Phương trình Fresnel: Chúng là gì? (Đạo hàm & Giải thích)

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

China

Các Phương Trình Fresnel là gì?

Các Phương Trình Fresnel (còn được gọi là hệ số Fresnel) được định nghĩa là tỷ lệ giữa điện trường của sóng phản xạ và truyền qua so với điện trường của sóng tới. Tỷ lệ này phức tạp và do đó, nó mô tả độ lớn tương đối cũng như sự dịch chuyển pha giữa các sóng.

Các Phương Trình Fresnel (hệ số Fresnel) mô tả sự phản xạ và truyền qua của ánh sáng khi nó tiếp xúc với giao diện giữa hai môi trường khác nhau. Các Phương Trình Fresnel được giới thiệu bởi Augustin-Jean Fresnel. Ông là người đầu tiên hiểu rằng ánh sáng là một sóng ngang.

Khi ánh sáng chiếu vào bề mặt của chất điện môi, nó sẽ bị phản xạ và khúc xạ theo góc chiếu. Hướng của sóng phản xạ được xác định bởi "Luật Phản Xạ".

Hiệu ứng Fresnel có thể thấy trong cuộc sống hàng ngày. Nó có thể thấy trên cả bề mặt bóng và gồ ghề. Hiệu ứng này rất rõ ràng trên bề mặt nước. Khi ánh sáng chiếu từ môi trường không khí vào nước, ánh sáng sẽ phản xạ theo góc chiếu.

Hiệu ứng Fresnel xuất hiện ở mọi nơi. Nếu bạn cố gắng nhìn quanh, bạn sẽ tìm thấy nhiều ví dụ. Hiệu ứng này phụ thuộc rất nhiều vào góc chiếu.

Góc chiếu là góc giữa đường nhìn và bề mặt của vật mà bạn đang quan sát. Hình dưới đây cho thấy hiệu ứng của góc chiếu trong phản xạ Fresnel.

Polarization S và P

Mặt phẳng chứa vectơ pháp tuyến bề mặt và vectơ truyền sóng của bức xạ tới được gọi là mặt phẳng chiếu hoặc mặt phẳng sự kiện.

Mặt phẳng chiếu đóng vai trò quan trọng trong cường độ phản xạ của cực hóa ánh sáng chiếu. Cực hóa được định nghĩa là một tính chất của sóng ngang chỉ ra hướng hình học của dao động.

Có hai loại cực hóa;

Polarization S
Polarization P

Khi cực hóa của ánh sáng vuông góc với mặt phẳng chiếu, cực hóa được gọi là Polarization S. Từ 'S' bắt nguồn từ tiếng Đức senkrecht có nghĩa là vuông góc. Polarization S còn được gọi là Điện Trường Ngang (TE).

Khi phân cực của ánh sáng song song với mặt phẳng của tia chiếu hoặc nằm trong mặt phẳng của tia chiếu. Mặt phẳng này được gọi là P-Polarization. S-polarization còn được biết đến như là Transverse Magnetic (TM).

Hình dưới đây cho thấy rằng ánh sáng tới được phản xạ và truyền qua trong S-polarization và P-Polarization.

Phương trình Fresnel Chỉ số khúc xạ phức tạp

Phương trình Fresnel là một phương trình phức tạp, nghĩa là nó xét cả độ lớn và pha. Phương trình Fresnel biểu diễn theo dạng biên độ phức của trường điện từ, cân nhắc cả pha lẫn công suất.

Những phương trình này là tỷ lệ của trường điện từ và chúng có nhiều dạng khác nhau. Các hệ số biên độ phức được biểu diễn bằng r và t.

Hệ số phản xạ 'r' là tỷ lệ giữa biên độ phức của trường điện của sóng phản xạ so với sóng tới. Và hệ số truyền 't' là tỷ lệ giữa biên độ phức của trường điện của sóng truyền so với sóng tới.

Như đã thể hiện trong hình trên, chúng ta đã giả định rằng góc tới là θi, phản xạ ở góc θr, và truyền đi ở góc θt.

Ni là chỉ số khúc xạ của môi trường của ánh sáng tới và Nt là chỉ số khúc xạ của môi trường của ánh sáng truyền qua.

Do đó, có bốn phương trình Fresnel; hai phương trình cho hệ số phản xạ 'r' là (rp và rs) và hai phương trình cho hệ số truyền 't' là (tp và ts).

