מהו מערכת בקרה מסדר ראשון

מהו מערכת בקרה מסדר ראשון?

הגדרת מערכת בקרה מסדר ראשון

מערכת בקרה מסדר ראשון משתמשת בסוג פשוט של משוואת דיפרנציאלית לקשר בין כניסות ויציאות, תוך התמקדות רק בנגזרת הראשונה של הזמן.

פונקציית המעבר (היחס בין כניסה יציאה) עבור מערכת הבקרה הזו מוגדרת כ:

• K הוא הגאינ์ הניוטרי (היחס בין אות הכניסה לערך הסטטי של היציאה)

• T הוא קבוע הזמן של המערכת (קבוע הזמן הוא מדד למהירות תגובת מערכת מסדר ראשון לתגובה צעד יחידה).

פונקציית המעבר של מערכת בקרה מסדר ראשון

פונקציית מעבר מייצגת את היחס בין אות היציאה של מערכת הבקרה לאות הכניסה, לכל ערכי כניסה אפשריים.

קטבים של פונקציית מעבר

הקטבים של פונקציית המעבר הם הערכים של משתנה התמרת לפלס, שגורמים לפונקציית המעבר להיות אינסופית. המכנה של פונקציית המעבר הוא למעשה הקטבים של הפונקציה.

אפסים של פונקציית מעבר

האפסים של פונקציית המעבר הם הערכים של משתנה התמרת לפלס, שגורמים לפונקציית המעבר להיות אפס. המונה של פונקציית המעבר הוא למעשה האפסים של הפונקציה.

מערכת בקרה מסדר ראשון

כאן אנו מדברים על מערכת בקרה מסדר ראשון ללא אפסים. מערכת הבקרה מסדר ראשון מספרת לנו מהי מהירות התגובה, כלומר כמה זמן ייקח לה להגיע למצב יציב. אם הכניסה היא צעד יחידה, R(s) = 1/s אז היציאה היא תגובה צעד C(s). המשוואה הכללית של מערכת הבקרה מסדר ראשון היא, כלומר זו פונקציית המעבר.

יש שני קטבים, אחד הוא קוטב כניסה בראשית s = 0 והשני הוא קוטב המערכת ב-s = -a, הקוטב הזה נמצא על הציר השלילי בגרף הקטבים. באמצעות פקודה pzmap של MATLAB, ניתן לזהות את הקטבים והאפסים של המערכת,这对于希伯来语翻译来说是不正确的。以下是正确的希伯来语翻译：

מהי מערכת בקרה מסדר ראשון?

הגדרת מערכת בקרה מסדר ראשון

מערכת בקרה מסדר ראשון משתמשת בסוג פשוט של משוואת דיפרנציאלית לקשר בין כניסות ויציאות, תוך התמקדות רק בנגזרת הראשונה של הזמן.

פונקציית המעבר (היחס בין כניסה יציאה) עבור מערכת הבקרה הזו מוגדרת כ:

• K הוא הגיין הניוטרי (היחס בין אות הכניסה לערך הסטטי של היציאה)

• T הוא קבוע הזמן של המערכת (קבוע הזמן הוא מדד למהירות תגובת מערכת מסדר ראשון לתגובה צעד יחידה).

פונקציית המעבר של מערכת בקרה מסדר ראשון

פונקציית מעבר מייצגת את היחס בין אות היציאה של מערכת הבקרה לאות הכניסה, לכל ערכי כניסה אפשריים.

קטבים של פונקציית מעבר

הקטבים של פונקציית המעבר הם הערכים של משתנה התמרת לפלס, שגורמים לפונקציית המעבר להיות אינסופית. המכנה של פונקציית המעבר הוא למעשה הקטבים של הפונקציה.

אפסים של פונקציית מעבר

האפסים של פונקציית המעבר הם הערכים של משתנה התמרת לפלס, שגורמים לפונקציית המעבר להיות אפס. המונה של פונקציית המעבר הוא למעשה האפסים של הפונקציה.

מערכת בקרה מסדר ראשון

כאן אנו מדברים על מערכת בקרה מסדר ראשון ללא אפסים. מערכת הבקרה מסדר ראשון מספרת לנו מהי מהירות התגובה, כלומר כמה זמן ייקח לה להגיע למצב יציב. אם הכניסה היא צעד יחידה, R(s) = 1/s אז היציאה היא תגובה צעד C(s). המשוואה הכללית של מערכת הבקרה מסדר ראשון היא, כלומר זו פונקציית המעבר.

יש שני קטבים, אחד הוא קוטב כניסה בראשית s = 0 והשני הוא קוטב המערכת ב-s = -a, הקוטב הזה נמצא על הציר השלילי בגרף הקטבים. באמצעות פקודה pzmap של MATLAB, ניתן לזהות את הקטבים והאפסים של המערכת, דבר חיוני לנתח את התנהגותה. אנחנו ניקח את התמרת ההופכית כך שהתגובה הכוללת תהפוך לסכום של התגובה הנאלצת והתגובה הטבעית.

