Što je sustav prvog reda upravljanja

Što je sustav prvog reda upravljanja?

Definicija sustava prvog reda upravljanja

Sustav prvog reda upravljanja koristi jednostavan tip diferencijalne jednadžbe za povezivanje ulaza i izlaza, fokusirajući se samo na prvi derivat u vremenu.

Funkcija prijenosa (odnos ulaz-izlaz) za ovaj sustav upravljanja definirana je kao:

• K je DC pojačanje (DC pojačanje sustava, omjer između ulaznog signala i stacionarnog vrijednosti izlaza)

• T je vremenska konstanta sustava (vremenska konstanta je mjera brzine reakcije sustava prvog reda na jedinični stupnjevi ulaza).

Funkcija prijenosa sustava prvog reda upravljanja

Funkcija prijenosa predstavlja odnos između izlaznog signala sustava upravljanja i ulaznog signala, za sve moguće vrijednosti ulaza.

Polovi funkcije prijenosa

Polovi funkcije prijenosa su vrijednosti Laplaceove transformacije, koje dovode do beskonačnosti funkcije prijenosa.Nazivnik funkcije prijenosa zapravo predstavlja polove funkcije.

Nule funkcije prijenosa

Nule funkcije prijenosa su vrijednosti Laplaceove transformacije, koje dovode do nule funkcije prijenosa.Brojnik funkcije prijenosa zapravo predstavlja nule funkcije.

Sustav prvog reda upravljanja

Ovdje razgovaramo o sustavu prvog reda upravljanja bez nula. Sustav prvog reda upravljanja pokazuje nam brzinu odziva, tj. koliko dugo traje da doseže stacionarno stanje.Ako je ulaz jedinični stupanj, R(s) = 1/s, tada je izlaz odziv na stupanj C(s). Opća jednadžba sustava prvog reda je , tj. to je funkcija prijenosa.

Postoje dvije nule, jedna je ulazna nula u ishodištu s = 0, a druga je nula sustava na s = -a, ova nula je na negativnoj osi dijagrama polova.Korištenjem MATLAB naredbe pzmap, možemo identificirati polove i nule sustava, što je ključno za analizu njegovog ponašanja.Sada uzimamo inverznu transformaciju, pa se ukupan odziv postaje , što je zbroj prisiljnog i prirodnog odziva.

Zahvaljujući ulaznoj nuli u ishodištu, proizlazi prisilni odziv, kako naziv sugerira, on prisiljava sustav da proizvede neki odziv, koji je prisilni odziv, a nula sustava na -a proizvodi prirodni odziv, koji je rezultat privremenog odziva sustava.

Nakon nekih izračuna, opća forma sustava prvog reda je C(s) = 1-e-at, što je jednako prisilnom odzivu, koji je "1", i prirodnom odzivu, koji je jednak "e-at". Jedino što treba pronaći je parametar "a".

Mnoge tehnike, poput diferencijalnih jednadžbi ili inverzne Laplaceove transformacije, rješavaju ukupni odziv, ali one su vremenski zahtjevne i naporne.

Upotreba polova, nula i nekih temeljnih koncepta daje nam kvalitativne informacije za rješavanje problema, a zahvaljujući tim konceptima, lako možemo reći brzinu odziva i vrijeme potrebno sustavu da doseže stacionarno stanje.

Opisujmo tri specifikacije privremenog odziva, vremensku konstantu, vrijeme uspona i vrijeme stabilizacije za sustav prvog reda upravljanja.

Vremenska konstanta sustava prvog reda upravljanja

Vremenska konstanta može se definirati kao vrijeme potrebno odzivu na stupanj da doseže 63% ili 0,63 svoje konačne vrijednosti. To označavamo kao t = 1/a. Ako uzmemo recipročnu vrijednost vremenske konstante, njena je jedinica 1/sekunde ili frekvencija.

Parametar "a" zovemo eksponencijalnom frekvencijom. Zbog toga što je derivacija od e-at -a u t = 0, vremenska konstanta smatra se specifikacijom privremenog odziva za sustav prvog reda upravljanja.

Možemo kontrolirati brzinu odziva postavljanjem polova. Što je pol dalje od imaginarnog osi, brži je privremeni odziv. Stoga, možemo postaviti polove dalje od imaginarnog osi kako bismo ubrzali cijeli proces.

Vrijeme uspona sustava prvog reda upravljanja

Vrijeme uspona definirano je kao vrijeme potrebno valovodnoj formi da pređe od 0,1 do 0,9 ili 10% do 90% svoje konačne vrijednosti. Za jednadžbu vremena uspona, stavljamo 0,1 i 0,9 u opću jednadžbu sustava prvog reda redom.

Za t = 0,1

Za t = 0,9

Uzimajući razliku između 0,9 i 0,1

Evo jednadžbe vremena uspona. Ako znamo parametar "a", lako možemo pronaći vrijeme uspona bilo kojeg sustava stavljajući "a" u jednadžbu.

Vrijeme stabilizacije sustava prvog reda upravljanja

Vrijeme stabilizacije definirano je kao vrijeme potrebno odzivu da doseže i ostane unutar 2% svoje konačne vrijednosti. Možemo ograničiti postotak do 5% svoje konačne vrijednosti. Obje vrijednosti se uzimaju u obzir.

Jednadžba vremena stabilizacije dana je sa Ts = 4/a.

Korištenjem ove tri specifikacije privremenog odziva, lako možemo izračunati odziv na stupanj danog sustava, stoga je ova kvalitativna tehnika korisna za jednadžbe sustava prvog reda.

Zaključak o sustavima prvog reda upravljanja

Nakon učenja svih stvari vezanih za sustave prvog reda upravljanja, dolazimo do sljedećih zaključaka:

• Položaj ulazne funkcije generira oblik prisilnog odziva. To je zbog pola u ishodištu, koji generira stupnjevi funkciju na izlazu.

• Položaj funkcije prijenosa generira prirodni odziv. To je položaj sustava.

• Položaj na realnoj osi generira eksponencijalnu frekvenciju oblika e-at. Dakle, što je položaj dalje od ishodišta, brže će privremeni odziv eksponencijalno opasti na nulu.

• Razumijevanje polova i nula omogućuje nam poboljšanje performansi sustava i postizanje bržih i preciznijih izlaza.