Đạo hàm Phương trình Fresnel

Giả sử ánh sáng tới phản xạ như đã thể hiện trong hình trên. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta sẽ đạo hàm phương trình Fresnel cho S-Polarization.

Đối với S-Polarization, thành phần song song E và thành phần vuông góc B liên tục qua ranh giới giữa hai môi trường.

Do đó, từ điều kiện biên, chúng ta có thể viết các phương trình cho trường E và trường B,

(1) $\begin{equation*}E_i + E_r = E_t\end{equation*}$

$\begin{equation*}B_i \cos(\theta_i) - B_r \cos(\theta_r) = B_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

Chúng ta sử dụng mối quan hệ dưới đây giữa B và E để loại bỏ B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

Và từ định luật phản xạ,

$\theta_i = \theta_r$

Đặt giá trị này vào phương trình (2),

(3)

$\begin{equation*} \frac{n_i E_i}{c_0} \cos(\theta_i) - \frac{n_i E_r}{c_0} \cos(\theta_i) = \frac{n_t E_t}{c_0} \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(4)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(5)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - E_r ] = n_t [ E_i + E_r ] \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(6)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_i) = n_t E_i \cos(\theta_t) + n_t E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(7)

$\begin{equation*}n_i E_i \cos(\theta_i) - n_t E_i \cos(\theta_t) = n_t E_r \cos(\theta_t) + n_i E_r \cos(\theta_i) \end{equation*}$

(8)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t) ] = E_r [n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)]\end{equation*}$

$\begin{equation*}r_s = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}\end{equation*}$

Bây giờ, đối với hệ số phản xạ t, từ phương trình (1) và (4),

(10

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ E_i - (E_t - E_i) ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(11)

$\begin{equation*}n_i \cos(\theta_i) [ 2E_i - E_t ] = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(12)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) - E_t n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(13)

$\begin{equation*} 2E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t n_i \cos(\theta_i) + n_t E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(14

$\begin{equation*}t_s = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Đây là các phương trình Fresnel cho ánh sáng phân cực vuông góc (S-Polarization).

Bây giờ, hãy dẫn xuất các phương trình cho ánh sáng phân cực song song (P-Polarization).

Đối với S-Polarization, các phương trình cho trường điện và từ là;

(15)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(16)

$\begin{equation*}B_i - B_r = B_t\end{equation*}$

Chúng tôi sử dụng mối quan hệ dưới đây giữa B và E để loại bỏ B.

$B = \frac{nE}{c_0}$

(17)

$\begin{equation*}n_i E_i - n_i E_r = n_t E_t\end{equation*}$

$n_i [E_i - E_r] = n_t E_t$

$\frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] = E_t$

Đặt giá trị này vào phương trình (15),

(18)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i) = \frac{n_i}{n_t} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(19)

$\begin{equation*}n_t [E_i \cos(\theta_i) + E_r \cos(\theta_i)] = {n_i} [E_i - E_r] \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(20)

$\begin{equation*}n_t E_i \cos(\theta_i) + n_t E_r \cos(\theta_i) = n_i E_i \cos(\theta_t) - n_i E_r \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(21)

$\begin{equation*} n_t E_i \cos(\theta_i) - n_i E_i \cos(\theta_t) = -n_t E_r \cos(\theta_i) - n_i E_r \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(22)

$\begin{equation*}E_i [n_t \cos(\theta_i) - n_i \cos(\theta_t)] = -E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(23)

$\begin{equation*}E_i [ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)] = E_r [n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(24)

$\begin{equation*}r_p = \frac{E_r}{E_i} = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}\end{equation*}$

Bây giờ, cho hệ số phản xạ t, từ phương trình-17

$n_i E_i - n_t E_t = n_i E_r$ $E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t = E_r$

Đặt giá trị này vào phương trình-15

(25)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + [ E_i -\frac{n_t}{n_i} E_t] \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t)\end{equation*}$

(26)

$\begin{equation*}E_i \cos(\theta_i) + E_i \cos(\theta_i) - \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) = E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(27)

$\begin{equation*}2 E_i \cos(\theta_i) = \frac{n_t}{n_i} E_t \cos(\theta_i) + E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(28)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = n_t E_t \cos(\theta_i) + {n_i} E_t \cos(\theta_t) \end{equation*}$

(29)

$\begin{equation*}2 E_i n_i \cos(\theta_i) = E_t [n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)] \end{equation*}$

