Fresnel-ligninger: Hva er de? (Derivering & forklaring)

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

Hva er Fresnel-ligningene?

Fresnel-ligningene (også kjent som Fresnel-koeffisienter) defineres som forholdet mellom elektrisk felt av en reflektert og transmittert bølge til elektrisk feltet av den inkommande bølgen. Dette forholdet er komplekst og beskriver derfor både relativ amplitud og faseforskyvninger mellom bølgene.

Fresnel-ligningene (Fresnel-koeffisienter) beskriver refleksjonen og transmisjonen av lys når det treffer grensen mellom to ulike medium. Fresnel-ligningene ble introdusert av Augustin-Jean Fresnel. Han var den første som forsto at lys er en tvær bølge.

Når lys treffer overflaten av et dielektrisk materiale, vil det bli reflektert og brytet som en funksjon av inngangsvinkelen. Retningen til den reflekterte bølgen gis av "refleksjonsloven".

Fresnel-effekten kan sees i dagliglivet. Den kan ses på både glatte og rå overflater. Effekten er veldig tydelig på vannoverflater. Når lys treffer vann fra luftmedium, vil lyset reflektere i henhold til inngangsvinkelen.

Fresnel-effekten er overalt. Hvis du ser deg rundt, vil du finne mange eksempler. Denne effekten avhenger sterkt av inngangsvinkelen.

Inngangsvinkelen er vinkelen mellom synslinjen og overflaten av objektet du ser på. Figuren nedenfor viser effekten av inngangsvinkelen i Fresnel-refleksjon.

S- og P-polarisering

Planet som inneholder normalen til overflaten og propagasjonsvektoren til det innkommende strålingen kalles planet for inngang eller inngangsplanet.

Inngangsplanet spiller en viktig rolle for styrken av refleksjon av polarisert inngangsljos. Polarisering defineres som en egenskap ved en tvær bølge som spesifiserer den geometriske orienteringen av svingningene.

Det finnes to typer polarisering;

S-polarisering
P-polarisering

Når polariseringen av ljos er vinkelrett på inngangsplanet, kalles polariseringen S-polarisering. Ordet 'S' kommer fra det tyske ordet senkrecht som betyr vinkelrett. S-polarisering er også kjent som Transversal Elektrisk (TE).

Når polariseringen av lys er parallel med inntreffsplanet eller ligger i inntreffsplanet, kalles planet for P-polarisering. S-polarisering er også kjent som transversal magnetisk (TM).

Figuren nedenfor viser at det inntreffende lyset reflekteres og overføres i S-polarisering og P-polarisering.

Fresnels ligninger kompleks brytningsindeks

Fresnels ligninger er en kompleks ligning, som betyr at den tar hensyn til både størrelse og fase. Fresnels ligninger representeres ved hjelp av det komplekse amplituden til elektromagnetisk felt, som tar hensyn til fasen i tillegg til effekt.

Disse ligningene er forholdet mellom et elektromagnetisk felt og de kan formuleres på ulike måter. De komplekse amplitudekoeffisientene representeres ved r og t.

Refleksjonskoeffisienten 'r' er forholdet mellom det komplekse amplitudet av det reflekterte bølgefeltet til det inntreffende bølgefeltet. Og refleksjonskoeffisienten 't' er forholdet mellom det komplekse amplitudet av det overførte bølgefeltet til det inntreffende bølgefeltet.

Som vist i figuren ovenfor, har vi antatt at inntreffsvinkelen er θi, reflektert ved en vinkel av θr, og overført ved en vinkel av θt.

Ni er brytningsindeksen til mediumet for det inntreffende lyset, og Nt er brytningsindeksen til mediumet for det overførte lyset.

Dermed er det fire Fresnels ligninger; to ligninger for refleksjonskoeffisienten 'r' (rp og rs) og to ligninger for refleksjonskoeffisienten 't' (tp og ts).

Derivering av Fresnels ligninger

La oss anta at det inntreffende lyset reflekteres som vist i figuren ovenfor. I det første tilfellet skal vi derive en Fresnel-ligning for S-polarisering.

