Τι είναι ένα σύστημα πρώτης τάξης ελέγχου;

Τι είναι ένα Σύστημα Ελέγχου Πρώτης Τάξης;

Ορισμός Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Ένα σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης χρησιμοποιεί ένα απλό τύπο διαφορικής εξίσωσης για να συνδέσει τις εισόδους και τις εξόδους, εστιάζοντας μόνο στην πρώτη παράγωγο του χρόνου.

Η μεταφορική συνάρτηση (σχέση εισόδου-εξόδου) για αυτό το σύστημα ελέγχου ορίζεται ως:

• Το K είναι το DC Gain (Ανταπόκριση σε σταθερή τιμή του συστήματος, λόγος μεταξύ του σήματος εισόδου και της σταθερής τιμής της εξόδου)

• Το T είναι η σταθερά χρόνου του συστήματος (η σταθερά χρόνου είναι μέτρο του πόσο γρήγορα απαντά ένα σύστημα πρώτης τάξης σε μοναδιαία βηματική είσοδο).

Μεταφορική Συνάρτηση Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Η μεταφορική συνάρτηση αντιπροσωπεύει τη σχέση μεταξύ του σήματος εξόδου ενός συστήματος ελέγχου και του σήματος εισόδου, για όλες τις δυνατές τιμές εισόδου.

Πόλοι Μεταφορικής Συνάρτησης

Οι πόλοι της μεταφορικής συνάρτησης είναι οι τιμές της μεταβλητής Μετατροπής Laplace, οι οποίες προκαλούν τη μεταφορική συνάρτηση να γίνει άπειρη. Ο παρονομαστής μιας μεταφορικής συνάρτησης είναι στην πραγματικότητα οι πόλοι της συνάρτησης.

Μηδενικά Μεταφορικής Συνάρτησης

Τα μηδενικά της μεταφορικής συνάρτησης είναι οι τιμές της μεταβλητής Μετατροπής Laplace, οι οποίες προκαλούν τη μεταφορική συνάρτηση να γίνει μηδέν. Ο αριθμητής μιας μεταφορικής συνάρτησης είναι στην πραγματικότητα τα μηδενικά της συνάρτησης.

Σύστημα Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Εδώ συζητάμε το σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης χωρίς μηδενικά. Το σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης μας δείχνει την ταχύτητα της απόκρισης, δηλαδή τη διάρκεια μέχρι να φθάσει στη σταθερή κατάσταση. Αν η είσοδος είναι μοναδιαία βηματική, R(s) = 1/s, τότε η εξόδος είναι η βηματική απόκριση C(s). Η γενική εξίσωση του συστήματος πρώτης τάξης είναι, δηλαδή η μεταφορική συνάρτηση.

Υπάρχουν δύο πόλοι, ο ένας είναι ο πόλος εισόδου στην αρχή s = 0 και ο άλλος είναι ο πόλος του συστήματος στο s = -a, αυτός ο πόλος είναι στον αρνητικό άξονα του διαγράμματος πόλων. Χρησιμοποιώντας την εντολή pzmap του MATLAB, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τους πόλους και τα μηδενικά του συστήματος, που είναι κρίσιμα για την ανάλυση της συμπεριφοράς του. Τώρα, παίρνοντας την αντίστροφη μετατροπή, η συνολική απόκριση γίνεται, η οποία είναι η άθροιση της αναγκασμένης απόκρισης και της φυσικής απόκρισης.

Λόγω του πόλου εισόδου στην αρχή, παράγεται η αναγκασμένη απόκριση, όπως περιγράφεται από το όνομά της, που δίνει αναγκασμό στο σύστημα, έτσι παράγει μια απόκριση που είναι η αναγκασμένη απόκριση, και ο πόλος του συστήματος στο -a παράγει μια φυσική απόκριση, η οποία είναι λόγω της μεταβατικής απόκρισης του συστήματος.

Μετά από μερικούς υπολογισμούς, η γενική μορφή του συστήματος πρώτης τάξης είναι C(s) = 1-e-at, η οποία είναι ίση με την αναγκασμένη απόκριση, η οποία είναι "1", και η φυσική απόκριση, η οποία είναι ίση με "e-at". Το μόνο που χρειάζεται να βρούμε είναι ο παράμετρος "a".

