ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ ఏమిటి?

ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ ఏం?

ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ నిర్వచనం

ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ ఇన్‌పుట్‌ల మరియు ఆఉట్‌పుట్‌ల మధ్య సంబంధాన్ని చూపడానికి సాధారణ రకమైన విభేద సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, సమయం యొక్క మొదటి డెరివేటివ్ మాత్రమే దృష్టికి తీసుకుంటుంది.

ఈ నియంత్రణ వ్యవస్థకు ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ (ఇన్‌పుట్-ఆఉట్‌పుట్ సంబంధం) ఈ విధంగా నిర్వచించబడింది:

• K అనేది DC గెయిన్ (ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ మరియు ఆఉట్‌పుట్ స్థిరమైన విలువ మధ్య నిష్పత్తి)

• T అనేది వ్యవస్థ సమయ స్థిరాంకం (ఒక యూనిట్ స్టెప్ ఇన్‌పుట్‌కు ఎందుకు ప్రతిసాధన చేస్తుందో స్థిరాంకం అనేది చూపుతుంది).

ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క ఆఉట్‌పుట్ సిగ్నల్ మరియు ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ మధ్య సంబంధాన్ని, అన్ని సాధ్యమైన ఇన్‌పుట్ విలువలకు చూపుతుంది.

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ పోల్‌లు

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ వేరియబుల్‌ల విలువలు, ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను అనంతం చేసేవి. ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ యొక్క హరం వాటి పోల్‌లు.

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ జీరోలు

ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ వేరియబుల్‌ల విలువలు, ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్‌ను సున్నా చేసేవి. ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ యొక్క లవం వాటి జీరోలు.

ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ

ఇక్కడ జీరోలు లేని ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థను చర్చించాం. ప్రథమ క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ స్థిరావస్థకు ఎందుకు చేరుతుందో స్పీడ్‌ను చూపుతుంది. ఇన్‌పుట్ యూనిట్ స్టెప్ R(s) = 1/s అయితే ఆఉట్‌పుట్ స్టెప్ ప్రతిసాధన C(s). 1st క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ సమీకరణం , i.e ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్.

ఇక్కడ రెండు పోల్‌లు, ఒకటి ప్రారంభ పోల్ s = 0 మరియు మరొకటి వ్యవస్థ పోల్ s = -a, ఈ పోల్ పోల్ ప్లాట్ యొక్క ఋణాత్మక అక్షంలో ఉంటుంది. MATLAB యొక్క pzmap కమాండ్ ద్వారా, మనం వ్యవస్థ యొక్క పోల్‌లు మరియు జీరోలను గుర్తించవచ్చు, ఇది దాని వ్యవహారం విశ్లేషించడానికి ముఖ్యం. మనం ఇప్పుడు విలోమ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ తీసుకుంటున్నాం కాబట్టి మొత్తం ప్రతిసాధన అయితే అది ఫోర్సెడ్ ప్రతిసాధన మరియు స్వాభావిక ప్రతిసాధన మొత్తం.

ప్రారంభ పోల్ s = 0 వల్ల, ఫోర్సెడ్ ప్రతిసాధన ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఇది వ్యవస్థకు ఫోర్స్ ఇవ్వడం వల్ల ఉత్పత్తి చేసే ప్రతిసాధన మరియు వ్యవస్థ పోల్ -a వల్ల స్వాభావిక ప్రతిసాధన ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఇది వ్యవస్థ యొక్క ట్రాన్సియెంట్ ప్రతిసాధన వల్ల ఉంటుంది.

కొన్ని లెక్కల తర్వాత, ఇక్కడ 1st క్రమ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ రూపం C(s) = 1-e-at, ఇది ఫోర్సెడ్ ప్రతిసాధన "1" మరియు స్వాభావిక ప్రతిసాధన "e-at" సమానం. కనిపించాలి మాత్రమైన పారామెటర్ "a".

డిఫరెన్షియల్ సమీకరణం లేదా విలోమ లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ వంటి అనేక టెక్నిక్‌లు, ఇవి మొత్తం ప్రతిసాధనను పరిష్కరిస్తాయి, కానీ ఇవి సమయం మరియు శ్రమ పెట్టేవి.

పోల్‌లు, జీరోలు మరియు వాటి కొన్ని మూల భావాలు మనకు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గుణాంక సమాచారం ఇస్తాయి మరియు ఈ భావాల వల్ల, మనం సులభంగా ప్రతిసాధన స్పీడ్ మరియు వ్యవస్థ స్థిరావస్థకు చేరడానికి సమయాన్ని చెప్పవచ్చు.

మనం 1st క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క మూడు ట్రాన్సియెంట్ ప్రతిసాధన ప్రఫర్మన్స్ స్పెసిఫికేషన్లను వివరించాం, సమయ స్థిరాంకం, రైజ్ టైమ్ మరియు సెట్లింగ్ టైమ్.

1st క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క సమయ స్థిరాంకం

సమయ స్థిరాంకం స్టెప్ ప్రతిసాధన యొక్క 63% లేదా 0.63 చేత ప్రారంభ విలువ వరకు ఎంత సమయం పడుతుందో నిర్వచించవచ్చు. మనం ఇది t = 1/a అని పిలుస్తాం. మనం సమయ స్థిరాంకం యొక్క విలోమం తీసుకుంటే, దాని యూనిట్ 1/సెకన్లు లేదా ఫ్రీక్వెన్సీ.

మనం పారామెటర్ "a" ని ఎక్స్పోనెంషియల్ ఫ్రీక్వెన్సీ అని పిలుస్తాం. ఎందుకంటే e-at యొక్క డెరివేటివ్ t = 0 వద్ద -a. కాబట్టి సమయ స్థిరాంకం 1st క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క ట్రాన్సియెంట్ ప్రతిసాధన స్పెసిఫికేషన్ అని పరిగణించబడుతుంది.

మనం పోల్‌లను సెట్ చేస్తే ప్రతిసాధన స్పీడ్ ని నియంత్రించవచ్చు. ఎందుకంటే పోల్ కల్పిత అక్షం నుండి ఎంత దూరం ఉంటే, ట్రాన్సియెంట్ ప్రతిసాధన ఎంత త్వరగా ఉంటుంది. కాబట్టి, మనం పోల్‌లను కల్పిత అక్షం నుండి దూరంగా సెట్ చేస్తే మొత్తం ప్రక్రియను త్వరగా చేయవచ్చు.

1st క్రమ నియంత్రణ వ్యవస్థ యొక్క రైజ్ టైమ్

రైజ్ టైమ్ ని వేవ్‌ఫార్మ్ 0.1 నుండి 0.9 లేదా 10% నుండి 90% వరకు ప్రారంభ విలువ వరకు ఎంత సమయం పడుతుందో నిర్వచించవచ్చు. రైజ్ టైమ్ సమీకరణానికి, మనం సాధారణ 1st క్రమ వ్యవస్థ సమీకరణంలో 0.1 మరియు 0.9 ను వరుసగా ప్రతిస్థాపిస్తాం.

t = 0.1 కోసం

t = 0.9 కోసం

0.9 మరియు 0.1 మధ్య వ్యత్యాసం తీసుకుంటున్నాం

ఇక్కడ రైజ్ టైమ్ యొక్క సమీక