For S-polarisering er parallelle komponent E og perpendikulære komponent B kontinuerlige over grensen mellom to media.

Derfor kan vi skrive ligninger for E-feltet og B-feltet ut fra randbetingelsen,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Vi bruker følgende relasjon mellom B og E for å eliminere B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Og ifølge refleksjonsloven,

$\theta_i = \theta_r$

Sett denne verdien inn i ligning 2,

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Nå, for refleksjonskoeffisienten t, fra likning 1 og likning 4,

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Dette er Fresnel-ligningene for perpendikulært polarisert lys (S-polarisasjon).

La oss nå utlede ligninger for paralleltpolarisert lys (P-polarisasjon).

For S-polarisasjon, er ligningene for E-felt og B-felt som følger:

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Vi bruker følgende relasjon mellom B og E for å eliminere B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Sett denne verdien i ligning 15,

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Nå, for refleksjonskoeffisienten t, fra ligning-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Sett denne verdien inn i ligning-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

La oss samme opp alle fire Fresnels ligninger,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Erklæring: Respekt for det opprinnelige, gode artikler er verdt å deles, hvis det foreligger overtredelse vennligst kontakt for sletting.

Gi en tips og oppmuntre forfatteren

Emner:

Belysningsteknikk

Lys-teori

Om eksperter

Electrical4u

China

Anbefalt

Mer

Hva er fordelen med bevegelsessensorlys?

Smart Sensing and ConvenienceBevegelsessensorlys utnytter sensor-teknologi for å automatisk oppdage omgivelsene og menneskelig aktivitet, slår på når noen passerer og slår av når ingen er til stede. Denne intelligente sensorfunksjonen gir stor nytte for brukerne, da det unngås å måtte manuelt slå på lys, spesielt i mørke eller dårlig belyste områder. Det lyser raskt opp rommet, som forenkler brukernes gange eller andre aktiviteter.Energibesparelse og miljøvernBevegelsessensorlys slår automatisk

Encyclopedia

10/30/2024

Hva er forskjellen mellom en kald katod og en varm katod i utslippslampene?

Hovedforskjellene mellom kalde katoder og varme katoder i strømlamper er som følger:Lyseprinsipp Kald katode: Lamper med kald katode genererer elektroner gjennom glødelysdischarge, som bombarderer katoden for å produsere sekundære elektroner, slik at disseplassen vedlikeholdes. Strømmen i katoden bidrar hovedsakelig positive ioner, noe som fører til en liten strøm, så katoden forblir ved lav temperatur. Varm katode: En lamp med varm katode genererer lys ved å oppvarme katoden (vanligvis en wolfr

Encyclopedia

10/30/2024

Hva er ulemper ved LED-lamper?

Ulemper med LED-lyskilderSelv om LED-lyskilder har mange fordeler, som energieffektivitet, lang levetid og miljøvennlighet, har de også flere ulemper. Her er de hovedsakelige ulemper ved LED-lyskilder:1. Høy innledende kostnad Pris: Innledende kjøpskostnaden for LED-lyskilder er typisk høyere enn for tradisjonelle pærer (som glødetrådpærer eller fluoresecentpærer). Selv om LED-lyskilder over tid kan spare penger på strøm og bytteutgifter på grunn av lav energiforbruk og lang levetid, er den innl

Encyclopedia

10/29/2024

Er det noen forhåndsvarsel når man kobler sammen komponenter for solgatelamper

Forsiktig med kabling av komponenter for solgatelamperKabling av komponenter for et solgatelampesystem er en viktig oppgave. Riktig kabling sikrer at systemet fungerer normalt og sikkert. Her er noen viktige forholdsregler å følge når du kobler sammen komponenter for solgatelamper:1. Sikkerhet først1.1 Slå av strømmenFør operasjon: Sørg for at alle strømkilder til solgatelampesystemet er slått av for å unngå elektriske støtulykker.1.2 Bruk isolerte verktøyVerktøy: Bruk isolerte verktøy for kabli

Encyclopedia

10/26/2024