Какво е система на първи ред за управление?

Какво е система на първи ред?

Дефиниция на система на първи ред

Системата на първи ред използва прост тип диференциално уравнение, за да свърже входовете и изходите, фокусирайки се само върху първата производна по времето.

Передаточната функция (връзка между вход и изход) за тази система на управление е дефинирана като:

• K е DC усиление (отношение между входния сигнал и стабилната стойност на изхода)

• T е временна константа на системата (временната константа е мярка за бързината, с която система от първи ред реагира на единичен стъпков вход).

Передаточна функция на система на първи ред

Передаточната функция представлява връзката между изходния сигнал на система на управление и входния сигнал за всички възможни входни стойности.

Полюси на передаточната функция

Полюсите на передаточната функция са стойностите на променливите на Лаплас, които причиняват передаточната функция да стане безкрайна. Знаменателят на передаточната функция всъщност са полюсите на функцията.

Нули на передаточната функция

Нулите на передаточната функция са стойностите на променливите на Лаплас, които причиняват передаточната функция да стане нула. Числителят на передаточната функция всъщност са нулите на функцията.

Система на първи ред

Тук обсъждаме система на първи ред без нули. Системата на първи ред ни показва скоростта на отговора, каква е продължителността, за която достига стабилното състояние. Ако входът е единичен стъпков, R(s) = 1/s, то изходът е стъпковият отговор C(s). Общото уравнение на система на първи ред е , т.е. това е передаточната функция.

Има два полюса, единият е входен полюс в началото s = 0, а другият е системен полюс при s = -a, този полюс е на отрицателната ос на диаграмата на полюсите. Използвайки командата pzmap на MATLAB, можем да идентифицираме полюсите и нулите на системата, което е важно за анализирането на поведението й. Сега взимаме обратната трансформация, така че общият отговор става, който е сумата на принуден и естествен отговор.

Входният полюс в началото произвежда принуден отговор, както самата название го описва, давайки принуда на системата, така че тя произвежда някакъв отговор, който е принуден отговор, а системният полюс при -a произвежда естествен отговор, който е поради преходния отговор на системата.

След няколко изчисления, общата форма на система на първи ред е C(s) = 1-e-at, което е равно на принуден отговор, който е „1“ и естествен отговор, който е равен на „e-at“. Единственото, което трябва да намерим, е параметърът „a“.

Много техники като диференциални уравнения или обратна трансформация на Лаплас, всички решават общия отговор, но тези са времепотребителски и трудоемки.

Използването на полюси, нули и някои основни концепции ни дават качествена информация, за да решим проблемите, и благодарение на тези концепции, лесно можем да кажем скоростта на отговора и времето, за което системата достига точка на стабилно състояние.

Нека опишем три спецификации на преходния отговор, временна константа, време на изкачване и време на установяване за система на първи ред.

Временна константа на система на първи ред

Временната константа може да бъде дефинирана като времето, необходимо за стъпковия отговор да се увеличи до 63% или 0.63 от крайната му стойност. Ние я наричаме t = 1/a. Ако вземем реципрочната стойност на временна константа, единицата ѝ е 1/секунди или честота.

Наричаме параметъра „a“ експоненциална честота. Защото производната на e-at е -a при t = 0. Така че временна константа се счита за спецификация на преходния отговор за система на първи ред.

Можем да контролираме скоростта на отговора, като зададем полюсите. Защото колкото по-далеч е полюсът от мнимата ос, толкова по-бърз е преходния отговор. Така че, можем да зададем полюсите по-далеч от мнимата ос, за да ускорим целия процес.

Време на изкачване на система на първи ред

Времето на изкачване е дефинирано като времето, за което формата да отиде от 0.1 до 0.9 или 10% до 90% от крайната си стойност. За уравнението на времето на изкачване, слагаме 0.1 и 0.9 в общото уравнение на система на първи ред съответно.

За t = 0.1

За t = 0.9

Вземайки разликата между 0.9 и 0.1

Тук е уравнението на времето на изкачване. Ако знаем параметъра a, лесно можем да намерим времето на изкачване на всяка дадена система, като сложим „a“ в уравнението.

Време на установяване на система на първи ред

Времето на установяване е дефинирано като времето, за което отговорът да достигне и остане в рамките на 2% от крайната си стойност. Можем да ограничим процентите до 5% от крайната стойност. И двата процента се взимат предвид.

Уравнението на времето на установяване е дадено от Ts = 4/a.

Използвайки тези три спецификации на преходния отговор, лесно можем да изчислим стъпковия отговор на дадена система, затова тази качествена техника е полезна за уравненията на системи от първи ред.

Заключение относно системите на първи ред

След като научим всичко, свързано с системите на първи ред, достигаме до следните заключения:

• Полюсът на входната функция генерира формата на принуден отговор. Това е заради полюса в началото, който генерира стъпкова функция на изхода.

• Полюсът на передаточната функция генерира естествен отговор. Това е полюсът на системата.

• Полюсът на реалната ос генерира експоненциална честота от вида e-at. По-далеч полюсът от началото, толкова по-бързо преходният отговор ще се разпадне до нула.

• Разбирането на полюсите и нулите ни позволява да подобрим производителността на системата и да постигнем по-бързи и по-точни изходи.