Cosa è un Sistema di Controllo del Primo Ordine
Cos'è un Sistema di Controllo del Primo Ordine?
Definizione di Sistema di Controllo del Primo Ordine
Un sistema di controllo del primo ordine utilizza un tipo semplice di equazione differenziale per correlare ingressi e uscite, concentrandosi solo sulla prima derivata rispetto al tempo.
La funzione di trasferimento (relazione ingresso-uscita) per questo sistema di controllo è definita come:
K è il guadagno DC (guadagno DC del sistema, rapporto tra il segnale di ingresso e il valore stazionario dell'uscita)
T è la costante di tempo del sistema (la costante di tempo è una misura di quanto rapidamente un sistema del primo ordine risponde a un ingresso a gradino unitario).
Funzione di Trasferimento di un Sistema di Controllo del Primo Ordine
Una funzione di trasferimento rappresenta la relazione tra il segnale di uscita di un sistema di controllo e il segnale di ingresso, per tutti i possibili valori di ingresso.
Poli di una Funzione di Trasferimento
I poli della funzione di trasferimento sono i valori della variabile della trasformata di Laplace, che causano la funzione di trasferimento a diventare infinita. Il denominatore di una funzione di trasferimento è in realtà i poli della funzione.
Zeri di una Funzione di Trasferimento
Gli zeri della funzione di trasferimento sono i valori della variabile della trasformata di Laplace, che fanno sì che la funzione di trasferimento diventi zero. Il numeratore di una funzione di trasferimento è in realtà gli zeri della funzione.
Sistema di Controllo del Primo Ordine
Qui discutiamo del sistema di controllo del primo ordine senza zeri. Il sistema di controllo del primo ordine ci dice la velocità della risposta, ovvero la durata necessaria per raggiungere lo stato stazionario. Se l'ingresso è un gradino unitario, R(s) = 1/s, allora l'uscita è una risposta a gradino C(s). L'equazione generale del sistema di controllo del primo ordine è , cioè è la funzione di trasferimento.
Ci sono due poli, uno è il polo di ingresso all'origine s = 0 e l'altro è il polo del sistema a s = -a, questo polo si trova sull'asse negativo del diagramma dei poli. Utilizzando il comando pzmap di MATLAB, possiamo identificare i poli e gli zeri del sistema, fondamentali per analizzare il suo comportamento. Ora prendendo la trasformata inversa, la risposta totale diventa, che è la somma della risposta forzata e della risposta naturale.
A causa del polo di ingresso all'origine, produce la risposta forzata, come suggerito dal nome stesso, che forza il sistema a produrre una risposta, che è la risposta forzata, e il polo del sistema a -a produce una risposta naturale, dovuta alla risposta transitoria del sistema.
Dopo alcuni calcoli, qui la forma generale del sistema del primo ordine è C(s) = 1-e-at, che è uguale alla risposta forzata, che è "1", e la risposta naturale, che è uguale a "e-at". L'unica cosa che dobbiamo trovare è il parametro "a".
Molte tecniche come l'equazione differenziale o la trasformata inversa di Laplace, tutte queste risolvono la risposta totale, ma sono laboriose e richiedono molto tempo.
L'uso di poli, zeri e alcuni concetti fondamentali ci dà informazioni qualitative per risolvere i problemi e, grazie a questi concetti, possiamo facilmente dire la velocità di risposta e il tempo del sistema per raggiungere il punto di stato stazionario.
Descriviamo ora le tre specifiche di prestazione della risposta transitoria, la costante di tempo, il tempo di salita e il tempo di assestamento per un sistema di controllo del primo ordine.
Costante di Tempo di un Sistema di Controllo del Primo Ordine
La costante di tempo può essere definita come il tempo necessario perché la risposta a gradino salga fino al 63% o 0,63 del suo valore finale. Si fa riferimento a questo come t = 1/a. Se prendiamo il reciproco della costante di tempo, la sua unità è 1/secondi o frequenza.
Chiamiamo il parametro "a" la frequenza esponenziale. Perché la derivata di e-at è -a a t = 0. Quindi la costante di tempo è considerata come una specifica di risposta transitoria per un sistema di controllo del primo ordine.
Possiamo controllare la velocità di risposta impostando i poli. Poiché più lontano è il polo dall'asse immaginario, più rapida è la risposta transitoria. Quindi, possiamo posizionare i poli più lontani dall'asse immaginario per accelerare l'intero processo.
Tempo di Salita di un Sistema di Controllo del Primo Ordine
Il tempo di salita è definito come il tempo per cui la forma d'onda va da 0,1 a 0,9 o da 10% a 90% del suo valore finale. Per l'equazione del tempo di salita, mettiamo 0,1 e 0,9 nell'equazione generale del sistema del primo ordine rispettivamente.
Per t = 0,1
Per t = 0,9
Prendendo la differenza tra 0,9 e 0,1
Ecco l'equazione del tempo di salita. Se conosciamo il parametro "a", possiamo facilmente trovare il tempo di salita di qualsiasi sistema dato inserendo "a" nell'equazione.
Tempo di Assestamento di un Sistema di Controllo del Primo Ordine
Il tempo di assestamento è definito come il tempo per cui la risposta raggiunge e rimane entro il 2% del suo valore finale. Possiamo limitare la percentuale fino al 5% del suo valore finale. Entrambe le percentuali sono considerate.
L'equazione del tempo di assestamento è data da Ts = 4/a.
Utilizzando queste tre specifiche di risposta transitoria, possiamo facilmente calcolare la risposta a gradino di un sistema dato, motivo per cui questa tecnica qualitativa è utile per le equazioni dei sistemi del primo ordine.
Conclusione sui Sistemi di Controllo del Primo Ordine
Dopo aver appreso tutto ciò che riguarda i sistemi di controllo del primo ordine, arriviamo alle seguenti conclusioni:
Un polo della funzione di ingresso genera la forma della risposta forzata. È a causa del polo all'origine che genera una funzione a gradino all'uscita.
Un polo della funzione di trasferimento genera una risposta naturale. È il polo del sistema.
Un polo sull'asse reale genera una frequenza esponenziale della forma e-at. Pertanto, più lontano è il polo dall'origine, più rapidamente la risposta transitoria esponenziale decadrà a zero.
Comprendere poli e zeri ci permette di migliorare le prestazioni del sistema e ottenere uscite più veloci e accurate.
