонента E и перпендикулярная компонента B непрерывны на границе между двумя средами.

Следовательно, из граничных условий мы можем записать уравнения для электрического и магнитного полей,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Мы используем следующее соотношение между B и E, чтобы исключить B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Из закона отражения,

$\theta_i = \theta_r$

Подставим это значение в ур-ние 2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Теперь, для коэффициента отражения t, из уравнений (1) и (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Это уравнения Френеля для перпендикулярно поляризованного света (S-поляризация).

Теперь давайте выведем уравнения для параллельно поляризованного света (P-поляризация).

Для S-поляризации уравнения для электрического и магнитного полей следующие:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Мы используем следующее соотношение между B и E, чтобы исключить B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Подставьте это значение в уравнение (15),

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Теперь, для коэффициента отражения t, из уравнения-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Подставим это значение в уравнение-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Подведем итог всех четырех уравнений Френеля,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Заявление: Уважайте оригинальные статьи, достойные распространения. В случае нарушения авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Освещение

Теория света

О специалистах

Electrical4u

China

Область экспертизы

Basic Electrical

Профессиональная статья

607

Рекомендуемый

Больше

Какие преимущества имеют датчики движения для освещения

Умное обнаружение и удобствоДатчики движения используют технологию обнаружения для автоматического определения окружающей среды и активности человека, включая свет, когда кто-то проходит мимо, и выключая его, когда никого нет. Эта умная функция обнаружения предоставляет большое удобство пользователям, исключая необходимость вручную включать свет, особенно в темных или слабо освещенных условиях. Она быстро освещает пространство, облегчая ходьбу или выполнение других действий.Экономия энергии и за

Encyclopedia

10/30/2024

В чем разница между холодным катодом и горячим катодом в газоразрядных лампах

Основные различия между холодным и горячим катодом в разрядных лампах следующие:Принцип свечения Холодный катод: Лампы с холодным катодом генерируют электроны через свечение разряда, которые бомбардируют катод, создавая вторичные электроны, тем самым поддерживая процесс разряда. Ток катода в основном обеспечивается положительными ионами, что приводит к небольшому току, поэтому катод остается при низкой температуре. Горячий катод: Лампа с горячим катодом генерирует свет, нагревая катод (обычно во

Encyclopedia

10/30/2024

Каковы недостатки светодиодных ламп

Недостатки светодиодных лампХотя у светодиодных ламп есть много преимуществ, таких как энергоэффективность, долгий срок службы и экологичность, у них также есть несколько недостатков. Вот основные недостатки светодиодных ламп:1. Высокая начальная стоимость Цена: Начальная стоимость покупки светодиодных ламп обычно выше, чем у традиционных ламп (например, ламп накаливания или люминесцентных). Хотя в долгосрочной перспективе светодиодные лампы могут сэкономить деньги на электроэнергии и замене бла

Encyclopedia

10/29/2024

Есть ли какие-либо меры предосторожности при подключении компонентов солнечных уличных фонарей

Меры предосторожности при подключении компонентов солнечного уличного освещенияПодключение компонентов системы солнечного уличного освещения является важной задачей. Правильное подключение гарантирует нормальное и безопасное функционирование системы. Ниже приведены некоторые важные меры предосторожности, которые следует соблюдать при подключении компонентов солнечного уlichtенного освещения:1. Безопасность прежде всего1.1 Выключите питаниеПеред началом работы: Убедитесь, что все источники питани

Encyclopedia

10/26/2024