Πολλές τεχνικές, όπως η διαφορική εξίσωση ή η αντίστροφη Μετατροπή Laplace, αυτές όλες λύνουν τη συνολική απόκριση, αλλά είναι χρονοβόρες και πολύπλοκες.

Η χρήση πόλων, μηδενικών και κάποιων βασικών έννοιων μας δίνει ποιοτικές πληροφορίες για να λύσουμε τα προβλήματα, και λόγω αυτών των έννοιων, μπορούμε εύκολα να πούμε την ταχύτητα της απόκρισης και το χρόνο που χρειάζεται το σύστημα για να φτάσει στο σημείο σταθερής κατάστασης.

Ας περιγράψουμε τα τρία χαρακτηριστικά επιδόσεων μεταβατικής απόκρισης, τη σταθερά χρόνου, τον χρόνο ανόδου και τον χρόνο σταθεροποίησης για ένα σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης.

Σταθερά Χρόνου Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Η σταθερά χρόνου μπορεί να οριστεί ως ο χρόνος που χρειάζεται η βηματική απόκριση για να αυξηθεί στο 63% ή 0.63 της τελικής τιμής. Αναφέρουμε αυτό ως t = 1/a. Αν πάρουμε το αντίστροφο της σταθεράς χρόνου, το μονάδα της είναι 1/δευτερόλεπτα ή συχνότητα.

Καλούμε τον παράμετρο "a" την εκθετική συχνότητα. Διότι η παράγωγος του e-at είναι -a στο t = 0. Έτσι, η σταθερά χρόνου θεωρείται ως χαρακτηριστικό μεταβατικής απόκρισης για ένα σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης.

Μπορούμε να ελέγξουμε τη ταχύτητα της απόκρισης θέτοντας τους πόλους. Διότι, όσο πιο μακριά είναι ο πόλος από τον φανταστικό άξονα, τόσο πιο γρήγορη είναι η μεταβατική απόκριση. Έτσι, μπορούμε να θέσουμε τους πόλους πιο μακριά από τον φανταστικό άξονα για να επιταχύνουμε την ολόκληρη διαδικασία.

Χρόνος Ανόδου Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Ο χρόνος ανόδου ορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται η μορφή κύματος για να πάει από 0.1 σε 0.9 ή 10% σε 90% της τελικής τιμής. Για την εξίσωση του χρόνου ανόδου, βάζουμε 0.1 και 0.9 στη γενική εξίσωση συστήματος πρώτης τάξης αντίστοιχα.

Για t = 0.1

Για t = 0.9

Παίρνοντας τη διαφορά μεταξύ 0.9 και 0.1

Εδώ η εξίσωση του χρόνου ανόδου. Αν γνωρίζουμε τον παράμετρο "a", μπορούμε εύκολα να βρούμε τον χρόνο ανόδου οποιουδήποτε δοθέν συστήματος βάζοντας το "a" στην εξίσωση.

Χρόνος Σταθεροποίησης Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Ο χρόνος σταθεροποίησης ορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται η απόκριση για να φτάσει και να μείνει εντός 2% της τελικής τιμής. Μπορούμε να περιορίσουμε το ποσοστό μέχρι 5% της τελικής τιμής. Και τα δύο ποσοστά λαμβάνονται υπόψη.

Η εξίσωση του χρόνου σταθεροποίησης δίνεται από Ts = 4/a.

Χρησιμοποιώντας αυτά τα τρία χαρακτηριστικά μεταβατικής απόκρισης, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τη βηματική απόκριση ενός δοθέν συστήματος, γι' αυτό αυτή η ποιοτική τεχνική είναι χρήσιμη για τις εξισώσεις συστημάτων πρώτης τάξης.

Συμπέρασμα Συστήματος Ελέγχου Πρώτης Τάξης

Μετά τη μάθηση όλων των συναφών με το σύστημα ελέγχου πρώτης τάξης, έρχεται στα ακόλουθα συμπεράσματα:

• Ένας πόλος της συνάρτησης εισόδου παράγει τη μορφή της αναγκασμένης απόκρισης. Λόγω του πόλου στην αρχή, που παράγει μια βηματική συνάρτηση στην έξοδο.

• Ένας πόλος της μεταφορικ