Fresnel-egyenletek: Mire utalnak? (Levezetés és magyarázat)

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi az Fresnel-egyenletek?

Az Fresnel-egyenletek (más néven Fresnel-együtthatók) definiálják a visszaverődött és átmenő hullám elektromos mező és az eszközön érkező hullám elektromos mezőjének arányát. Ez a hányados komplex, így leírja a hullámok közötti relatív amplitúdót és fáziseltolódást is.

Az Fresnel-egyenletek (Fresnel-együtthatók) leírják a fény visszaverődését és átmenetét, amikor két különböző közeg határvonala mentén esik. Az Fresnel-egyenleteket Augustin-Jean Fresnel vezette be. Ő volt az első, aki megértette, hogy a fény egy transzverz hullám.

Amikor a fény egy dielektrikus felületre esik, a visszaverődés és a törés a beesési szög függvényében alakul. A visszaverődött hullám irányát a „Visszaverődés törvénye” adja meg.

Az Fresnel-hatás mindennapi életünkben is megfigyelhető. Látható csillogó, valamint durva felületeken is. Ez a hatás nagyon jól látszik a víz felületén. Amikor a fény a levegőből a vizbe esik, a fény a beesési szög függvényében verődik vissza.

Az Fresnel-hatás mindenhol található. Ha körülnéz, sok példát találhat. Ez a hatás nagymértékben függ a beesési szögtől.

A beesési szög a látóvonal és a megfigyelt objektum felülete közötti szög. Az alábbi ábra mutatja a beesési szög hatását az Fresnel-visszaverődésben.

S és P polarizáció

A sík, amely tartalmazza a felület normálvektorát és a bejövő sugárzás terjedési vektorát, az incidencia-síknak vagy incidencia-síknak nevezik.

Az incidencia-sík nagy szerepet játszik a beeső fény polarizációjának visszaverődésének erősségében. A polarizáció azt a tulajdonságot jelenti a transzverz hullámnak, ami meghatározza a rezgések geometriai orientációját.

Két típusú polarizáció létezik;

S-polarizáció
P-polarizáció

Amikor a fény polarizációja merőleges az incidencia-síkra, akkor S-polarizációnak nevezik. Az 'S' betű a német 'senkrecht' (merőleges) szóból származik. Az S-polarizáció másként is Transzverz Elektromos (TE) polarizációként ismert.

Amikor a fény polarizációja párhuzamos az esemény síkjával vagy benne helyezkedik, ezt P-polarizációnak nevezzük. Az S-polarizációt transzverzális mágneses (TM) polarizációnak is hívják.

Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a bejövő fény visszaverődik és átmenik S-polarizációban és P-polarizációban.

Fresnel-egyenletek komplex törésmutató

A Fresnel-egyenletek összetett egyenletek, amelyek figyelembe veszik a nagyságot és a fázist is. A Fresnel-egyenletek elektromágneses mező komplex amplitúdókkal fejezhetők ki, amelyek a fázist is figyelembe veszik mellett a teljesítményt.

Ezek az egyenletek elektromágneses mező arányai, és különböző formában jelennek meg. A komplex amplitúdó együtthatókat r és t jelöli.

A visszaverődési együttható 'r' a visszaverődött hullám elektromágneses mező komplex amplitúdójának és a bejövő hullám amplitúdójának arányát adja. A továbbadási együttható 't' a továbbadott hullám elektromágneses mező komplex amplitúdójának és a bejövő hullám amplitúdójának arányát adja.

Ahogyan az ábrán látható, feltételezzük, hogy a bejövő szög θi, a visszaverődési szög θr, és a továbbadási szög θt.

Ni a bejövő fény közegének törésmutatója, Nt pedig a továbbadott fény közegének törésmutatója.

Így négy Fresnel-egyenlet van; két egyenlet a visszaverődési együttható 'r'-re (rp és rs) és két egyenlet a továbbadási együttható 't'-re (tp és ts).

Fresnel-egyenletek levezetése

Tegyük fel, hogy a bejövő fény visszaverődik, ahogy az ábrán látható. Az első esetben levezetünk egy Fresnel-egyenletet S-polarizációra.

S-polarizáció esetén a párhuzamos E és a merőleges B komponensek folytonosak a két közeg határán.

Tehát a peremfeltételből levezethetjük az E-melet és B-melet egyenleteit,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

A B és E közötti alábbi összefüggést használjuk a B kiküszöbölésére.

$B = \frac{nE}{c_0}$

És a tükrözés törvényéből,

$\theta_i = \theta_r$

Helyezzük ezt az értéket be az 2. egyenletbe,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Most éppen, a visszaverődési együttható t esetén az (1) és (4) egyenletekből,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Ezek a Fresnel-egyenletek merőlegesen polarizált fény (S-polarizáció) esetére vonatkoznak.

Most vezessük le a párhuzamosan polarizált fény (P-polarizáció) esetére vonatkozó egyenleteket.

Az S-polarizáció esetén az E-mezej és B-mezej egyenletei a következők:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Az alábbi B és E közötti összefüggést használjuk a B kiküszöbölésére.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Helyezze be ezt az értéket az 15. egyenletbe,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Most az (17) egyenlet szerinti visszaverődési együttható t esetén

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Ezt az értéket behelyettesítve az (15) egyenletbe

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Összefoglalva a négy Fresnel-egyenletet,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Kijelentés: Tiszteletben tartsuk az eredeti, jó cikkeket, amelyek megosztásra méltók. Ha jogi sértés történt, kérjük, lépjen kapcsolatba a törlés érdekében.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Illuminációs mérnöki technológia

Fény elmélete

Szakértők névjegye

Electrical4u

China