(30

$\begin{equation*} t_p = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)} \end{equation*}$

Hãy tổng hợp tất cả bốn phương trình Fresnel,

$r_s = \frac{n_i \cos(\theta_i) - n_t \cos(\theta_t)}{n_t \cos(\theta_t) + n_i \cos(\theta_i)}$

$t_s = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_i \cos(\theta_i) + n_t \cos(\theta_t)}$

$r_p = \frac{ n_i \cos(\theta_t) - n_t \cos(\theta_i)}{n_t \cos(\theta_i) + n_i \cos(\theta_t)}$

$t_p = \frac{2 n_i \cos(\theta_i)}{ n_t \cos(\theta_i) + {n_i} \cos(\theta_t)}$

Lời tuyên bố: Tôn trọng bản gốc, các bài viết tốt đáng được chia sẻ, nếu có vi phạm quyền tác giả vui lòng liên hệ để xóa.

Đóng góp và khuyến khích tác giả!

Chủ đề:

Kỹ thuật Chiếu sáng

Lý thuyết về Ánh sáng

Về chuyên gia

Electrical4u

China

Lĩnh vực chuyên môn

Basic Electrical

Bài viết chuyên ngành

607

Đề xuất

Thêm

Những lợi ích của đèn cảm biến chuyển động là gì?

Cảm biến thông minh và tiện lợiĐèn cảm biến chuyển động sử dụng công nghệ cảm biến để tự động phát hiện môi trường xung quanh và hoạt động của con người, bật khi có ai đó đi qua và tắt khi không có ai. Tính năng cảm biến thông minh này mang lại sự tiện lợi lớn cho người dùng, loại bỏ nhu cầu phải mở đèn thủ công, đặc biệt là trong môi trường tối hoặc thiếu sáng. Nó nhanh chóng chiếu sáng không gian, giúp người dùng di chuyển hoặc thực hiện các hoạt động khác.Tiết kiệm năng lượng và bảo vệ môi tr

Encyclopedia

10/30/2024

Điều gì khác biệt giữa cathode lạnh và cathode nóng trong các đèn xả?

Sự khác biệt chính giữa cathode lạnh và cathode nóng trong các đèn xả điện là như sau:Nguyên lý phát sáng Cathode Lạnh: Đèn cathode lạnh tạo ra electron thông qua xả điện phát sáng, chúng bắn phá cathode để tạo ra electron thứ cấp, do đó duy trì quá trình xả điện. Dòng điện cathode chủ yếu được cung cấp bởi ion dương, dẫn đến dòng điện nhỏ, vì vậy cathode giữ ở nhiệt độ thấp. Cathode Nóng: Đèn cathode nóng tạo ra ánh sáng bằng cách làm nóng cathode (thường là sợi wolfram) đến nhiệt độ cao, khiến

Encyclopedia

10/30/2024

Những nhược điểm của đèn LED là gì?

Nhược điểm của Đèn LEDMặc dù đèn LED có nhiều ưu điểm như hiệu quả năng lượng, tuổi thọ dài và thân thiện với môi trường, chúng cũng có một số nhược điểm. Dưới đây là những nhược điểm chính của đèn LED:1. Chi phí ban đầu cao Giá cả: Chi phí mua ban đầu của đèn LED thường cao hơn so với các loại bóng đèn truyền thống (như bóng đèn sợi đốt hoặc huỳnh quang). Mặc dù trong dài hạn, đèn LED có thể tiết kiệm chi phí điện và thay thế do tiêu thụ năng lượng thấp và tuổi thọ dài, nhưng khoản đầu tư ban đ

Encyclopedia

10/29/2024

Có những biện pháp phòng ngừa nào khi đấu dây các thành phần đèn đường năng lượng mặt trời?

Các biện pháp phòng ngừa khi đấu nối các thành phần đèn đường năng lượng mặt trờiĐấu nối các thành phần của hệ thống đèn đường năng lượng mặt trời là một nhiệm vụ quan trọng. Đấu nối đúng cách đảm bảo hệ thống hoạt động bình thường và an toàn. Dưới đây là một số biện pháp phòng ngừa quan trọng cần tuân theo khi đấu nối các thành phần đèn đường năng lượng mặt trời:1. An toàn lên hàng đầu1.1 Tắt nguồn điệnTrước khi thao tác: Đảm bảo rằng tất cả nguồn điện của hệ thống đèn đường năng lượng mặt trời

Encyclopedia

10/26/2024