Czym jest system sterowania pierwszego rzędu?

Co to jest system sterowania pierwszego rzędu?

Definicja systemu sterowania pierwszego rzędu

System sterowania pierwszego rzędu używa prostego typu równania różniczkowego do określenia relacji między wejściem i wyjściem, skupiając się tylko na pierwszej pochodnej czasu.

Funkcja przekazująca (relacja wejście-wyjście) dla tego systemu sterowania jest zdefiniowana jako:

• K to wzmocnienie DC (stosunek sygnału wejściowego do wartości ustalonej wyjścia)

• T to stała czasowa systemu (stała czasowa jest miarą szybkości reakcji systemu pierwszego rzędu na skok jednostkowy).

Funkcja przekazująca systemu sterowania pierwszego rzędu

Funkcja przekazująca przedstawia relację między sygnałem wyjściowym systemu sterowania a sygnałem wejściowym, dla wszystkich możliwych wartości wejściowych.

Bieguny funkcji przekazującej

Bieguny funkcji przekazującej to wartości zmiennej transformacji Laplace'a, które powodują, że funkcja przekazująca staje się nieskończona. Mianownik funkcji przekazującej to faktycznie bieguny funkcji.

Zera funkcji przekazującej

Zera funkcji przekazującej to wartości zmiennej transformacji Laplace'a, które powodują, że funkcja przekazująca staje się zerem. Licznik funkcji przekazującej to faktycznie zera funkcji.

System sterowania pierwszego rzędu

Oto dyskusja na temat systemu sterowania pierwszego rzędu bez zer. System sterowania pierwszego rzędu mówi nam o prędkości odpowiedzi, jak długo trwa osiągnięcie stanu ustalonego. Jeśli wejściem jest skok jednostkowy, R(s) = 1/s, to wyjściem jest odpowiedź skokowa C(s). Ogólne równanie systemu sterowania pierwszego rzędu to , czyli funkcja przekazująca.

Istnieją dwa bieguny, jeden to biegun wejściowy w punkcie s = 0, a drugi to biegun systemu w punkcie s = -a, ten biegun znajduje się na ujemnej osi wykresu biegunów. Używając polecenia pzmap w MATLAB, możemy zidentyfikować bieguny i zera systemu, co jest kluczowe do analizy jego zachowania. Teraz biorąc odwrotną transformację, całkowita odpowiedź staje się , która jest sumą odpowiedzi wymuszonej i naturalnej.

Ze względu na biegun wejściowy w punkcie s = 0, powstaje odpowiedź wymuszona, tak jak nazwa wskazuje, że daje siłę do systemu, więc powstaje pewna odpowiedź, która jest odpowiedzią wymuszoną, a biegun systemu w punkcie -a powstaje odpowiedź naturalna, która jest spowodowana odpowiedzią przejściową systemu.

Po pewnych obliczeniach, ogólna forma systemu pierwszego rzędu to C(s) = 1-e-at, co jest równe odpowiedzi wymuszonej, która wynosi "1", oraz odpowiedzi naturalnej, która wynosi "e-at". Jedyną rzeczą, którą należy znaleźć, jest parametr "a".

Wiele technik, takich jak równanie różniczkowe lub odwrotna transformata Laplace'a, rozwiązuje całkowitą odpowiedź, ale są one czasochłonne i pracochłonne.

Użycie biegunów, zer i niektórych podstawowych koncepcji daje nam jakościowe informacje do rozwiązywania problemów, a dzięki tym koncepcjom możemy łatwo określić prędkość odpowiedzi i czas, jaki system potrzebuje, aby osiągnąć punkt stanu ustalonego.

Opiszmy teraz trzy specyfikacje wydajności odpowiedzi przejściowej: stałą czasową, czas narastania i czas ustalania dla systemu sterowania pierwszego rzędu.

Stała czasowa systemu sterowania pierwszego rzędu

Stała czasowa może być zdefiniowana jako czas, jaki potrzebuje odpowiedź skokowa, aby wzrosnąć do 63% lub 0,63 jej końcowej wartości. Odnosimy się do tego jako t = 1/a. Jeśli weźmiemy odwrotność stałej czasowej, jej jednostka to 1/sekundy lub częstotliwość.

Parametr "a" nazywamy częstotliwością wykładniczą. Ponieważ pochodna e-at to -a w momencie t = 0. Stąd stała czasowa jest uważana za specyfikację odpowiedzi przejściowej dla systemu sterowania pierwszego rzędu.

Możemy kontrolować prędkość odpowiedzi, ustawiając bieguny. Im dalej biegun od osi urojonej, tym szybsza jest odpowiedź przejściowa. Możemy więc ustawić bieguny dalej od osi urojonej, aby przyspieszyć cały proces.

Czas narastania systemu sterowania pierwszego rzędu

Czas narastania jest zdefiniowany jako czas, jaki potrzebuje przebieg, aby przejść od 0,1 do 0,9 lub 10% do 90% swojej końcowej wartości. Dla równania czasu narastania, wstawiamy 0,1 i 0,9 odpowiednio do ogólnego równania systemu pierwszego rzędu.

Dla t = 0,1

Dla t = 0,9

Biorąc różnicę między 0,9 a 0,1

Oto równanie czasu narastania. Jeśli znamy parametr "a", możemy łatwo znaleźć czas narastania dowolnego danego systemu, wstawiając "a" do równania.

Czas ustalania systemu sterowania pierwszego rzędu

Czas ustalania jest zdefiniowany jako czas, jaki potrzebuje odpowiedź, aby osiągnąć i utrzymać się w granicach 2% swojej końcowej wartości. Możemy ograniczyć procent do 5% końcowej wartości. Obie procentowe wartości są brane pod uwagę.

Równanie czasu ustalania to Ts = 4/a.

Korzystając z tych trzech specyfikacji odpowiedzi przejściowej, możemy łatwo obliczyć odpowiedź skokową danego systemu, dlatego ta jakościowa technika jest przydatna dla równań systemów pierwszego rzędu.

Podsumowanie systemów sterowania pierwszego rzędu

Po zapoznaniu się ze wszystkim, co dotyczy systemu sterowania pierwszego rzędu, dochodzimy do następujących wniosków:

• Biegun funkcji wejściowej generuje formę odpowiedzi wymuszonej. Jest to spowodowane biegunem w punkcie s = 0, który generuje funkcję skoku na wyjściu.

• Biegun funkcji przekazującej generuje odpowiedź naturalną. To biegun systemu.

• Biegun na osi rzeczywistej generuje częstotliwość wykładniczą postaci e-at. Im dalej biegun od początku układu współrzędnych, tym szybciej przejściowa odpowiedź wykładnicza zanika do zera.

• Zrozumienie biegunów i zer pozwala nam poprawić wydajność systemu i osiągnąć szybsze, bardziej dokładne wyjścia.