בגלל הקוטב הכניסה בראשית, מתקבלת התגובה הנאלצת כפי שמתייחסים אליו, שנותן כוח למערכת והיא מפעילה תגובה שהיא התגובה הנאלצת, והקוטב המערכת ב-a מפיק תגובה טבעית שנובעת מתגובה טרנסיננטית של המערכת.

אחרי כמה חישובים, כאן המשוואה הכללית של מערכת מסדר ראשון היא C(s) = 1-e-at שזה שווה לתגובה הנאלצת שהיא "1" והתגובה הטבעית שהיא שווה ל-"e-at". הדבר היחיד שצריך למצוא הוא הפרמטר "a".

טכניקות רבות כמו משוואת דיפרנציאלית או התמרת לפלס הפוכה, כולן פותרות את התגובה הכוללת אבל אלו הן מזבלות זמן ועבודה.

השימוש בקטבים, אפסים, ומספר רעיונות בסיסיים נותנים לנו מידע איכותי לפתור בעיות ובזכות הרעיונות האלה, אנחנו יכולים בקלות לומר מהי מהירות התגובה והזמן של המערכת להגיע למצב יציב.

נדבר על שלושה פרמטרים של תגובת טרנסיננטית, קבוע הזמן, זמן עלייה, וזמן התאמה למערכת בקרה מסדר ראשון.

קבוע הזמן של מערכת בקרה מסדר ראשון

קבוע הזמן יכול להיות מוגדר כזמן הנדרש לתגובה של צעד לעלות עד 63% או 0.63 מהערך הסופי שלה. אנו מכנים זאת t = 1/a. אם ניקח את ההופכי של קבוע הזמן, היחידות שלו הם 1/שניות או תדירות.

אנחנו קוראים לפרמטר "a" התדירות האקספוננציאלית. כי הנגזרת של e-at היא -a כאשר t = 0. לכן, קבוע הזמן נחשב כפרמטר של תגובת טרנסיננטית למערכת בקרה מסדר ראשון.

אנחנו יכולים לשלוט במהירות התגובה על ידי הגדרת הקטבים. כי ככל שהקוטב רחוק מציר המדומה, כך התגובה הטרנסיננטית מהירה יותר. לכן, אנחנו יכולים להרחיק את הקטבים מציר המדומה כדי להאיץ את כל התהליך.

זמן עלייה של מערכת בקרה מסדר ראשון

זמן העליה מוגדר כזמן בו התגובה עולה מ-0.1 ל-0.9 או מ-10% ל-90% מהערך הסופי שלה. עבור משוואת זמן העליה, אנחנו מציבים 0.1 ו-0.9 בהתאמה במשוואת מערכת הבקרה מסדר ראשון הכללית.

עבור t = 0.1

עבור t = 0.9

לקיחת ההפרש בין 0.9 ו-0.1

כאן המשוואה של זמן העליה. אם אנחנו יודעים את הפרמטר a, אנחנו יכולים בקלות למצוא את זמן העליה של כל מערכת נתונה על ידי הצבת "a" במשוואה.

זמן התאמה של מערכת בקרה מסדר ראשון

זמן ההתאמה מוגדר כזמן בו התגובה מגיעה ונשארת בתוך 2% מהערך הסופי שלה. אנחנו יכולים להגביל את האחוז עד 5% מהערך הסופי. שני האחוזים הם נקודות שיקול.

משוואת זמן ההתאמה היא Ts = 4/a.

באמצעות שלושת הפרמטרים של תגובת טרנסיננטית, אנחנו יכולים בקלות לחשב את תגובת הצעד של מערכת נתונה, ולכן טכניקה איכותית זו שימושית עבור משוואות מערכות מסדר ראשון.

מסקנות לגבי מערכות בקרה מסדר ראשון

לאחר למידת כל הדברים הנוגעים למערכת בקרה מסדר ראשון, אנחנו מגיעים למסקנות הבאות:

• קוטב של פונקציית הכניסה מפיק את הצורה של התגובה הנאלצת. זה בגלל הקוטב בראשית שמייצר פונקציית צעד ביציאה.

• קוטב של פונקציית המעבר מפיק תגובה טבעית. זהו קוטב המערכת.

• קוטב על הציר האמיתי מפיק תדירות אקספוננציאלית בצורה e-at. לפיכך, ככל שהקוטב רחוק מראשית, כך התגובה הטרנסיננטית האקספוננציאלית תדעך מהר יותר לאפס.

• הבנה של קטבים ואפסים מאפשרת לנו לשפר את ביצועי המערכת ולהגיע לתוצאות מהירות ומדוייקות יותר.